1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法.
數(shù)列求和的幾種常用方法1.公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝ ＝ .
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
________________________.
2.分組求和法與并項求和法(1)分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.(2)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.
3.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.4.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝ .(　　)(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時，只要把上式等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得.(　　)(3)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有＝ (　　)(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.
例1　(2023·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，它的前n項和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.
由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1(n≥1)，①得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，②由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)，
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.
延伸探究　在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn?
當(dāng)n為偶數(shù)時，S1＋S2＋S3＋…＋Sn
當(dāng)n為奇數(shù)時，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋Sn＋1)－Sn＋1
(1)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.(2)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝ 其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
跟蹤訓(xùn)練1　記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
當(dāng)n＝1時，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，顯然an－1＋2≠0.所以數(shù)列{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n
例2　(2021·浙江)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝ ，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
因為4Sn＋1＝3Sn－9，所以當(dāng)n≥2時，4Sn＝3Sn－1－9，
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn，對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.
因為3bn＋(n－4)an＝0，
因為Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，
即－3n≤λ(n－4)恒成立，
當(dāng)n＝4時，－12≤0恒成立，
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
跟蹤訓(xùn)練2　(2023·重慶模擬)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② ＋ ＋…＋ ＝2n＋1－2這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.問題：在數(shù)列{an}中，已知________.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)求{an}的通項公式；
選擇②，因為 ＋ ＋…＋ ＝2n＋1－2，所以當(dāng)n＝1時， ＝22－2＝2，解得a1＝1，
當(dāng)n≥2時， ＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.又a1＝1，所以an＝n.
(2)若bn＝ ，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
(1)求{an}的通項公式；
裂項相消法的原則及規(guī)律(1)裂項原則一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項.
跟蹤訓(xùn)練3　(2022·湛江模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
∵a2＋a5＝36，∴a1q＋a1q4＝36，即2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1.(2022·杭州模擬)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，
所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
由(1)得，an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)
2.(2023·寧波模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式；
由已知得，當(dāng)n＝1時，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1.
由(1)可知an＝2n－1，經(jīng)檢驗符合題意，所以Sn＝n2，
3.(2023·呂梁模擬)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
在4Sn＝(an＋1)2中，令n＝1，可得a1＝1，因為4Sn＝(an＋1)2，①所以當(dāng)n≥2時，4Sn－1＝(an－1＋1)2，②①－②得，4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因為an>0，所以an－an－1＝2(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.
(2)設(shè)bn＝2n，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
由(1)得an＝2n－1，所以an·bn＝(2n－1)·2n，所以Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，兩式相減得，－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(3－2n)·2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
(1)證明：數(shù)列{bn＋2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項公式；
由題意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，
所以{bn＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2.
數(shù)列{an}的前2n項和為S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n
(2)求數(shù)列{an}的前2n項和.
5.(2023·蚌埠模擬)給出以下條件：①a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列；②S1＋1，S2，S3成等比數(shù)列；③Sn＝ (n∈N*).從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答.已知遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，_____.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d>0，選擇條件①：因為a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列，
化簡得d2－d－2＝0，解得d＝2或d＝－1(舍)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×2＝2n.
選擇條件②：因為S1＋1，S2，S3成等比數(shù)列，
化簡得d2－d－2＝0，解得d＝2或d＝－1(舍)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×2＝2n.選擇條件③：
因為an≠0，所以an＋1－an－1＝4，即2d＝4，所以d＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)若 是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn.
所以Tn＝2·21＋4·22＋6·23＋…＋2n·2n，2Tn＝2·22＋4·23＋6·24＋…＋(2n－2)·2n＋2n·2n＋1，兩式相減得，－Tn＝2·21＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－2n·2n＋1
所以Tn＝(n－1)2n＋2＋4.
6.(2023·哈爾濱模擬)設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2Sn＝ ＋an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，因為an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)，
所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.

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