2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（步步高版）第六章　§6.6　數(shù)列中的綜合問(wèn)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算
例1 (2023·廈門(mén)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(1,2)n，遞增的等比數(shù)列{bn}滿足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(1,2)n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)?n－1?2＋\f(1,2)?n－1?))＝3n－1，
又∵當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2符合上式，
∴an＝3n－1.
∵b2b3＝b1b4，
∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的兩根，
又∵b4>b1，
∴解得b1＝2，b4＝16，
∴q3＝eq \f(b4,b1)＝8，
∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.
(2)∵an＝3n－1，bn＝2n，
則cn＝(3n－1)·2n，
∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，
2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，
將兩式相減得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1
＝4＋3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(22?1－2n－1?,1－2)))－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，
∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.
思維升華數(shù)列的綜合問(wèn)題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問(wèn)題的方法：尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
跟蹤訓(xùn)練1 (2022·全國(guó)甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知eq \f(2Sn,n)＋n＝2an＋1.
(1)證明：{an}是等差數(shù)列；
(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．
(1)證明由eq \f(2Sn,n)＋n＝2an＋1，
得2Sn＋n2＝2ann＋n，①
所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②
②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，
化簡(jiǎn)得an＋1－an＝1，
所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．
(2)解由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.
由a4，a7，a9成等比數(shù)列，
得aeq \\al(2,7)＝a4a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，
解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋eq \f(n?n－1?,2)＝eq \f(n2－25n,2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(25,2)))2－eq \f(625,8)，
所以當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－78.
題型二數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題
命題點(diǎn)1 數(shù)列與不等式的交匯
例2 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n)an＝n2＋n(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝eq \f(2n＋1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若Tn1，則( )
A．a(chǎn)1a4
答案 B
解析因?yàn)閘n x≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，
所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾．因此－1－3時(shí)，因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，
①若其公差d>0，則?k0∈N*，使得>2，這與an＋1＝f(an)＝2－aeq \\al(2,n)≤2矛盾，
②若其公差d＝0，則a2＝－aeq \\al(2,1)＋2＝a1，即aeq \\al(2,1)＋a1－2＝0，解得a1＝－2或a1＝1，
則當(dāng)a1＝－2時(shí)，an＝－2為常數(shù)列，當(dāng)a1＝1時(shí)，an＝1為常數(shù)列，此時(shí){an}為等差數(shù)列，符合題意，
③若其公差d－3且≤－3，則等差數(shù)列的公差必為－4，
因此＝－4，所以2－＝－4，解得＝－3(舍去)或＝2.
又當(dāng)＝2時(shí)，＝…＝－2，這與公差為－4矛盾．
綜上所述，a1的取值范圍是(－∞，－3]∪{－2,1}．
15．若數(shù)列{an}對(duì)于任意的正整數(shù)n滿足：an>0且anan＋1＝n＋1，則稱數(shù)列{an}為“積增數(shù)列”．已知“積增數(shù)列”{an}中，a1＝1，數(shù)列{aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋1)}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)于任意的正整數(shù)n，有( )
A．Sn≤2n2＋3 B．Sn≥n2＋4n
C．Sn≤n2＋4n D．Sn≥n2＋3n
答案 D
解析 ∵an>0，∴aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋1)≥2anan＋1，∵anan＋1＝n＋1，
∴{anan＋1}的前n項(xiàng)和為2＋3＋4＋…＋n＋1＝eq \f(n?2＋n＋1?,2)＝eq \f(n?n＋3?,2)，
∴數(shù)列{aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋1)}的前n項(xiàng)和為Sn≥2×eq \f(n?n＋3?,2)＝n2＋3n.
16．設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有的正整數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an)＋\f(an,an＋1)))(n∈N*)，求證：b1＋b2＋b3＋…＋bn

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第6章 §6.6　數(shù)列中的綜合問(wèn)題

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