觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.
你還能舉出其他的例子嗎？
矩 形
問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢? 你有什么發(fā)現(xiàn)？
問題2 菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)？
有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.
已知：如圖，四邊形 ABCD 是正方形.求證：正方形 ABCD 四邊相等，四個角都是直角.
證明：∵ 四邊形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定義). 又∵ 正方形是平行四邊形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定義)， 正方形是菱形 (菱形的定義). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
已知：如圖，四邊形 ABCD 是正方形. 對角線 AC、BD 相交于點 O. 求證：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
證明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.
思考 請同學們拿出準備好的正方形紙片，折一折，觀察并思考：正方形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？
對稱性： .對稱軸：.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：
性質(zhì)：1.正方形的四個角都是直角，四條邊相等； 2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性質(zhì)，正方形都有.
例1 求證：正方形的兩條對角線把這個正方 形分成四個全等的等腰直角三角形.
已知：如圖，四邊形 ABCD 是正方形，對角線 AC、BD 相交于點 O.
求證： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
證明: ∵ 四邊形 ABCD 是正方形，∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 如圖，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等邊三角形， 求證： ∠EAD =∠EDA = 15°.
證明：∵ △BEC 是等邊三角形，∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.∵ 四邊形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°.
【變式題1】四邊形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一邊為邊作等邊△ADE，求∠BEC 的大?。?br/>解：當點 E 在正方形 ABCD 外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
當點 E 在正方形 ABCD 內(nèi)部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC 的大小為 30° 或 150°.
易錯提醒：因為等邊△ADE 與正方形 ABCD 有一條公共邊，所以它們的邊相等．本題分點 E 在正方形的外部和在正方形的內(nèi)部兩種情況．
【變式題2】 如圖，在正方形 ABCD 內(nèi)有一點 P 滿足 AP = AB，PB = PC，連接 AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；
證明：∵ 四邊形 ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠DCB = 90°．∵ PB = PC，∴∠PBC =∠PCB．∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，即∠ABP =∠DCP．又∵ AB = DC，PB = PC，∴△APB≌△DPC．
證明：∵ 四邊形 ABCD 是正方形，∴∠BAC =∠DAC = 45°．∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．又∵AP = AB = AD，∴ DP = AP = AD，即 △APD 是等邊三角形．∴∠DAP = 60°．∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°．∴∠BAP = 2∠PAC．
（2）求證：∠BAP = 2∠PAC．
例3 如圖，在正方形 ABCD 中，P 為 BD上一點，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 試說明：AP = EF.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四邊形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四邊形 PECF 是矩形.
在正方形的背景下證明兩條線段相等：通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線、角平分線、等腰三角形等圖形的性質(zhì)來推導(dǎo).
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A.四個角相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角互補 D.對角線相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A.四條邊相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角線平分一組對角 D.對角線相等
3.如圖，四邊形 ABCD 是正方形，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，OA＝2，求該正方形的周長與面積．
解：∵ 四邊形 ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得∴ 該正方形的周長為 4AD＝ ， 面積為 AD2＝8.
2. 一個正方形的對角線長為 2 cm，則它的面積是（?。? A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
1. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（?。? A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相垂直且相等
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.4. 在正方形 ABCD 中，E 是對角線 AC 上一點，且 AE = AB，則∠EBC 的度數(shù)是 .
5. 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1 cm，AC 為對角線，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的長．
解：∵ 四邊形 ABCD 為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.在 Rt△ABC 中，∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．
6. 如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 CD 上一點，F(xiàn) 為BC 邊延長線上一點，且 CE = CF. BE 與 DF 之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：∵ 四邊形 ABCD 是正方形.∴ BC = DC，∠BCE = 90° .∴∠DCF = 180° - ∠BCE = 90°.∴∠BCE = ∠DCF.又∵ CE = CF.∴ △BCE≌△DCF.∴ BE = DF.
延長BE交DE于點M，∵△BCE≌△DCF ，∴∠CBE = ∠CDF.∵∠DCF = 90°，∴∠CDF +∠F = 90°，∴∠CBE +∠F= 90°，∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF.

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18.2.3 正方形

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