數(shù)學(xué)選擇性必修 第二冊3.1.3 組合與組合數(shù)背景圖ppt課件

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www.ks5u.com第2課時　組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.學(xué)會運(yùn)用組合的概念，分析簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))2.能解決無限制條件的組合問題．(難點(diǎn))通過組合解決實(shí)際問題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).某國際會議中心有A、B、C、D和E共5種不同功能的會議室，且每種功能的會議室又有大、中、小和特小4種型號，總共20個會議室．現(xiàn)在有一個國際學(xué)術(shù)會議需要選擇3種不同功能的6個會議室，并且每種功能的會議室選2個型號．問題：會議中心的工作人員安排會議的方法有多少種？組合數(shù)的性質(zhì)(1)C＝；(2)C＋C＝C.1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)C＋C＝C(m≥2且m∈N*)． (　　)(2)從4名男生3名女生中任選2人，至少有1名女生的選法共有CC種．  (　　)(3)把4本書分成3堆，每堆至少一本共有C種不同分法．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．若C＝C，則x的值為(　　)A．2　　　 B．4　　　C．0 D．2或4D　[由C＝C可知x＝2或x＝6－2＝4.故選D.]3．C＋C的值為________．84　[C＋C＝C＝＝＝84.]4．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有________種．96　[甲選修2門，有C＝6(種)不同方案．乙選修3門，有C＝4(種)不同選修方案．丙選修3門，有C＝4(種)不同選修方案．由分步乘法計數(shù)原理，不同的選修方案共有6×4×4＝96(種)．]組合數(shù)的性質(zhì)【例1】　計算：(1)C＋C·C；(2)C＋C＋C＋C＋C＋C；(3)C·C(n＞0，n∈N)．[解]　(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2×＝32.(3)原式＝C·C＝(n＋1)n＝n2＋n.性質(zhì)“C＝C”的意義及作用1．(1)化簡：C－C＋C＝________；(2)已知C－C＝C，求n的值．(1)0　[原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0.](2)[解]　根據(jù)題意，C－C＝C，變形可得C＝C＋C，由組合數(shù)的性質(zhì)，可得C＝C，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.有限制條件的組合問題【例2】　高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動．(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的選法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？[思路點(diǎn)撥]　可從整體上分析，進(jìn)行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用兩個計數(shù)原理解決．[解]　(1)從余下的34名學(xué)生中選取2名，有C＝561(種)．∴不同的選法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有C種．或者C－C＝C＝5 984種．∴不同的選法有5 984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有CC＝2 100種．∴不同的選法有2 100種．(4)選取2名女生有CC種，選取3名女生有C種，共有選取方法N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555種．∴不同的選法有2 555種．(5)選取3名的總數(shù)有C，至多有2名女生在內(nèi)的選取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090種．∴不同的選法有6 090種．常見的限制條件及解題方法1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．2．含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解．2．“抗擊疫情，眾志成城”，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴抗擊疫情前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是內(nèi)科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？[解]　(1)分步：首先從4名內(nèi)科專家中任選2名，有C種選法，再從除內(nèi)科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有C·C＝90(種)抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．法一：按選取的內(nèi)科專家的人數(shù)分類：①選2名內(nèi)科專家，共有C·C種選法；②選3名內(nèi)科專家，共有C·C種選法；③選4名內(nèi)科專家，共有C·C種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(種)抽調(diào)方法．法二：不考慮是否有內(nèi)科專家，共有C種選法，考慮選取1名內(nèi)科專家參加，有C·C種選法；沒有內(nèi)科專家參加，有C種選法，所以共有：C－C·C－C＝185(種)抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．①沒有內(nèi)科專家參加，有C種選法；②有1名內(nèi)科專家參加，有C·C種選法；③有2名內(nèi)科專家參加，有C·C種選法．所以共有C＋C·C＋C·C＝115(種)抽調(diào)方法.分組分配問題[探究問題]1．把3個蘋果平均分成三堆共有幾種分法？為什么？[提示]　共1種分法．因?yàn)槿褵o差異．2．若把3個不同的蘋果分給三個人，共有幾種方法？[提示]　共有A＝3×2×1＝6種分法．【例3】　(教材P20例5改編)6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路點(diǎn)撥]　(1)是平均分組問題，與順序無關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個人一個人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是分組問題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解]　(1)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到：CCC＝90種．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有CCC種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有A種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．(3)這是“不均勻分組”問題，一共有CCC＝60種方法．(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有CCCA＝360種方法．(5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有CCC＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有CC5CA＝360種方法；③“1、1、4型”，有CA＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種1．完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等．2．部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！.3．完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．3．將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．36　[分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有A種．所以滿足條件的分配方案有·A＝36(種)．]1．在組合數(shù)的計數(shù)中，恰當(dāng)利用組合數(shù)的性質(zhì)解題可以使問題簡化．2．對于含有限制條件的組合問題，要合理分類，必要時可用間接法．3．對于分組問題應(yīng)注意避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏，對于分配問題解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)．1．某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為(　　)A．120種　　　 B．84種　　　C．52種 D．48種C　[間接法：C－C＝52種．]2．5個代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有(　　)A．A種　　 B．45種C．54種 D．C種D　[由于4張同樣的參觀券分給5個代表，每人最多分一張，從5個代表中選4個即可滿足，故有C種．]3．方程C＝C的解為________．4或6　[由題意知或解得x＝4或6.]4．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．7 315　[原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7 315.]5．有5個男生和3個女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．[解]　(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC種，后排有A種，共(CC＋CC)·A＝5 400種．(2)除去該女生后，先選后排，有C·A＝840種．(3)先選后排，但先安排該男生，有C·C·A＝3 360種．(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共C·C·A＝360種．