專題9.11平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn) ，八下蘇科）- 2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊必刷題【蘇科版】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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專題9.11平行四邊形的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）
班級：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事項(xiàng)：
本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、解答題
1．（2022春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：OE=OF．

【答案】見解析
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA＝OC，AD∥BC，繼而可證得△AOE≌△COF（ASA），則可證得結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，E、F是平行四邊形ABCD對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．

【答案】見解析
【分析】連接AC，交BD于點(diǎn)O，由“平行四邊形ABCD的對角線互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后結(jié)合已知條件證得OE=OF，則“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，熟記對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，∠ABC=∠ADC，AD∥BC．求證：AD=BC．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC，利用角的轉(zhuǎn)化證明AB∥CD，證明四邊形ABCD為平行四邊形，即可得證．
【詳解】證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC?∠DBC=∠ADC?∠ADB，
即：∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E、F在BD上，AE//CF，且AE=CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【答案】見解析
【分析】先根據(jù)AD//BC、AE//CF得出等角，再證明△ADE?△CBF，得到AD=BC，從而證明四邊形ABCD是平行四邊形．
【詳解】∵AD//BC
∴∠ADE=∠CBF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵AE//CF
∴∠AED=∠CFB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
在△ADE與△CBF中，
∠ADE=∠CBF∠AED=∠CFBAE=CF
∴△ADE?△CBF(AAS)
∴AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理．
5．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在對角線AC上，且AE＝CF．求證：四邊形EGFH是平行四邊形．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB//CD，AB= CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GAE=∠HCF，得△AGE≌△CHF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF ，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，??
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE＝HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形判定與的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD為平行四邊形．

【答案】見解析
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC，AD∥BC，再由中點(diǎn)的定義得DE=12AD，BF=12BC，則DE=BF，DE∥BF，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵點(diǎn)E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，
∴DE＝12AD，BF＝12BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四邊形EBFD為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春·江蘇鹽城·八年級景山中學(xué)?？计谀┰谒倪呅蜛BCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．

【答案】（1）見解析；（2）3
【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行證明該四邊形為平行四邊形．
（2）利用等面積法求出CD長．
【詳解】（1）
證明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，
∴平行四邊形的面積＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和等面積法的使用，掌握這兩點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
8．（2021春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AO+BO＝4，則AC+BD的長是___．

【答案】8
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，即可求出AC+BD＝2（OA+OB）．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC+BD＝2（OA+OB）＝8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的對角線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的對角線性質(zhì)——平行四邊形對角線互相平分．
9．（2022春·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線A、C上的兩點(diǎn)，且AE＝CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形．

【答案】見解析
【分析】連接DB，交AC于點(diǎn)O，由平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，DO=BO，證出EO=FO，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：連接DB，交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，DO=BO，
又∵AE=CF，
∴EO=FO，
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2021春·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線，交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)連接BD，EF．

(1)求證：BD,EF互相平分；
(2)若∠A=60°,AE=2EB,AD=4，求四邊形DEBF的周長和面積．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形DEBF的周長為12，四邊形DEBF的面積為43

【分析】（1）證明BD,EF互相平分，只要證DEBF是平行四邊形，利用兩組對邊分別平行來證明．
（2）首先證明出△ADE是等邊三角形，然后根據(jù)平行四邊形的周長公式求解，過D點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求出DG=23，然后利用平行四邊形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC
∵DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB?AE=CD?CF即BE=DF
∵DF∥BE，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴BD,EF互相平分；
（2）∵∠A=60°，AE=AD，
∴△ADE是等邊三角形
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，
∴BE=2
∴四邊形DEBF的周長=2BE+DE=24+2=12；
過D點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，

在Rt△ADG中，AD=4，∠A=60°，
∴∠ADG=30°，
∴AG=12AD=2，
∴DG=AD2?AG2=23，
∴四邊形DEBF的面積=BE×DG=2×23=43．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．
11．（2022春·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，

(1)若點(diǎn)E、F是AD、BC的中點(diǎn)，連接BE、DF，求證：BE=DF；
(2)若DF平分∠ADC且交邊BC于點(diǎn)F，如果AB=5，BC=8，試求線段BF的長．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，AD=BC，再由點(diǎn)E、F是AD、BC的中點(diǎn)，可得DE=BF，即可求證；
（2）根據(jù)AD∥BC和DF平分∠ADC可得∠CFD=∠CDF，從而得到CF=CD=5，即可求解．
（1）
證明∶∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵點(diǎn)E、F是AD、BC的中點(diǎn)，
∴DE=12AD,BF=12BC，
∴DE=BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE=DF；
（2）
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC， CD=AB=5，
∴∠ADF=∠CFD，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=5，
∴BF=BC-CF=8-5=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟記平行四邊形的性質(zhì)，證出CF=CD是解決問題（2）的關(guān)鍵．
12．（2021春·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，直線EF∥BD，與CD、CB的延長線分別交于點(diǎn)E、F，交AB、AD于G、H．

(1)求證：四邊形FBDH為平行四邊形；
(2)求證：FG=EH．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，可得AD∥BC，根據(jù)已知條件可得EF∥BD，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證；
（2）同（1）的方法證明四邊形BDEG為平行四邊形，得出HF=BD由四邊形FBDH為平行四邊形，可得BD=EG，進(jìn)而可得FH=EG，根據(jù)FH?GH=EG?GH，即可得證．
（1）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴EF∥BD，
∴四邊形FBDH為平行四邊形，
（2）
∵四邊形FBDH為平行四邊形，
∴HF=BD，
∵EF∥BD，AB∥DC，
∴四邊形BDEG為平行四邊形，
∴BD=EG，
∴FH=EG，
∴FH?GH=EG?GH，
∴FG=EH．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春·江蘇無錫·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB，交BC、AD于點(diǎn)E和點(diǎn)F．試說明：

(1)△ABE是等腰三角形；
(2)四邊形AECF是平行四邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，得∠AEB=∠EAF；根據(jù)AE平分∠BAD，得∠BAE=∠EAF，等量代換得∠BAE=∠AEB，根據(jù)等角對等邊，即可證明△ABE是等腰三角形．
（2）根據(jù)題（1）得，AB=BE，同理可證△DFC是等腰三角形，得FD=DC，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，得AB=BE=DF=DC，BC?BE=AD?DF，AF∥EC；根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可證明四邊形AECF是平行四邊形．
（1）
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EAF
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAF
∴∠AEB=∠BAE
∴AB=BE
∴△ABE是等腰三角形．
（2）
由（1）得，AB=BE
同理可得△DFC是等腰三角形
∴FD=DC
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC
∴AB=BE=DF=DC，AF∥EC
∴BC?BE=AD?DF
∴AF=EC
∴四邊形AECF是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形和平行四邊形的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定定理和平行四邊形的性質(zhì)和判定定理．
14．（2022春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OD，BO上，且OE＝OF，連接AE，CF．

(1)如圖1，求證：AE＝CF；
(2)如圖2，延長AE交CD于點(diǎn)G，延長CF交AB于點(diǎn)H．求證：AH＝CG．
【答案】(1)證明見解析．
(2)證明見解析．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC，又因?yàn)椤螦OE=∠COF ，OE=OF，進(jìn)而可證明△AOE≌△COF(SAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）由（1）得△AOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EAO=∠FCO，進(jìn)而可得AG∥CF ；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD ，進(jìn)而可證四邊形AHCG是平行四邊形，從而得出AH=CG．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC
又∵ ∠AOE=∠COF，OE=OF
∴△AOE≌△COF(SAS)
∴AE=CF．
（2）
證明：由（1）得△AOE≌△COF，
∴∠EAO=∠FCO
∴AG∥CF
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD
即AH∥CG
∴四邊形AHCG是平行四邊形
∴AH=CG．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握性質(zhì)與判定定理是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2022春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，用無刻度的直尺按下列要求作圖．

(1)在圖1中，作邊AD上的中點(diǎn)F；
(2)在圖2中，作邊AB上的中點(diǎn)G．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可在圖1中，作邊AD上的中點(diǎn)F；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)在圖2中，作兩次平行四邊形即可作邊AB上的中點(diǎn)G．
（1）
解：在圖1中，點(diǎn)F即為邊AD上的中點(diǎn)；

（2）
在圖2中，點(diǎn)G即為邊AB上的中點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫圖．
16．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB=DE，AC∥DF，∠C=∠F．

(1)求證：△ABC≌△DEF．
(2)連結(jié)CF，請判斷四邊形BCFE的形狀，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形BCFE是平行四邊形，證明見解析

【分析】（1）由AC∥DF推出∠CAB=∠FDE，進(jìn)而根據(jù)AAS證明即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得到BC=EF，∠CBA=∠FED，推出BC∥EF，即可證得四邊形BCFE是平行四邊形．
（1）
證明：∵AC∥DF，
∴∠CAB=∠FDE，
在△ABC和△DEF中，
∠C=∠F∠CAB=∠FDEAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
（2）
結(jié)論：四邊形BCFE是平行四邊形
如圖，
，

∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠CBA=∠FED，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCFE是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟記各判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
17．（2021春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接AE．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）求△AFE的面積．

【答案】（1）見解析；（2）901973
【分析】（1）證明AB∥CE，AB＝CE即可；
（2）如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，過點(diǎn)A作AJ⊥EF于J．證明AJCK＝AFFC，求出CT，△ACE的面積，即可解決問題．
【詳解】證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在AB邊上，
∴AC＝CE＝AB，∠ACB＝∠DCE，CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DCE，
∴AB∥CE，
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
（2）如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AB于T，CK⊥DE于K，過點(diǎn)A作AJ⊥EF于J．

∵CB＝CD＝5，CT⊥BD，
∴BT＝DT，
設(shè)BT＝x，
∵CT2＝BC2﹣BT2＝AC2﹣AT2，
∴52?x2=72?(7﹣x)2，
∴x=2514，
∴BD=2x=257，CT=BC2?BT2=52?(2514)2=151914
∴AD=AB-BD=7-257=247，
∵S△ADE=12?AD?CT＝12?AJ?DE，
∴AJCT=2477=2449，
∵SΔAEFSΔEFC=12?EF?AJ12?EF?CK=AJCK=AFFC，
∵∠CDB＝∠CDE，CT⊥DB，CK⊥DE
∴CT＝CK，
∴AFFC＝AJCT＝2449，
∴AF＝2473AC，
∴S△AEF＝2473S△AEC＝2473×12×7×151914＝901973．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的證明以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
18．（2022春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，當(dāng)BE⊥EF且BE＝8，BF＝10時，求BD的長．

【答案】（1）見解析；（2）273
【分析】（1）先由?ABCD得對角線互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由條件中AE=CF得到要證明的四邊形BEDF的對角線互相平分且相等，即可證明BEDF為平行四邊形．
（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的長，進(jìn)而即可得到EO的長，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的長，即可得到BD長．
【詳解】解：（1）證明：連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝BF2?BE2=102?82＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝BE2+OE2=82+32=73，
∴BD＝2OB＝273．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及判定、應(yīng)用勾股定理解三角形，重點(diǎn)在于根據(jù)已知找到各線段間關(guān)系．
19．（2020春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在□ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=AB．

（1）作∠BCD的角平分線CF，交AD于F點(diǎn)，交BE于G點(diǎn)；（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫畫法）
（2）在（1）的條件下，
①求∠BGC的度數(shù)；
②設(shè)AB=a，BC=b，則線段EF= （用含a,b的式子表示）；
③若AB=10，CF=12，求BE的長．
【答案】（1）見解析；（2）①90°；②2a?b；③ BE=16
【分析】（1）以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑作圓交AD于點(diǎn)F，連接CF交BE于點(diǎn)G即為所作；
（2）①根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，就可求出；
②根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得出DC=DF，再因?yàn)锳B=AE即可求出；
③根據(jù)平行線+角平分線可推出等腰三角形，進(jìn)而可證得四邊形AHCF是平行四邊形，因?yàn)椤螧GC=90°可得∠AMB=90°，所以點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)也是AH的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理可求出BM的值，即可求出答案．
【詳解】（1）如下圖所示：

此圖即為所作．
（2）①∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=12∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=180°-90°=90°
②∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠DFC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
∵AB=a，BC=b，
∴EF=2a?b，
③作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)M，如下圖所示：

∵AH平分∠BAD，
∴∠BAH=∠DAH,
∵AD∥BC，
∴∠BAH=∠AHB，
∴AB=BH，△ABH是等腰三角形，????
∵DC=DF,
∴BH=DF
∴HC=BC-BH=AD-DF=AF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AHCF是平行四邊形，
∴AH∥CF，
∴∠BMH=∠BGC=90°，
∴點(diǎn)M是AH的中點(diǎn)，
∵AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，
∵AB=10，CF=12，
∴AH=CF=10，
∴AM=6，
在△AMB中，由勾股定理得：
BM=102?62=8,
∴BE=16．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用等，綜合性較強(qiáng)，平行線＋角平分線可推出等腰三角形是本題的重要結(jié)論，扎實(shí)基礎(chǔ)的性質(zhì)和作圖方法是解決本題的關(guān)鍵．
20．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°．
（1）求證：AB＝AE；
（2）若ABBC＝m（0＜m＜1），AC＝43，連接OE；
①若m＝12，求平行四邊ABCD的面積；
②設(shè)S四邊形OECDSΔAOD＝k，試求k與m滿足的關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）①163；②m+k＝2．
【分析】（1）根據(jù)?ABCD中，∠ADC=60°，可得△ABE是等邊三角形，進(jìn)而可以證明結(jié)論；
（2）①根據(jù) ABBC=m=12，可得AB=12BC，證明∠BAC=90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的長，進(jìn)而可得平行四邊ABCD的面積； ②根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得S△AOD=S△BOC，S△BOC=12S△BCD，由△ABE是等邊三角形，可得BE=AB=mBC，由△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，設(shè)BC邊上的高為h，BC的長為b，分別表示出四邊形OECD和三角形AOD的面積，進(jìn)而可得k與m滿足的關(guān)系．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵ABBC=m=12，
∴AB＝12BC，
∴AE＝BE＝12BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，ABBC=12，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
當(dāng)AC＝43時，AB＝4，
∴平行四邊ABCD的面積＝2S△ABC＝2×12AB?AC＝4×43＝163；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝12S△BCD，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
設(shè)BC邊上的高為h，BC的長為b，
∴S△BCD＝12×bh，S△OBE＝12×?2×mb＝mb?4，
∴S四邊形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝b?2﹣mb?4＝（12﹣m4）bh，
∵S△AOD＝12×?2×b＝b?4，
∴S四邊形OECDS△AOD=12?m4b?×4b?=k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì).
21．（2022春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動到C點(diǎn)返回，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．

（1）當(dāng)0

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