專題9.9正方形的性質(zhì)專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn) ）- 2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊必刷題【蘇科版】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊必刷題【蘇科版】專題9.9正方形的性質(zhì)專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）班級：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？计谥校┫铝姓f法中，是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別平行 B．對角線互相垂直 C．四個角都為直角 D．對角線互相平分【答案】B【分析】根據(jù)正方形、矩形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：因?yàn)檎叫蔚膶窍嗟龋瑢蔷€相等、垂直、且互相平分，矩形的對角相等，對角線相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是對角線互相垂直．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，記住正方形、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）A．5 B．6 C．12 D．13【答案】D【分析】利用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，∴正方形面積S=AB2=13，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中,以對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB等于( ). A．22.5° B．45° C．30° D．135°【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠CAB=45°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)∠FAB=0.5∠CAB，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，∵四邊形AEFC是菱形，∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練記住正方形、菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．4．（2021秋·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）若順次連接四邊形ABCD四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定滿足（　?。?/span>A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD【答案】D【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再由四邊形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中點(diǎn)，易知GF是△ACD的中位線，于是GFAC，GF=AC，同理可得IGBD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GFAC，∠IGF=90°，利用平行線性質(zhì)可得∠IHO=90°，而IGBD，易證∠BOC=90°，即AC⊥BD，從而可證四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等．【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)分別是I、E、F、G，且四邊形EFGI是正方形，∵四邊形EFGI是正方形，∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，又∵G、F是AD、CD中點(diǎn)，∴GF是△ACD的中位線，∴GFAC，GF＝AC，同理有IGBD，IG＝BD，∴AC＝BD，即AC＝BD，∵GFAC，∠IGF＝90°，∴∠IHO＝90°，又∵IGBD，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，故四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接AC、BD，構(gòu)造平行線．5．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1的正方形中，的平分線交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)DE的長為x，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得EG=ED=x，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AEGC是等腰直角三角形，可得，根據(jù)DC=DE+EC，從而求出x的值，即DE的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，設(shè)DE的長為x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，CD=1．∵EG⊥AC，且AE平分∠CAD，∴EG=DE=x．在△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=45°，∴∠CEG=∠ECG=45°，∴CG=EG=x，∴，∴，解得：，即DE的長為．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，利用角平分線的性質(zhì)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④=中，錯誤的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)四邊形ABCD是正方形及CE=DF，可證出△ADE≌△BAF，則得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面積相等，得到；④=；可以證出∠ABO+∠BAO=90°，則②AE⊥BF一定成立．用反證法可證明AO≠OE．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AD，∵CE=DF，∴DE=AF，∴△ADE≌△BAF，∴AE=BF（故①正確）；=，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA，∵=-，=-，∴=（故④正確）；∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°，∴∠AFB+∠EAF=90°，∴AE⊥BF一定成立（故②正確）；假設(shè)AO=OE，∵AE⊥BF，∴AB=BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，∴假設(shè)不成立，AO≠OE（故③錯誤）；故錯誤的只有一個．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出△ADE≌△BAF是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．7．（2022春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．若，則的長為（　?。?/span>A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】如圖，首先把旋轉(zhuǎn)到，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)題目中的條件，可以得到，再根據(jù)，和勾股定理，可以求出的長，本題得以解決．【詳解】解；如圖，把F繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴，∴，∴，∴G、B、E三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，∵，∴，則，∴，∵，∴，解得，，∴BE的長為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答8．（2022春·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊與正方形重疊，其中D，E兩點(diǎn)分別在上，且．若，則的面積為（）A．7.5 B．8 C．6 D．10【答案】C【分析】作,垂足分別為M，N，證明，得到，根據(jù)面積公式計(jì)算選擇即可．【詳解】如圖，作,垂足分別為M，N，因?yàn)檎叫?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，因?yàn)榈冗?/span>，，，所以等邊，，所以，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握一線三直角全等模型的構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）“正方形既是矩形又是菱形”是____事件．（填“必然”、“隨機(jī)”、“不可能”）【答案】必然【分析】根據(jù)正方形、矩形、菱形的性質(zhì)、隨機(jī)事件的定義解答．【詳解】正方形四個都是直角，是矩形，正方形四條邊都相等，是菱形，正方形既是矩形，又是菱形，是必然事件；故答案為：必然．【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件、正方形的性質(zhì)以及矩形、菱形的判定，正確掌握矩形、菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形中，，，則_________°．【答案】50【分析】利用，求得，再利用平行線的性質(zhì)即可解答本題．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇宿遷·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是_______．【答案】45°##度【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得，，可求，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？茧A段練習(xí)）將將正方形A一個頂點(diǎn)與正方形B的對角線交點(diǎn)重合（如圖1），則陰影部分面積是正方形A面積的，將正方形B的一個頂點(diǎn)與正方形A的對角線交點(diǎn)重合（如圖2），則陰影部分面積是正方形B面積的________．【答案】【分析】根據(jù)圖①得出，將圖②進(jìn)行字母標(biāo)注，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出?COE?DOF，利用面積之間的關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)正方形A的面積為，正方形B的面積為，在圖1中，，，∴，在圖2中，進(jìn)行標(biāo)注，如圖所示：∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，∴∠COE=∠DOF，在?COE與?DOF中，，∴?COE?DOF，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，找出全等三角形并證明是解題關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD上一點(diǎn)，AE＝2cm，DE＝6cm，點(diǎn)P是對角線BD上的一動點(diǎn)，則AP＋PE的最小值是______cm．【答案】10【分析】連接EC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得的長，即為AP＋PE的最小值，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：連接EC，PC，點(diǎn)P是正方形對角線BD上的一動點(diǎn)，則EC就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD，AE=2cm，DE=6cm，∴CD=AD=AE+DE=8cm，∴CE=（cm）．∴AP+PE的最小值是10cm．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，是對角線上的點(diǎn)，，，，分別為垂足，連結(jié)設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，，則的長為______．【答案】2.5【分析】如圖所示。連接AG，CG，先證明△ABG≌△CBG（SSS），得到AG=CG，再證四邊形ECFG是矩形，得到CG=EF=5，最后證明MN是△ABG的中位線，則．【詳解】解：如圖所示。連接AG，CG，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，又∵BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SSS），∴AG=CG，∵GF⊥BC，GE⊥CD，∠ECF=90°，∴四邊形ECFG是矩形，∴CG=EF=5，∵M、N分別是AB，BG的中點(diǎn)，∴MN是△ABG的中位線，∴，故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長分別為和，點(diǎn)E、G分別為邊上的點(diǎn)，H為的中點(diǎn)，連接，則的長為 _____．【答案】##厘米【分析】延長交的延長線于N，由可證，可得，，在中，由勾股定理可求的長，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于N，∵正方形和正方形的邊長分別為和，∴，，∴，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·八年級單元測試）如圖，將正方形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD邊在x軸上，直線L：y＝kx與正方形ABCD的邊有兩個交點(diǎn)O、E，當(dāng)3＜OE＜5時，k的取值范圍是_______．【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣【分析】設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E點(diǎn)不在AD邊上，即k≠0，分k＞0與k＜0兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：如圖，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)M，∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，∴E點(diǎn)不在AD邊上，∴k≠0，①如果k＞0，那么點(diǎn)E在AB邊或線段BM上，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊且OE＝3時，由勾股定理得， ∴AE＝，∴E（1，），當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點(diǎn)（1，）時，k＝，∵，∴OB=＜5，當(dāng)點(diǎn)E在線段BM上時，OE＜OB=＜5，∴k＞，符合題意；②如果k＜0，那么點(diǎn)E在CD邊或線段CM上，當(dāng)點(diǎn)E在CD邊且OE＝3時，E與D重合；當(dāng)OE＝5時，由勾股定理得，∴DE＝4，∴E（﹣3，4），此時E與C重合，當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4）時，k=，當(dāng)點(diǎn)E在線段CM上時，OE＜OC＝5，∴k＜0且k，符合題意；綜上，當(dāng)3＜OE＜5時，k的取值范圍是k＞或k＜0且k≠．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為1，點(diǎn)在延長線上，且．求證：平分．【答案】見解析【分析】求得，證明，推出，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是邊長為1的正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點(diǎn)G．(1)求證：DE＝AF；(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB＝4，求GF的長．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）證明，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得，從而得到，再由，可得，即可求解．（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，在中，，∵DE=AF，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·江蘇·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面積．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS證得△ADE≌△ABF；（2）根據(jù)勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延長線上的點(diǎn)，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝＝4，由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，是的角平分線，求的長．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易證△EOC≌△GOB（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根據(jù)BF是∠DBC的角平分線，可知∠EBF=∠CBF，可證△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知BC=2，即可求出OE．（1）證明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，，∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分線，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=，根據(jù)勾股定理，得BC=2，∴OE+=2，∴OE=2-．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的定點(diǎn)．(1)如圖1中僅用圓規(guī)分別在、上作點(diǎn)、，使，且，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據(jù)你的作圖步驟，利用圖2證明：，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用圓規(guī)在AD上截取AE＝BP，在BC上截取BF＝AP；（2）利用正方形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝90°，再證明△APE≌△BFP得到PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，再證明∠EPF＝90°，從而得到PE⊥PF．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)E、F為所作；（2）證明：如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠B＝90°，在△APE和△BFP中，，∴△APE≌△BFP（SAS），∴PE＝PF，∠AEP＝∠BPF，∵∠AEP+∠APE＝90°，∴∠APE+∠BPF＝90°，∴∠EPF＝180°－（∠APE+∠BPF）＝90°，∴PE⊥PF，即EP⊥PF，且EP＝PF【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．22．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作與的延長線相交于點(diǎn)，連接與邊相交于點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)．(1)若，且，求的長；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）在正方形中，由，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由一對直角相等，且，利用得到，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，進(jìn)而利用計(jì)算的長；（2）在上取一點(diǎn) ，使，連接，利用得到，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到，，進(jìn)而確定出為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1） ∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴，在和中 ∴∴又∵∴則（2）在上取一點(diǎn) ，使，連接由（1）∴則是等腰直角三角形∴在和中 ∴則，∵，∴∴，則∴為等邊三角形∴∵∴【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．23．（2022春·江蘇·八年級期中）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝　　度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．24．（2022秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）四邊形為正方形，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)在邊上，求證：；(2)以，為鄰邊作矩形，連接．①如圖2，若，，求的長度；②當(dāng)線段與正方形一邊的夾角是時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）連接，由正方形的對稱性證得△ECB≌△ECD(SAS)，推出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可證明，進(jìn)而證得，得，便可得；（2）①證明得，求出的長度便可；②分兩種情況：或，分別根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和求得結(jié)果便可．（1）解：證明：如圖，連接，是正方形的對角線，∴∠ACB=∠ACD=45°，∵EC=EC，CB=CD，∴△ECB≌△ECD(SAS)，，四邊形是正方形，，，，，，，，；（2）①四邊形為矩形，，四邊形為正方形，，四邊形為正方形，，，，，，，，，；②當(dāng)時，如圖，，，，當(dāng)時，如圖，，，，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵是作輔助線和證明全等三角形．

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