高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第二冊3.3 二項(xiàng)式定理與楊輝三角第1課時導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1課時　二項(xiàng)式定理(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的內(nèi)容及歸納過程．教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)展開式的規(guī)律的理解和掌握. 知識點(diǎn)　　　　二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n是正整數(shù)，k是滿足0≤k≤n的正整數(shù))稱為二項(xiàng)式定理，等式右邊的式子稱為(a＋b)n的展開式，它共有n＋1項(xiàng)，其中Can－kbk是展開式中的第k＋1項(xiàng)(通常用Tk＋1表示)，C稱為第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，我們將Tk＋1＝Can－kbk稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(1)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n；(2)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零，字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.1．注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念二項(xiàng)展開式的第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，所有的二項(xiàng)式系數(shù)是僅與二項(xiàng)式的次數(shù)n有關(guān)的n＋1個組合數(shù)，與a，b的取值無關(guān)，且是正數(shù)；而第k＋1項(xiàng)的系數(shù)則是二項(xiàng)式系數(shù)C與數(shù)字系數(shù)的積，可能為負(fù)數(shù)．如(2x＋1)5展開式中的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，而第二項(xiàng)的系數(shù)則是C24.注意：當(dāng)數(shù)字系數(shù)為1時，二項(xiàng)式系數(shù)恰好就是項(xiàng)的系數(shù)．2．要牢記Can－kbk是展開式的第k＋1項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng)．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)(a＋b)n的展開式中共有n項(xiàng)．(　　)(2)(a＋b)n與(b＋a)n的展開式中第k＋1項(xiàng)相同．(　　)(3)Can－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項(xiàng)．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)16的展開式中的第4項(xiàng)是________．(2)展開4為________．(3)二項(xiàng)式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________．答案　(1)－560x10　(2)1＋＋＋＋　(3)10　　　　　　　　　　　　　　　　題型一二項(xiàng)式定理的正用與逆用例1　(1)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，則f(2020)－f(－2020)的值為________；(2)寫出4的展開式．[解析]　(1)根據(jù)f(x)的解析式，逆用二項(xiàng)式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.顯然f(－x)＝f(x)，即f(x)為偶函數(shù)，所以f(2020)－f(－2020)＝0.(2)解法一：4＝C()4－C·()3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋.解法二：4＝4＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋.[答案]　(1)0　(2)見解析點(diǎn)睛二項(xiàng)式定理的雙向功能(1)正用：將二項(xiàng)式(a＋b)n展開，得到一個多項(xiàng)式，即二項(xiàng)式定理從左到右使用是展開．對較復(fù)雜的式子，先化簡再用二項(xiàng)式定理展開．(2)逆用：將展開式合并成二項(xiàng)式(a＋b)n的形式，即二項(xiàng)式定理從右到左使用是合并，對于化簡、求和、證明等問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．　(1)用二項(xiàng)式定理展開4；(2)化簡1＋2C＋4C＋…＋2nC.解　(1)解法一：4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.解法二：4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.(2)1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.　　題型二利用二項(xiàng)式定理求某些特定項(xiàng)例2　已知n的展開式中第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)．[解]　(1)由題意，得Tr＋1＝C()n－rr＝(－1)rrCx(r＝0,1,2，…，n)．∴T6＝T5＋1＝(－1)5·5Cx.又第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴＝0，∴n＝10.(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)rrCx，令＝2，得r＝2.∴含x2的項(xiàng)的系數(shù)為(－1)2·2·C＝.含x2的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝45.(3)若Tr＋1為有理項(xiàng)，則為整數(shù)，其中0≤r≤10，r∈Z.∴10－2r＝0或10－2r＝6或10－2r＝－6，解得r＝5或r＝2或r＝8.∴有理項(xiàng)為T3＝C2x2＝x2，T6＝C5＝－，T9＝C8x－2＝x－2. 點(diǎn)睛求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m項(xiàng)：此時k＋1＝m，求出k，代入通項(xiàng)；(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變元”，令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程；(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．　(1)若9的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝________；(2)8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________．答案　(1)1　(2)7解析　(1)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx9－r－r＝C(－a)r·x9－2r(0≤r≤9，r∈N)．當(dāng)9－2r＝3時，解得r＝3，代入，得x3的系數(shù)，即C(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C8－rr＝(－1)r8－rCx8－r－r＝(－1)r8－rCx8－r(0≤r≤8，r∈N)．令8－r＝0，得r＝6，則T7＝(－1)68－6C＝7. 1．若(2x－3)n＋3的展開式中共有15項(xiàng)，則自然數(shù)n的值為(　　)A．11 B．12 C．13 D．14答案　A解析　因?yàn)?2x－3)n＋3的展開式中共n＋4項(xiàng)，所以n＋4＝15，即n＝11.故選A.2．二項(xiàng)式5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)A．80 B．－80 C．40 D．－40答案　B解析　二項(xiàng)式5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x3)5－r·r＝(－1)r2rCx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為T4＝(－1)3×23×C＝－80.故選B.3．(1＋)7的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是(　　)A．4 B．5 C．6 D．7答案　A解析　通項(xiàng)Tr＋1＝C()r＝C2，當(dāng)r＝0,2,4,6時，Tr＋1均為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4.4．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b等于________．答案　70解析　∵(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29，∴a＝41，b＝29，a＋b＝41＋29＝70.5．求(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)．解　∵(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本題求x10的系數(shù)，只要求(x＋2)10的展開式中x8及x10的系數(shù)．由Tr＋1＝Cx10－r·2r，取r＝2得x8的系數(shù)為C×22＝180，又x10的系數(shù)為C＝1，因此所求系數(shù)為180－1＝179. 　　　　　　　　　　　　　　　　 A級：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　)A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n答案　C解析　逆用公式，將1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.2．若二項(xiàng)式(x＋2)n的展開式的第4項(xiàng)是，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則x的值為(　　)A. B. C. D.答案　B解析　由二項(xiàng)式(x＋2)n的展開式的第4項(xiàng)為23Cxn－3，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝，故選B.3.8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)A. B. C. D．105答案　B解析　Tr＋1＝C()8－rr＝Cx4－r，令4－r＝0，得r＝4，∴T5＝·C＝，故選B.4．若對任意實(shí)數(shù)x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，則a2的值為(　　)A．3 B．6 C．9 D．21答案　B解析　∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.5．(多選)已知n的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為，則下列說法正確的是(　　)A．n＝10B．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為45C．含x5的項(xiàng)的系數(shù)為210D．展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)答案　ABC解析　對于A，∵Tr＋1＝(－1)rCx2n－r，又第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為＝，故n＝10，故A正確；對于B，令20－r＝0，得r＝8，∴常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)，是(－1)8C＝45，故B正確；對于C，令20－r＝5，則r＝6，故含x5的項(xiàng)的系數(shù)為(－1)6C＝210，故C正確；對于D，若20－r為整數(shù)，則r可取0,2,4,6,8,10，共6項(xiàng)，故D錯誤．故選ABC.二、填空題6．已知9的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值為________．答案　4解析　通項(xiàng)Tr＋1＝Ca9－r(－1)r2－xr－9，令r－9＝3，得r＝8.依題意，得C(－1)8×2－4a9－8＝，解得a＝4.7．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，n的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點(diǎn)Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如圖所示，則a＝________.答案　3解析　由題意，知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Cr(r＝0，1,2，…，n)．故＝3，＝4，解得a＝3.8．(x＋1)4(x－1)的展開式中x3的系數(shù)是________．答案　2解析　(x＋1)4(x－1)的展開式中含x3的項(xiàng)由以下兩部分相加得到：①(x＋1)4中的二次項(xiàng)乘以(x－1)中的一次項(xiàng)x，即Cx2·x＝6x3；②(x＋1)4中的三次項(xiàng)乘以(x－1)中的常數(shù)項(xiàng)－1，即Cx3×(－1)＝－4x3.所以(x＋1)4(x－1)的展開式中x3的系數(shù)是6＋(－4)＝2.三、解答題9．化簡下列各式：(1)C＋C6＋C62＋…＋C6n－1；(2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解　(1)原式＝(C＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1)．(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.10．求(1＋x)2(1－x)5的展開式中x3的系數(shù)．解　∵(1＋x)2的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cxr，(1－x)5的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝(－1)kCxk，其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}．令k＋r＝3，則有或或∴x3的系數(shù)為－CC＋CC－CC＝5.B級：“四能”提升訓(xùn)練1．二項(xiàng)式15的展開式中：(1)求常數(shù)項(xiàng)；(2)有幾個有理項(xiàng)？(3)有幾個整式項(xiàng)？解　展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝(－1)rC()15－rr＝(－1)r2rCx(r＝0,1,2，…，15)，(1)設(shè)Tr＋1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則＝0，得r＝6，即常數(shù)項(xiàng)為T7＝26C＝320320.(2)設(shè)Tr＋1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則＝5－r為整數(shù)，∴r為6的倍數(shù)，又0≤r≤15，∴r可取0,6,12三個數(shù)．即共有3個有理項(xiàng)．(3)由5－r為非負(fù)整數(shù)，得r＝0或6，∴有2個整式項(xiàng)．2．已知－n(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是10∶1.(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；(2)求展開式中含x的項(xiàng)．解　(1)∵－n的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C()n－r·－r＝(－2)rCx，∴T5＝T4＋1＝24Cx－10，T3＝T2＋1＝22Cx－5.由題意，得＝，∴n2－5n－24＝0，∴n＝8或n＝－3(舍去)．令x＝1，得－8的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1.(2)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝(－2)rCx，令＝，得r＝1.∴含x的項(xiàng)為T2＝T1＋1＝(－2)1Cx＝－16x.

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