知識(shí)梳理
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A＝a＋b.
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2).
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．
4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．( × )
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(3)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.( × )
(4)若無(wú)窮等差數(shù)列{an}的公差d>0，則其前n項(xiàng)和Sn不存在最大值．( √ )
教材改編題
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝19，,d＝－2.))
∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.
2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．12 B．8 C．20 D．16
答案 D
解析 等差數(shù)列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍為等差數(shù)列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12為等差數(shù)列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝10，S4＝28，則Sn的最大值為_(kāi)_______．
答案 30
解析 由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝－n2＋11n.當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大，最大值為30.
題型一 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
例1 (1)(2023·開(kāi)封模擬)已知公差為1的等差數(shù)列{an}中，aeq \\al(2,5)＝a3a6，若該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝0，則n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 D
解析 由題意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋eq \f(n?n－1?,2)＝0，解得a1＝－6，n＝13.
(2)(2020·全國(guó)Ⅱ)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
答案 C
解析 設(shè)每一層有n環(huán)，由題意可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成d＝9，a1＝9的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，得n＝9，
則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(塊)．
思維升華 (1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”)．
(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.
跟蹤訓(xùn)練1 (1)《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為八丈五尺五寸，問(wèn)芒種日影長(zhǎng)為(一丈＝十尺＝一百寸)( )
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
答案 B
解析 由題意知，從冬至日起，依次為小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，設(shè)公差為d，
∵冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為八丈五尺五寸，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝315，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝855，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝135，,d＝－10，))
∴芒種日影長(zhǎng)為a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．
(2)數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,an＋1)))是等差數(shù)列，且a1＝1，a3＝－eq \f(1,3)，那么a2 024＝________.
答案 －eq \f(1 011,1 012)
解析 設(shè)等差數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,an＋1)))的公差為d，因?yàn)閍1＝1，a3＝－eq \f(1,3)，所以eq \f(2,a1＋1)＝1，eq \f(2,a3＋1)＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以eq \f(2,an＋1)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq \f(2,n)－1.所以a2 024＝eq \f(2,2 024)－1＝－eq \f(2 022,2 024)＝－eq \f(1 011,1 012).
題型二 等差數(shù)列的判定與證明
例2 (2021·全國(guó)甲卷)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
解 ①③?②.
已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝n2a1.
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以eq \r(Sn)＝neq \r(a1)，
所以eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝(n＋1)eq \r(a1)－neq \r(a1)＝eq \r(a1)(常數(shù))，所以數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列．
①②?③.
已知{an}是等差數(shù)列，{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＝eq \f(1,2)n2d＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
因?yàn)閿?shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{eq \r(Sn)}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a1－eq \f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③?①.
已知數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
設(shè)數(shù)列{eq \r(Sn)}的公差為d，d>0，
則eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d，得a1＝d2，
所以eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
思維升華 判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法
(1)定義法．
(2)等差中項(xiàng)法．
(3)通項(xiàng)公式法．
(4)前n項(xiàng)和公式法．
跟蹤訓(xùn)練2 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，n∈N*.
(1)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)，設(shè)cn＝beq \\al(2,n＋1)－beq \\al(2,n)，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；
(2)若aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)證明 由題意得beq \\al(2,n)＝anan＋1，
則cn＝beq \\al(2,n＋1)－beq \\al(2,n)＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常數(shù))，
∴{cn}是等差數(shù)列．
(2)解 當(dāng)n＝1時(shí)，aeq \\al(3,1)＝aeq \\al(2,1)，∵a1>0，∴a1＝1.
aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)，①
當(dāng)n≥2時(shí)，aeq \\al(3,1)＋aeq \\al(3,2)＋aeq \\al(3,3)＋…＋aeq \\al(3,n－1)＝Seq \\al(2,n－1)，②
①－②得，aeq \\al(3,n)＝Seq \\al(2,n)－Seq \\al(2,n－1)＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，∴aeq \\al(2,n)＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③
∵a1＝1也符合上式，∴當(dāng)n≥2時(shí)，aeq \\al(2,n－1)＝2Sn－1－an－1，④
③－④得aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，可得an＝n.
題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)
命題點(diǎn)1 等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
例3 (1)已知在等差數(shù)列{an}中，若a8＝8且lg2()＝22，則S13等于( )
A．40 B．65 C．80 D．40＋lg25
答案 B
解析 lg2()＝lg2＋lg2＋…＋lg2＝a1＋a2＋…＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，則S13＝eq \f(13?a1＋a13?,2)＝eq \f(13?a6＋a8?,2)＝65.
(2)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，則a2 024－b2 024的值為_(kāi)_______．
答案 4 051
解析 令cn＝an－bn，因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{cn}的公差為d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，則5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
思維升華 等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)
(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問(wèn)題，一般先考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì)．
(2)項(xiàng)的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)相結(jié)合．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)若等差數(shù)列{an}的前15項(xiàng)和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵S15＝30，∴eq \f(15,2)(a1＋a15)＝30，
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.
∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
(2)(2023·保定模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足eq \f(a8,a5)＝－2，則下列結(jié)論一定成立的是( )
A.eq \f(a9,a4)＝－1 B.eq \f(a8,a3)＝－1
C.eq \f(a9,a3)＝－1 D.eq \f(a10,a4)＝－1
答案 C
解析 由eq \f(a8,a5)＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，
所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，
因?yàn)閍5≠0，a6＝0，
所以a3≠0，eq \f(a9,a3)＝－1.
命題點(diǎn)2 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
例4 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意的n∈N*，都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，則eq \f(a2,b3＋b13)＋eq \f(a14,b5＋b11)的值為( )
A.eq \f(29,45) B.eq \f(13,29) C.eq \f(9,19) D.eq \f(19,30)
答案 C
解析 由題意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴eq \f(a2,b3＋b13)＋eq \f(a14,b5＋b11)＝eq \f(a2＋a14,2b8)＝eq \f(a8,b8)＝eq \f(S15,T15)＝eq \f(2×15－3,4×15－3)＝eq \f(27,57)＝eq \f(9,19).
(2)已知等差數(shù)列{an}共有(2n＋1)項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則an＋1的值為( )
A．30 B．29 C．28 D．27
答案 B
解析 奇數(shù)項(xiàng)共有(n＋1)項(xiàng)，其和為eq \f(a1＋a2n＋1,2)·(n＋1)＝eq \f(2an＋1,2)·(n＋1)＝290，
∴(n＋1)an＋1＝290.
偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為eq \f(a2＋a2n,2)·n＝eq \f(2an＋1,2)·n＝nan＋1＝261，
∴an＋1＝290－261＝29.
思維升華 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)是：
在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟蹤訓(xùn)練4 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，則m等于( )
A．6 B．10 C．20 D．40
答案 C
解析 由S4＝20，S5＝30，得a5＝ S5 －S4＝10，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.
(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2 020，eq \f(S2 020,2 020)－eq \f(S2 014,2 014)＝6，則S2 023等于( )
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
答案 C
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，設(shè)公差為d′，
則eq \f(S2 020,2 020)－eq \f(S2 014,2 014)＝6d′＝6，∴d′＝1，
首項(xiàng)為eq \f(S1,1)＝－2 020，
∴eq \f(S2 023,2 023)＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故選C.
課時(shí)精練
1．首項(xiàng)為－21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是( )
A．(3，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2)))
答案 D
解析 an＝－21＋(n－1)d，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起為正數(shù)，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得30.則使Sn0，
則3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，
變形可得4a1＋58d＝0，則a1＝－eq \f(29,2)d，
所以Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2)
＝－eq \f(29,2)nd＋eq \f(n?n－1?d,2)＝eq \f(d,2)(n2－30n)，
因?yàn)閍1＝－eq \f(29,2)d>0，所以d30，故使Sn5時(shí)，anS7>S5，則滿足SnSn＋1S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a70，所以S13＝eq \f(13?a1＋a13?,2)＝13a70，所以S12S13

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備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第六章 §6.2 等差數(shù)列：

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