? 2022-2023學年八年級數(shù)學下冊 必刷題【蘇科版】
專題9.13菱形的性質(zhì)與判定大題提升訓練（重難點培優(yōu)30題）
班級：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事項：
本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、解答題
1．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且DE//AC,AE//BD．求證：四邊形AODE是矩形．

【答案】見詳解
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理得四邊形AODE為平行四邊形，由矩形的定義得出四邊形AODE是矩形．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD為菱形
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°,
∵DE//AC,AE//BD,
∴四邊形AODE為平行四邊形，
∴平行四邊形AODE是矩形．
【點睛】本題考查了矩形的判定以及菱形的性質(zhì)，還考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法．
2．（2021春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，AD邊上，AE=AF，連接CE，CF．求證：∠AEC=∠AFC．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：連接AC，如圖，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
在△AEC和△AFC中，AE=AF∠EAC=∠FACAC=AC，
∴△AEC?△AFC(SAS)，
∴∠AEC=∠AFC．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．
3．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，點A是菱形BDEF對角線的交點，BC∥FD，CD∥BE，連接AC，交BD于O．

(1)求征：四邊形ABCD是矩形；
(2)若BE=10，DF=24，求AC的長．
【答案】(1)見解析
(2)AC=13

【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DF⊥BE，即可證明四邊形ABCD是矩形；
（2）根據(jù)菱形對角線的性質(zhì)可知，AB=AE= 12BE，AF=AD= 12FD，用勾股定理即可求出BD的長度,即可求解．
【詳解】（1）證明，∵BC∥FD，CD∥BE，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵四邊形BDEF是菱形，
∴DF⊥BE
∴∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）∵四邊形BDEF是菱形，BE=10，DF=24，
∴AB=AE= 12BE=5，AF=AD= 12FD=12，
∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=52+122=13，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD=13,
即AC=13．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定以及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2021春·江蘇淮安·八年級校考期中）如圖，D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC內(nèi)的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．

(1)求證：四邊形DGFE是平行四邊形；
(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)OA＝BC，理由見解析
【分析】（1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE＝12BC，GF∥BC，GF＝12BC，從而得出DE∥GF，DE＝GF，即可證得四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）由四邊形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DG＝12OA，GF＝12BC，從而得出OA＝BC．
【詳解】（1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點．
∴DE∥BC，DE＝12BC．
∵點G、F分別是OB、OC的中點，
∴GF∥BC，GF＝12BC．
∴DE∥GF，DE＝GF．
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）解：OA＝BC，理由如下：
連接OA．

∵四邊形DEFG是菱形，
∴DG＝GF，
∵D是AB的中點，點G、F分別是OB、OC的中點，
∴DG＝12OA，GF＝12BC，
∴OA＝BC．
【點睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關(guān)系，熟記相關(guān)的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=16，DB=12，DH⊥AB于點H，

(1)求菱形ABCD的周長？
(2)求DH的長？
【答案】(1)菱形ABCD的周長為40；
(2)DH=485．

【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再利用勾股定理計算出AB=10，即可得出菱形的周長；
（2）根據(jù)菱形的面積公式得到12?AC?BD=DH?AB，再解關(guān)于DH的方程即可．
（1）
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=OC=12AC=8，OB=OD=12BD=6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB=AO2+BO2=10，
∴菱形ABCD的周長為：10×4=40；
（2）
解：∵S菱形ABCD=12?AC?BD，
S菱形ABCD=DH?AB，
∴DH?10=12×12×16，
∴DH=485．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的面積等于對角線乘積的一半．
6．（2022春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┰诹庑蜛BCD中，兩條對角線相交于點O，F(xiàn)是邊CD的中點，連接OF并延長到E，使FE=OF，連接CE，DE．

(1)求證：四邊形OCED是矩形；
(2)求證：OE∥BC．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）由菱形ABCD可得出AC⊥BD，由F是CD的中點、EF=OF，證四邊形OCED是平行四邊形，進而得出結(jié)論；
（2）證明OF是△DBC的中位線即可得出結(jié)論．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵F是邊CD的中點，
∴CF=DF，
又FE=OF，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵∠DOC=90°，
∴四邊形OCED是矩形；
（2）
∵四邊形OCED是矩形，
∴DF=FC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DO=BO，
∴OF是△DBC的中位線，
∴OE∥BC．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，E為邊BC上方一點，EB=EC，∠BEC=90°．

(1)在圖1中，請僅用無刻度的直尺作出BC邊的中點F；
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接AE、AF、DE、DF，若四邊形AEDF為菱形，請?zhí)骄緼B、BC之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析
(2)BC=4AB

【分析】（1）連接AC，BD，過點E和AC與BD的交點O，作線段EF交BC于點F，則點F即為所求；理由：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB=OC，從而得到點O在BC的垂直平分線上，再由EB=EC，可得點E在BC的垂直平分線上，進而得到EF垂直平分BC，即可求解；
（2）證明EF=2AB，BC=2EF，可得結(jié)論．
（1）
解∶如圖，連接AC，BD，過點E和AC與BD的交點O，作線段EF交BC于點F，則點F即為所求；

理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴點O在BC的垂直平分線上，
∵EB=EC，
∴點E在BC的垂直平分線上，
∴EF垂直平分BC，即點F為BC的中點，
（2）
如圖，

設(shè)EF交AD于點J．
∵EB=EC，∠BEC=90°，BF=CF，
∴EF=BF=CF，EF⊥BC，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴EJ=JF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠BAJ=∠BFJ=90°，
∴四邊形ABFJ是矩形，
∴AB=FJ，
∴EF=2AB，
∵BC=2EF，
∴BC=4AB．
【點睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
8．（2021春·江蘇宿遷·八年級校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A即停止；同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s，連接PQ、AQ、CP．設(shè)點P、Q運動的時間為ts．

(1)求證：四邊形AQCP是平行四邊形；
(2)若四邊形AQCP是菱形，求t值．
【答案】(1)證明見解析
(2)當t＝1.5s時，四邊形AQCP為菱形

【分析】（1）由題意易得BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可進行求證；
（2）由（1）可知，四邊形AQCP為平行四邊形，則有22+t2=4?t，進而問題可求解．
（1）
證明：由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
∵AP=CQ，又AP∥CQ，
∴四邊形AQCP為平行四邊形；
（2）
解：由（1）可知，四邊形AQCP為平行四邊形，
∴當AQ＝CQ時，四邊形AQCP為菱形，
即22+t2=4?t時，四邊形AQCP為菱形，解得t＝1.5，
故當t＝1.5s時，四邊形AQCP為菱形．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形及菱形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
9．（2019春·江蘇南京·八年級南京市寧海中學?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點、過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

(1)求證：CE=AD；
(2)當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
(3)若D為AB中點，則當∠A=______時，四邊形BECD是正方形（直接寫出答案）．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形BECD是菱形，理由見解析
(3)45°

【分析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．
【詳解】（1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴四邊形BECD是菱形；
（3）解：當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D為BA中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
故答案為：45°．
【點睛】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．
10．（2022春·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．

(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
(2)當AB＝AC時，求證：四邊形ADCF矩形；
(3)當△ABC滿足條件 　 　時，四邊形ADCF是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)當△ABC滿足∠BAC＝90°時，則四邊形ADCF是菱形，理由見解析

【分析】（1）先證明△AEF≌△DEB，可得AF＝DB，從而得到AF＝DC，即可求證；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADB＝90°，即可求證；
（3）當△ABC滿足∠BAC＝90°時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD＝DC＝12BC，即可求解．
（1）
證明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∵E是AD的中點，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
∠FAE=∠EDB∠AFE=∠EBDAE=DE，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）
證明：∵AB＝AC，且AD為BC邊上的中線，
∴AD⊥CD，
即∠ADB＝90°，
∴四邊形ADCF為矩形；
（3）
解：當△ABC滿足∠BAC＝90°時，則四邊形ADCF是菱形，
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AD是BC邊的中線，
∴AD＝DC＝12BC，
又∵四邊形ADCF為平行四邊形，
∴四邊形ADCF是菱形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形和菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，矩形和菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習）如圖，?ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且BE＝DF，EF與AC相交于點P．

(1)求證：PA＝PC．
(2)當EF⊥AC時，連接AF、CE，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形AECF是菱形，理由見解析

【分析】（1）連接AF，CE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，進而結(jié)合已知條件可得AE＝CF，根據(jù)一組對邊平行且相等可得四邊形AECF是平行四邊形，進而可得PA＝PC；
（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形即可得出結(jié)論．
（1）
證明：連接AF，CE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴PA＝PC；
（2）
解：四邊形AECF是菱形．
理由：∵由（1）可知：四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，在?ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分線交AD于點F，EF∥AB交BC于點E．

(1)求證：四邊形ABEF是菱形；
(2)若AB＝5，AE＝6，?ABCD的面積為36，求CE的長．
【答案】(1)見解析
(2)EC=2.5．

【分析】（1）先證四邊形ABEF是平行四邊形，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證AB=AF，可得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可得AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，由勾股定理可求BO，由菱形的面積公式可求菱形ABEF的面積=24，可求平行四邊形EFDC的面積，即可求解．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵AF∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴四邊形ABEF是菱形；
（2）
解：∵四邊形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，
∴BO=AB2?AO2=25?9=4，
∴BF=8，
∴菱形ABEF的面積=12×6×8=24，
∵AD∥BC，AB∥EF∥CD，
∴四邊形ECDF是平行四邊形，
∴S平行四邊形EFDC=36-24=12，
∴S菱形ABFE:S平行四邊形EFDC=2：1，
∴BE：EC=2：1，
∴EC=2.5．
【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過AD的中點O作AD的垂線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，連接DE，DF．求證：四邊形AEDF是菱形．

【答案】見解析
【分析】證明△AOE≌△DOF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出EO=FO，得出四邊形AEDF是平行四邊形，由菱形的判定可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠FDA，
又∵∠AOE=∠DOF，AO=DO，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
又∵AO=DO，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
又∵AD⊥EF，
∴四邊形AEDF是菱形．
【點睛】本題考查了菱形的判定的應(yīng)用，能熟記菱形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵，注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
14．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點，AD//BC，AE//DC，EF⊥CD于點F．

(1)求證：四邊形AECD是菱形；
(2)若AB＝3，AC＝4，求EF的長．
【答案】(1)見解析
(2)125

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可．
【詳解】（1）證明：∵AD∥ BC，AE∥ DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，E是BC的中點，
∴AE=CE=12BC，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）解：解：過A作AH⊥BC于點H，如圖所示

∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=AB2+AC2=5，
∵ΔABC的面積=12BC×AH=12AB×AC，
∴AH=AB×ACBC=125，
∵四邊形AECD是菱形，
∴CD=CE，
∵S?AECD=CE?AH=CD?EF，
∴EF=AH=125．
【點睛】此題考查菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是證明四邊形AECD是菱形．
15．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，DB是?ABCD的對角線．

(1)尺規(guī)作圖：作線段BD的垂直平分線EF，分別交AB、DB、DC于E、O、F，連接DE，BF；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)試判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形DEBF為菱形，理由見解析

【分析】（1）利用基本作圖，作線段BD的垂直平分線即可；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB=ED，F(xiàn)B=FD，OB=OD，再證明△ODF≌△OBE得到DF=BE，所以DE=EB=BF=DF，于是可判斷四邊形DEBF為菱形．
【詳解】（1）解：如圖，EF、DE、BF為所作；

（2）解：四邊形DEBF為菱形．
理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，F(xiàn)B=FD，OB=OD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠FDB=∠EBD，
在△ODF和△OBE中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴DF=BE，
∴DE=EB=BF=DF，
∴四邊形DEBF為菱形．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的判定．
16．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點，連接DE、EF、AE．

(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形；
(2)加上條件______（從①三個條件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中選擇一個，寫序號），能使結(jié)論_______成立（從兩個結(jié)論①四邊形ADEF為菱形；②四邊形ADEF為矩形中選擇一個，寫序號），并加以證明．
【答案】(1)見解析
(2)①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三種情況任選一種即可）

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可證；
（2）若選①∠BAC=90°根據(jù)（1）中ADEF為平行四邊形的基礎(chǔ)，可以證明四邊形ADEF為矩形；
若選②AE平分∠BAC，則在（1）中ADEF為平行四邊形基礎(chǔ)上，再證一組鄰邊相等即證明AF＝EF，從而得出四邊形ADEF為菱形；
若選③AB＝AC，三角形中位線定理，即可證明EF＝DE ，再根據(jù)四邊形AEDF為平行四邊形，即可證明四邊形為菱形．
（1）
證明：∵D、E、F為AB、BC、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DE＝12AC＝AF，
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形．
（2）
解：選①∠BAC=90°，證明②四邊形ADEF為矩形，
根據(jù)解析（1）可知，四邊形ADEF為平行四邊形，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形ADEF為矩形．
選②AE平分∠BAC，證明①四邊形ADEF為菱形，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF為平行四邊形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四邊形ADEF為菱形．
選③AB＝AC證明①四邊形ADEF為菱形，
∵EF∥AB，EF＝12AB，DE∥AC，DE＝12AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∵四邊形ADEF為平行四邊形，
∴四邊形ADEF為菱形．
故答案為：①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三種情況任選一種即可）．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理．認真分析圖中的幾何關(guān)系，熟練掌握平行四邊形以及菱形的判定定理是解題關(guān)鍵．
17．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD折疊，使C、A兩點重合，點D的對應(yīng)點為點G，折痕為EF，點E在BC上，點F在AD上．

(1)請你畫出圖形并標好字母，求證：四邊形AECF是菱形；
(2)已知AB＝4，BC＝8，求線段FD的長．
【答案】(1)見解析
(2)線段FD的長為3．

【分析】（1）由折疊性質(zhì)得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，由矩形性質(zhì)得出AE=CE=CF=AF，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
（1）
解：畫出圖形如圖所示：

證明：由折疊性質(zhì)得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AF∥CE，
∴∠AFE=∠CEF，
∵∠AEF=∠FEC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵CE=AF，
∴AE=CF，
∵AF=FC，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四邊形AECF為菱形；
（2）
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=4，∠D=90°，
∵AF=CF=AD-DF，CD2+DF2=CF2，
∴42+DF2=（8-DF）2，
∴DF=3，
故線段FD的長為3．
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．
18．（2022秋·江蘇·九年級開學考試）在平行四邊形ABCD中，AC⊥CD．

(1)如圖1，延長DC到E，使CE = CD，連接BE，求證：四邊形ABEC是矩形；
(2)如圖2，點F，G分別是BC，AD的中點，連接AF，CG，判斷四邊形AFCG的形狀并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形AFCG是菱形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CE，AB=CD，再由CE = CD，可得AB=CE，可得到四邊形ABEC是平行四邊形，再由AC⊥CD．即可求證；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC=AD，BC∥AD，再由點F，G分別是BC，AD的中點，可得CF=AG，可得到四邊形AFCG是平行四邊形，再由直角三角形的性質(zhì)，AF=CF，即可求解．
【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴AB∥CE，
∵CE = CD，
∴AB=CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∵AC⊥CD．
∴∠ACE=90°，
∴四邊形ABEC是矩形；
（2）解：四邊形AFCG是菱形，理由如下：
在平行四邊形ABCD中，BC=AD，BC∥AD，
∵點F，G分別是BC，AD的中點，
∴BC=2CF，AD=2AG，CF∥AG，
∴CF=AG，
∴四邊形AFCG是平行四邊形，
∵四邊形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BC=2AF，
∴AF=CF，
∴四邊形AFCG是菱形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考階段練習）已知：如圖，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求證：

(1)AB=AE；
(2)四邊形ABFE是菱形．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CBE=∠AEB，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠CBE=∠ABE，從而可得∠AEB=∠ABE，最后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；
（2）先根據(jù)平行四邊形的判定證出四邊形ABFE是平行四邊形，再結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)菱形的判定即可得證．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE．
（2）
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
由（1）已證：AB=AE，
∴四邊形ABFE是菱形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，AO=CO,BO=DO，BD平分∠ABC．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)E為OB上一點，連接CE，若OE=1,CE=5,BC=25，求菱形ABCD的面積．
【答案】(1)過程見解析
(2)16

【分析】對于（1），先根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠ABD=∠ADB，可得AB=AD，即可根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”得出答案；
對于（2），先根據(jù)勾股定理求出CO，BO，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘以的一半得出答案．
(1)
∵AO=CO，BO=DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
(2)
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2CO，BD=2BO．
在Rt△COE中，OE=1，CE=5，
∴CO=CE2?EO2=2，
∴AC=2CO=4．
在Rt△BOC中，BC=25，CO=2，
∴BO=BC2-CO2=4，
∴BD=2BO=8．
所以菱形ABCD的面積=12×4×8=16．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．
21．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．

(1)求證：△AEF≌△DEB；
(2)當∠BAC＝_______°時，四邊形ADCF是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)90

【分析】（1）利用AAS即可證明；
（2）先根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半證明AD=DC，再證明四邊形AFCD是平行四邊形即可得證．
（1）
證明：∵AF∥BC，
∴∠DBE＝∠AFE
∵E為AD中點，
∴EA＝ED，
∵∠BED＝∠FEA，
∴△AEF≌△DEB；
（2）
當∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形；
理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD=12BC=BD=DC，
∵在（1）中已證得△AEF≌△DEB，
∴AF=BD，
∵AF∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵AD=CD，
∴平行四邊形AFCD是菱形，
故答案為：90．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，掌握全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．
22．（2022·江蘇揚州·校聯(lián)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，將四邊形ABCD折疊，使A，C兩點重合，折痕與AD，AC，BC分別交于點E，O，F(xiàn)．

(1)請用尺規(guī)作出直線EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)連接AF，CE，判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)菱形，理由見解析
【分析】（1）連接AC，作線段AC的垂直平分線即可；
（2）證△AOE≌△COF（ASA），得OE=OF，再由OA=OC，得四邊形AFCE為平行四邊形，然后由EF⊥AC，即可得出結(jié)論．
（1）
解：連接AC，如圖，直線EF即為所求作：
；
（2）
解：四邊形AFCE是菱形．理由如下：
證明：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由作圖知：EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
∵EF垂直平分AC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
23．（2022春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，E、F分別是AD及其延長線上的點，CE∥BF．

(1)求證：△BDF≌△CDE；
(2)連接BE、CF，若AB=AC，四邊形BECF是什么特殊的四邊形，請證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)菱形，見解析

【分析】（1）由題意易得∠FBD=∠ECD，BD=CD，然后問題可求證；
（2）由（1）知DF=DE，然后可得四邊形BECF是平行四邊形，進而問題可求解．
（1）
證明：∵CE∥BF，
∴∠FBD=∠ECD，
∵點D是BC的中點，
∴BD=CD，
∵∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌△CDE；
（2）
四邊形BECF是菱形，證明如下：
由（1）知，△BDF≌△CDE，
∴DF=DE，
又BD=CD，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，即EF⊥BC，
∴四邊形BECF是菱形．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·江蘇·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，AC平分∠BAD，

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若菱形ABCD的邊長為13，對角線AC=24，點E、F分別是邊CD、BC的中點，連接EF并延長，與AB的延長線相交于點G，求EG的長．
【答案】(1)見解析
(2)10

【分析】（1）根據(jù)AB∥CD，AC平分∠BAD，可得AD=CD，從而得到AB=CD，可證得四邊形ABCD是平行四邊形，即可求證；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到CD=13，AO=CO=12． 利用勾股定理即可得到OD的長，再結(jié)合三角形中位線性質(zhì)，可得四邊形BDEG是平行四邊形，即可求解．
（1）
解：∵AB∥CD，
∴∠BCAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∵AB=AD，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）
解：連接BD，交AC于點O，如圖，

∵菱形ABCD的邊長為13，對角線AC=24，
∴CD=13，AO=CO=12，
∵點E、F分別是邊CD、BC的中點，
∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的對角線，
∴AC⊥BD，OB=OD，
∵CD=13， CO=12，
∴OB=OD=132?122=5，
∴BD=10，
又AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四邊形BDEG是平行四邊形，
∴EG =BD=10．
【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)判定方法、菱形的判定和性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)鍵在于熟悉四邊形的判定方法和在題目中找到合適的判定條件，需要多加練習才能提高．
25．（2022春·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于12BF長為半徑畫弧，兩弧交于點P連接AP并延長交BC于E，連接EF，得到四邊形ABEF．

(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，判斷四邊形ABEF的形狀并證明；
(2)若∠C=60°,AE=83，求菱形ABEF的周長．
【答案】(1)四邊形ABEF為菱形．
(2)32．

【分析】（1）根據(jù)作圖的過程可知EA平分∠BAD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BE=BA，根據(jù)作圖可知BA=FA，得BE=FA，證明四邊形ABEF是平行四邊形，進而可得四邊形ABEF是菱形．
（2） 連接BF交AE于點O，結(jié)合（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和∠C=60°，AE=83，即可求菱形ABEF的周長．
（1）
證明：根據(jù)作圖可知EA平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD,
∴∠BEA=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA，
∵BA=FA，
∴BE=FA，
∵BE∥FA，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABEF是菱形．
（2）
如圖，連接BF交AE于點O，
∵四邊形ABEF是菱形，
∴BF⊥AE，BO=FO，AO=EO=43，
∠BEF=∠C=60°，
????
∴∠BEO=30°，
∴OB=33OE=4，
∴BE=2OB=8，
∴菱形ABEF的周長為4BE=32．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判斷與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
26．（2022春·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，由兩個等寬的矩形疊合而得到四邊形ABCD．

(1)試判斷四邊形ABCD的形狀并證明．
(2)若矩形長為8cm，寬為2cm，求四邊形ABCD的最大面積．
【答案】(1)四邊形ABCD是菱形，證明見解析
(2)172平方厘米

【分析】（1）作AR⊥BC，交BC于點R，AS⊥CD，交CD于點S，先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)兩個矩形的寬度相等，可得AR＝AS，結(jié)合平行四邊形的面積有AR?BC＝AS?CD，有BC＝CD，即得證；
（2）先確定菱形ABCD的形狀，設(shè)BC＝x，則CG＝8-x，CD＝BC＝x，在Rt△CBG中，CG2+BG2＝BC2，即可求出BC，則菱形的面積可求．
（1）
四邊形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC，交BC于點R，AS⊥CD，交CD于點S，

由題意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵兩個矩形的寬度相等，
∴AR＝AS，
∵根據(jù)平行四邊形的面積有AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
（2）
當這兩張紙片疊合成如圖2時，四邊形ABCD的面積最大，
∵菱形ABCD的邊上的高為矩形的寬，是定值，
∴菱形ABCD的邊越大時，其面積也就越大，
即如圖2，此時菱形ABCD的邊BC得到最大，故此時菱形ABCD的面積最大，

由題條件有：BG=2，BH=DG=8，∠G=90°，
根據(jù)（1）的結(jié)論有：四邊形ABCD是菱形，
即有BC=CD，
設(shè)BC＝x，則CG＝8-x，CD＝BC＝x，
在Rt△CBG中，CG2+BG2＝BC2，
∴8?x2+22＝x2，
解得x=174，
∴S＝BG?CD＝174×2=172（平方厘米）．
即四邊形ABCD的最大面積為172平方厘米．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．利用好平行四邊形的面積公式可以簡化解題過程．
27．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，點M從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ，設(shè)運動時間為t秒（0

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