高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊2.3.2 圓的一般方程學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

圓的一般方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的一般方程.1.直觀想象、邏輯推理——能根據(jù)給定條件探究圓的一般方程. 2.數(shù)學(xué)運算——能根據(jù)已知條件求圓的一般方程并解決相關(guān)問題.自主學(xué)習(xí)·必備知識教材研習(xí)教材原句1.圓的一般方程一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可以化為 .在這個方程中，如果令 ① ，則這個方程可以表示成的形式，其中都是常數(shù)。形如式的圓的方程稱為圓的一般方程.2.二元二次方程表示圓的條件（1）當(dāng)時，方程是以② 為圓心，為半徑的圓的方程；（2）當(dāng)時，滿足方程的實數(shù)只有 ③ ，，所以原方程不是圓的方程；（3）當(dāng) ④ 0時，方程沒有實數(shù)解，因而原方程也不是圓的方程.自主思考1.方程表示圓嗎？答案：提示不表示圓，方程可化為，故不表示圓，表示點(1,-2).2.若二元二次方程表示圓，需滿足什么條件？答案：提示 ①，②，③ .名師點睛1.圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程形式上的特點①和的系數(shù)相等且不為0；②沒有xy項；③．2.圓的一般方程中有三個系數(shù)，且必須滿足的條件，確定圓的一般方程，需要確定三個未知數(shù)，這說明確定一個圓需要三個獨立的條件.3.在求圓的方程時，盡量運用圓的幾何性質(zhì)求解，這樣可以大大減少計算量．一般地，圓心的重要幾何性質(zhì)為：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在某條弦的中垂線上.互動探究·關(guān)鍵能力探究點一圓的一般方程的概念精講精練例判斷方程能否表示圓，若能表示圓，求出圓心和半徑．答案：解法一：由方程可知，，，當(dāng)時，它表示一個點；當(dāng)時，它表示圓，此時，圓的圓心為，半徑．解法二：原方程可化為，當(dāng)時，它表示一個點；當(dāng)時，它表示圓，此時，圓的圓心為，半徑 .解題感悟形如的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法：①由圓的一般方程的定義判斷是否大于零．若，則方程表示圓，否則不表示圓；②將方程配方變形成標(biāo)準(zhǔn)形式后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，觀察是否可以表示圓.遷移應(yīng)用1.若方程表示圓，則的取值范圍是( )A. B.C. D.答案：B解析：方程表示圓，，解得 .2.（多選）已知圓M的一般方程為，則下列說法中正確的是( )A.圓的圓心坐標(biāo)為(-4,3)B.圓被軸截得的弦長為8C.圓的半徑為5D.圓被軸截得的弦長為6答案：B; C; D解析：圓的方程可化為，故圓心坐標(biāo)為(4,-3)，半徑為5，故A中說法錯誤，C中說法正確；令，得或，則圓被x軸截得的弦長為8，故B中說法正確；令，得或，則圓被y軸截得的弦長為6，故D中說法正確.探究點二求圓的一般方程精講精練例已知點 .（1）求的外接圓的一般方程；（2）若點在的外接圓上，求的值.答案：（1）設(shè)的外接圓的一般方程為，由題意，得解得即的外接圓的一般方程為 .（2）由（1）知，的外接圓的方程為，點在的外接圓上，，即，解得或 .變式若本例中將“點 ”改為“圓過兩點且圓關(guān)于直線對稱”，其他條件不變，求圓的方程.答案：易知，線段的中點坐標(biāo)為，線段的垂直平分線方程為 .聯(lián)立解得即圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓的方程為 .解題感悟應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時應(yīng)注意：（1）如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)、半徑列方程，那么一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出 .（2）如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，那么一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù) .遷移應(yīng)用1.已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為( )A.B.C.D.答案：解析：因為線段的中點坐標(biāo)為(2,4)，所在直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，即，與直線的方程聯(lián)立，解得圓心坐標(biāo)為(3,3).又圓的半徑，所以圓的方程為，即 .2.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為 .答案：解析：設(shè)圓的方程為，代入三點坐標(biāo)，得解得，即圓的方程為 .探究點三圓的一般方程的綜合應(yīng)用精講精練例已知一圓過，兩點，且在軸上截得的弦長為，求圓的方程.答案：設(shè)圓的方程為，①將的坐標(biāo)分別代入①，得令，由①得，④由題意得，其中是方程④的兩根.則，， .⑤由②③⑤，解得或經(jīng)檢驗均符合題意，故所求的方程為或 .解題感悟解決圓與坐標(biāo)軸相交的有關(guān)題目時，分別令，，就可求得圓與軸、軸的交點的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)，但一般不直接求解，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.遷移應(yīng)用1.已知圓過點，，且在軸上截得的弦長為6，則圓的方程是 .答案：或解析：設(shè)圓的方程為， ①， ②，令，得 .設(shè)圓與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為，，則，，，即 ③，由①②③，解得，，或，，，圓的方程為或 .評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.圓的圓心坐標(biāo)是( )A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)答案：2.若方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍為 ( )A. B.C. D.答案：3.已知圓，圓心在直線上，且圓心在第二象限，半徑為，則，的值分別為 .答案：2，-4素養(yǎng)演練邏輯推理——與圓有關(guān)的軌跡問題1.已知一曲線是與兩個定點的距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀.答案：設(shè)是曲線上的任意一點，由題意及兩點間的距離公式知，化簡得 .當(dāng)，即或時，， .，所求曲線的方程是，則曲線表示以為圓心，以為半徑的圓.當(dāng)，即時，方程變?yōu)?/span>，即，表示線段的垂直平分線.素養(yǎng)探究：本題考查與圓有關(guān)的軌跡問題，可直接利用條件列出動點滿足的關(guān)系式，化簡即可.體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).