高中數(shù)學(xué)3.3 二項(xiàng)式定理與楊輝三角多媒體教學(xué)課件ppt

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www.ks5u.com3.2　數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：生日悖論的解釋與模擬(略)3.3　二項(xiàng)式定理與楊輝三角第1課時(shí)　二項(xiàng)式定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．(重點(diǎn))3.能解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡(jiǎn)單問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng).2.借助二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).三個(gè)箱子均裝著標(biāo)有a，b字母的兩個(gè)大小，形狀一樣的球，從每個(gè)箱子摸出一個(gè)球，共摸出3個(gè)球，有哪些可能結(jié)果？每一種結(jié)果有多少種情形？問題：類比上述結(jié)果你能聯(lián)想出(a＋b)3展開式的形式嗎？二項(xiàng)式定理及相關(guān)的概念二項(xiàng)式定理概念公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)C(r＝0,1,2，…，n)叫做展開式的二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式通項(xiàng)Can－rbr是展開式中的第r＋1項(xiàng)，可記做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二項(xiàng)展開式Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)思考1：二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同嗎？[提示]　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，…，C，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除了變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．思考2：二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n展開式的第k＋1項(xiàng)是否相同？[提示]　不同．(a＋b)n展開式中第k＋1項(xiàng)為Can－kbk，而(b＋a)n展開式中第k＋1項(xiàng)為Cbn－kak.1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)(a＋b)n展開式中共有n項(xiàng)．  (　　)(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響． (　　)(3)Can－rbr是(a＋b)n展開式中的第r項(xiàng)． (　　)(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(x＋1)n的展開式共11項(xiàng)，則n等于(　　)A．9　　　 B．10　　　C．11 D．12B　[由n＋1＝11，可知n＝10.]3．(y－2x)8展開式中的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是(　　)A．C B．C(－2)5C．C D．C(－2)6C　[由題意可知第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.]4．(x＋2)6的展開式中x3的系數(shù)是________．160　[法一：設(shè)含x3的項(xiàng)為第r＋1項(xiàng)，則Tr＋1＝Cx6－r2r，令6－r＝3，則r＝3.故x3的系數(shù)為C·23＝160.法二：(x＋2)6表示6個(gè)括號(hào)相乘，要得到含x3的項(xiàng)，只需選出3個(gè)括號(hào)出x，另三個(gè)括號(hào)出2即可，即C·x3·23＝160x3.]二項(xiàng)式定理的正用、逆用【例1】　(1)用二項(xiàng)式定理展開；(2)化簡(jiǎn)：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.[思路點(diǎn)撥]　(1)二項(xiàng)式的指數(shù)為5，且為兩項(xiàng)的和，可直接按二項(xiàng)式定理展開；(2)可先把x＋1看成一個(gè)整體，分析結(jié)構(gòu)形式，逆用二項(xiàng)式定理求解．[解]　(1)＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展開二項(xiàng)式可以按照二項(xiàng)式定理進(jìn)行．展開時(shí)注意二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確理解二項(xiàng)式的特點(diǎn)是展開二項(xiàng)式的前提條件．2．對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開會(huì)更簡(jiǎn)便．3．對(duì)于化簡(jiǎn)多個(gè)式子的和時(shí)，可以考慮二項(xiàng)式定理的逆用．對(duì)于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)，項(xiàng)數(shù)，各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù)．1．(1)求的展開式；(2)化簡(jiǎn)：1＋2C＋4C＋…＋2nC.[解]　(1)法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)＋C＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題【例2】　(1)求二項(xiàng)式的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)；(2)(教材P33習(xí)題3-3AT2改編)求的展開式中x3的系數(shù)．[思路點(diǎn)撥]　利用二項(xiàng)式定理求展開式中的某一項(xiàng)，可以通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解．[解]　(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(2)6－r·＝(－1)rC·26－r·x，∴T6＝－12x.∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝6，第6項(xiàng)的系數(shù)為C·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cx9－r·＝(－1)r·C·x9－2r，令9－2r＝3，∴r＝3，即展開式中第四項(xiàng)含x3，其系數(shù)為(－1)3·C＝－84.1．二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)C(r＝0,1,2，…，n)，它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念．2．第r＋1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如，在(1＋2x)7的展開式中，第四項(xiàng)是T4＝C17－3(2x)3，其二項(xiàng)式系數(shù)是C＝35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23＝280.2．求的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．[解]　T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為C·＝.通項(xiàng)Tr＋1＝C(x3)5－r＝·Cx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為T4＝C(x3)2＝.求展開式中的特定項(xiàng)[探究問題]1．如何求展開式中的常數(shù)項(xiàng)？[提示]　利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，則r＝2，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C＝＝6.2．(a＋b)(c＋d)展開式中的每一項(xiàng)是如何得到的？[提示]　(a＋b)(c＋d)展開式中的各項(xiàng)都是由a＋b中的每一項(xiàng)分別乘以c＋d中的每一項(xiàng)再把積相加而得到．3．如何求(2x＋1)3展開式中含x的項(xiàng)？[提示]　(2x＋1)3展開式中含x的項(xiàng)是由x＋中的x與分別與(2x＋1)3展開式中常數(shù)項(xiàng)C＝1及x2項(xiàng)C22x2＝12x2分別相乘再把積相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展開式中含x的項(xiàng)為13x.【例3】　已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．(1)求n；(2)求含x2項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)．[思路點(diǎn)撥]　→→→→→→→[解]　通項(xiàng)公式為：Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.(1)∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴r＝5時(shí)，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，∴所求的系數(shù)為C(－3)2＝405.(3)由題意得，令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k.∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2.1．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常見題型(1)求第k項(xiàng)，Tr＝Can－r＋1br－1；(2)求含xr的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；(3)求常數(shù)項(xiàng)；(4)求有理項(xiàng)．2．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法(1)對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；(2)對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；(3)對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展開式中，x5的系數(shù)是________．(2)若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為________．(1)207　(2)4　[(1)x5應(yīng)是(1＋x)10中含x5項(xiàng)、含x2項(xiàng)分別與1，－x3相乘的結(jié)果，∴其系數(shù)為C＋C(－1)＝207.(2)的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Cx6－r·(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，令6－3r＝0，得r＝2，即當(dāng)r＝2時(shí)，Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是Ca，根據(jù)已知得Ca＝60，解得a＝4.]1．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅指C，C，…，C，…，而后者指的是除字母以外的所有系數(shù)(包括符號(hào))．2．要牢記Can－kbk是展開式的第k＋1項(xiàng)，而非第k項(xiàng)．3．對(duì)于非二項(xiàng)式展開式的求解可借助二項(xiàng)式定理的原理求解．1．在(x－)10的展開式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)是(　　)A．－27C　　　 B．27C　　　C．－9C D．9CD　[含x6的項(xiàng)是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.]2．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(　　)A．－28 B．－7  C．7 D．28C　[Tr＋1＝C··＝(－1)r·C··x，當(dāng)8－r＝0，即r＝6時(shí)，T7＝(－1)6·C·＝7.]3．(1－x)10的展開式中第7項(xiàng)為________．210x6　[T7＝C(－x)6＝210x6.]4．化簡(jiǎn)：C2n＋C2n－1＋…＋C2n－k＋…＋C＝________.3n　[原式＝(1＋2)n＝3n.]5．設(shè)(x－)n的展開式中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的系數(shù)之比為1∶2，求含x2的項(xiàng)．[解]　(x－)n的展開式中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)分別為：T2＝C·xn－1(－)＝－nxn－1，T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.由題意可知＝，即n2－3n－4＝0，又n∈N＋，解得n＝4.設(shè)(x－)4的展開式中含x2的項(xiàng)為第k＋1項(xiàng)，則Tk＋1＝C·x4－k·(－)k(k＝0,1,2,3,4)根據(jù)題意可知4－k＝2，解得k＝2.所以(x－)4的展開式中含x2的項(xiàng)為T3＝C·x2·(－)2＝12x2.