【第一學(xué)時】
【學(xué)習(xí)目標】
1．通過二項式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)。
2．借助二項式定理及展開式的通項公式解題，提升數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。
【學(xué)習(xí)重難點】
1．能用計數(shù)原理證明二項式定理。
2．掌握二項式定理及二項展開式的通項公式。（重點）
3．能解決與二項式定理有關(guān)的簡單問題。（重點、難點）
【學(xué)習(xí)過程】
一、新知初探
二項式定理及相關(guān)的概念
二、初試身手
1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）（a＋b）n展開式中共有n項。（ ）
（2）在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響。（ ）
（3）Ceq \\al(r,n)an－rbr是（a＋b）n展開式中的第r項。（ ）
（4）（a－b）n與（a＋b）n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同。（ ）
2．（x＋1）n的展開式共11項，則n等于（ ）
A．9B．10
C．11D．12
3．（y－2x）8展開式中的第6項的二項式系數(shù)是（ ）
A．Ceq \\al(6,8)B、Ceq \\al(5,8)（－2）5
C．Ceq \\al(5,8)D．Ceq \\al(6,8)（－2）6
4．（x＋2）6的展開式中x3的系數(shù)是________。
三、合作探究
【例1】（1）用二項式定理展開eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)；
（2）化簡：Ceq \\al(0,n)（x＋1）n－Ceq \\al(1,n)（x＋1）n－1＋Ceq \\al(2,n)（x＋1）n－2－…＋（－1）rCeq \\al(r,n)（x＋1）n－r＋…＋（－1）nCeq \\al(n,n)。
【例2】（1）求二項式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,x)))eq \s\up12(6)的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；
（2）（教材P33習(xí)題3-3AT2改編）求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(9)的展開式中x3的系數(shù)。
【例3】已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展開式中，第6項為常數(shù)項。
（1）求n；
（2）求含x2項的系數(shù)；
（3）求展開式中所有的有理項。
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
1．二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(k,n)，…，而后者指的是除字母以外的所有系數(shù)（包括符號）。
2．要牢記Ceq \\al(k,n)an－kbk是展開式的第k＋1項，而非第k項。
3．對于非二項式展開式的求解可借助二項式定理的原理求解。
【精煉反饋】
1．在（x－eq \r(3)）10的展開式中，含x6的項的系數(shù)是（ ）
A．－27Ceq \\al(6,10)B．27Ceq \\al(4,10)
C．－9Ceq \\al(6,10)D．9Ceq \\al(4,10)
2．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up16(8)的展開式中常數(shù)項是（ ）
A．－28B．－7
C．7D．28
3．（1－x）10的展開式中第7項為________。
4．化簡：Ceq \\al(0,n)2n＋Ceq \\al(1,n)2n－1＋…＋Ceq \\al(k,n)2n－k＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________。
5．設(shè)（x－eq \r(2)）n的展開式中第二項和第四項的系數(shù)之比為1∶2，求含x2的項。
【第二學(xué)時】
【學(xué)習(xí)目標】
1．通過學(xué)習(xí)二項式系數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)。
2．借助楊輝三角的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。
【學(xué)習(xí)重難點】
1．掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。（重點）
2．了解楊輝三角，并結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)加以說明。（難點）
3．掌握二項式定理的應(yīng)用。（難點）
【學(xué)習(xí)過程】
一、新知初探
1．二項式系數(shù)的性質(zhì)
（1）Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
（2）Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(k,n)＋…＝2n－1
2．楊輝三角具有的性質(zhì)
（1）每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)都是1；
（2）從第三行起，不在兩端的任意一個數(shù)，都等于上一行中與這個數(shù)相鄰的兩數(shù)之和。
（3）利用二項式系數(shù)的對稱性可知，二項式系數(shù)Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，Ceq \\al(2,n)，…，Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n)，是先逐漸變大，再逐漸變小的，當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大。
二、初試身手
1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列。（ ）
（2）二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項是相同的。（ ）
（3）二項展開式的二項式系數(shù)和為Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)。（ ）
2．（1－2x）15的展開式中的各項系數(shù)和是（ ）
A．1B．－1
C．215D．315
3．在（a＋b）10二項展開式中與第3項二項式系數(shù)相同的項是（ ）
A．第8項B．第7項
C．第9項D．第10項
4．（教材P32嘗試與發(fā)現(xiàn)改編）觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是________。
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
三、合作探究
【例1】設(shè)（1－2x）2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021（x∈R）。
（1）求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
（3）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值。
【例2】已知f（x）＝（eq \r(3,x2)＋3x2）n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992．
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項。
【例3】如圖所示，在“楊輝三角”中斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…。記其前n項和為Sn，求S19的值。
【例4】（教材P33例5改編）（1）用二項式定理證明：1110－1能被100整除；
（2）求9192被100除所得的余數(shù)。
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
1．二項式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出。
2．求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定。一般地對字母賦的值為0，1或－1，但在解決具體問題時要靈活掌握。
3．對于二項式定理的應(yīng)用主要體現(xiàn)在估算、證明及整除上，注意近似計算可用
（1＋x）n≈1＋nx，具體情況視精確度而定。
【精煉反饋】
1．二項式（x－1）n的奇數(shù)項二項式系數(shù)和是64，則n等于（ ）
A．5B．6
C．7D．8
2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))eq \s\up20(n)展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則n等于（ ）
A．4B．5
C．6D．7
3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x2)))eq \s\up12(n)（n∈N*）的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．210B．252
C．462D．10
4．設(shè)（－3＋2x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為________。
5．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，求a的值。二項式定理
概念
公式（a＋b）n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn（n∈N+）稱為二項式定理
二項式系數(shù)
各項系數(shù)Ceq \\al(r,n)（r＝0，1，2，…，n）叫做展開式的二項式系數(shù)
二項式通項
Ceq \\al(r,n)an－rbr是展開式中的第r＋1項，可記做Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N+）
二項展開式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn（n∈N+）
類型1
二項式定理的正用、逆用
類型2
二項式系數(shù)與項的系數(shù)問題
類型3
求展開式中的特定項
類型1
求展開式的系數(shù)和
類型2
二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
類型3
與“楊輝三角”有關(guān)的問題
類型4
二項式定理的應(yīng)用

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3.3 二項式定理與楊輝三角

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