2.2.2 直 線 方 程 第2課時　直線的兩點式方程與一般式方程
第二章 平面解析幾何
學習目標
1.會利用方向向量推導出直線的兩點式方程.2.理解直線的兩點式、截距式和一般式方程的內(nèi)在聯(lián)系.3.結合圖示明確直線的兩點式、截距式和一般式方程的適用范圍4.根據(jù)提供的條件,能恰當?shù)剡x取合適的方程形式解決實際問題,并能進行方程形式上的轉化.
在初中我們已經(jīng)知道兩點確定一條直線,那么,在平面內(nèi)經(jīng)過兩個定點的直線的方程能否用“公式”寫出來呢?若這兩個點的坐標為P1 (x1,y1), P2(x2,y2),你有幾種思路寫出上述所求的“公式”呢?我們學過的直線方程的各種形式,最后能否都歸為一種形式呢?
問題思考
1.直線的兩點式方程
概念解析
1.判斷(1)直線的兩點式方程適用于求與兩坐標軸不垂直的直線方程.(　　)(2)過原點的直線不適用兩點式方程.(　　)
小試牛刀
2.過點P(3,2)和點Q(4,7)的直線方程為　　　　　.?
答案:5x-y-13=0
答案:(1)√　(2)×
問題1：兩點式表示直線方程的條件是什么?兩點式怎樣變形就能適用于所有過兩點的直線了?
提示:兩點式除了不適用于斜率為0與斜率不存在的直線,其他情況均可表示;只需將 變形為(x-x1)·(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能適用于所有直線了.
2.直線的一般式方程所有的直線方程都可以寫成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是實常數(shù),而且A與B不同時為零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般稱為直線的一般式方程.
概念解析
點睛： (1)直線的一般式與點斜式、斜截式、兩點式、截距式的方程形式及適用范圍.
(2)直線的一般式與點斜式、斜截式、兩點式、截距式的關系
3.判斷(1)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化.(　　)(2)對于二元一次方程Ax+By+C=0,當A=0,B≠0時,方程表示斜率不存在的直線.(　　)(3)當A,B同時為零時,方程Ax+By+C=0也可表示為一條直線.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×
解析:kx-y+1-3k=0可化為y-1=k(x-3),所以直線過定點(3,1).答案:(3,1)
4. 在平面直角坐標系中,直線x+ y-3=0的傾斜角是(　　) A.30°　 B.60°　 C.150°　 D.120°
解析:直線斜率k=- ,所以傾斜角為150°,故選C.答案:C
5.已知直線kx-y+1-3k=0,當k變化時,直線恒過定點　　　　.?
問題2：在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,當A=0或B=0時方程分別表示怎樣的直線?
提示:在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,若B=0,則x=- ,它表示一條與y軸平行或重合的直線,此時直線的斜率不存在;若A=0,則y=- ,它表示一條與x軸平行或重合的直線,此時直線的斜率為0.
例1已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,(1)求BC邊所在的直線方程;(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.
典例解析
變式 若本例條件不變,試求BC邊的垂直平分線所在直線的方程.
1.當已知兩點坐標,求過這兩點的直線方程時,首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件:兩點的連線不平行于坐標軸.若滿足,則考慮用兩點式求方程.2.由于減法的順序性,一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數(shù)字的順序錯位而導致錯誤,在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應關系,即x2與y2是同一點坐標,而x1與y1是另一點坐標.
歸納總結
跟蹤訓練1(1)經(jīng)過點A(2,5),B(-3,6)的直線在x軸上的截距為(　　)A.2 B.-3 C.-27 D.27
跟蹤訓練
(2)已知直線2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,則過點A(x1,y1),B(x2,y2)的直線l的方程是(　　)A.2x-3y=4 B.2x-3y=0C.3x-2y=4 D.3x-2y=0
答案:D
答案:A
例2已知點A(3,0),B(0,4),動點P(x,y)在線段AB上運動,求xy的最大值.
典例解析
對直線的截距式方程應注意以下幾點:(1)在方程 中,要求a≠0,b≠0,即直線在x軸與y軸上的截距都不為0,因此它不能表示過坐標原點或平行于x軸、y軸的直線.(2)當題目條件中涉及截距相等或互為相反數(shù)時,若選用截距式來求解,注意截距都為0,即直線過原點這種情況.
歸納總結
跟蹤訓練2在x,y軸上的截距分別是-3,4的直線方程是(　　)A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0
跟蹤訓練
答案:B
例3根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.(1)斜率是 ,且經(jīng)過點A(5,3);(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;(3)經(jīng)過點A(-1,5),B(2,-1)兩點;(4)在x軸,y軸上的截距分別為-3,-1;(5)經(jīng)過點B(4,2),且平行于x軸.
典例解析
1.在求直線方程時,設一般式方程有時并不簡單,常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程,然后可以轉化為一般式.2.當直線方程Ax+By+C=0的系數(shù)A,B,C滿足下列條件時,直線Ax+By+C=0有如下性質(zhì):(1)當A≠0,B≠0時,直線與兩條坐標軸都相交;(2)當A≠0,B=0,C≠0時,直線只與x軸相交,即直線與y軸平行,與x軸垂直;(3)當A=0,B≠0,C≠0時,直線只與y軸相交,即直線與x軸平行,與y軸垂直;(4)當A=0,B≠0,C=0時,直線與x軸重合;(5)當A≠0,B=0,C=0時,直線與y軸重合.
歸納總結
跟蹤訓練3(1)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并化成一般式.①斜率是- ,且經(jīng)過點A(8,-6)的直線方程為　　　　;?②在x軸和y軸上的截距分別是 和-3的直線方程為　　　　;?③經(jīng)過點P1(3,-2),P2(5,-4)的直線方程為　　　　.?
跟蹤訓練
答案:①x+2y+4=0?、?x-y-3=0?、踴+y-1=0
解析:在直線l'上任取一點(x,y),此點關于直線x+y=0的對稱點(-y,-x)在直線l:3x-4y+5=0上,∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故選A.答案:A
(2)直線l:3x-4y+5=0關于直線x+y=0對稱的直線l'的方程為(　　)A.4x-3y+5=0 B.4x-3y-5=0C.3x+4y-5=0 D.3x+4y+5=0
例4設直線l的方程為(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(1)已知直線l在x軸上的截距為-3,求m的值;(2)已知直線l的斜率為1,求m的值.
典例解析
變式：對于本例中的直線l的方程,若直線l與y軸平行,求m的值.
1.若方程Ax+By+C=0表示直線,則需滿足A,B不同時為零.2.令x=0可得在y軸上的截距,令y=0可得在x軸上的截距,若確定直線的斜率存在,可將一般式化為斜截式.3.解分式方程要注意驗根.
歸納總結
跟蹤訓練4(1)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則實數(shù)m滿足(　　)
跟蹤訓練
解析:因為方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同時成立,解得m≠1.答案:C
解析:由題意知a≠0,當x=0時,y=2;答案:1
(2)若直線l:ax+y-2=0在x軸和y軸上的截距相等,則a=　　　　.?
金題典例 求經(jīng)過點P(2,3),并且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程.
故所求的直線方程為x+y-5=0.錯因分析忘記截距為0的情況,而導致丟解.
金題典例
1.經(jīng)過兩點(5,0),(2,-5)的直線方程為(　　)A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0
當堂達標
答案:B
答案:D
3.過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為0,則該直線方程為(　　)A.x-y+1=0 B.x+y-3=0C.2x-y=0或x+y-3=0 D.2x-y=0或x-y+1=0
答案:D
4.過點(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是　　　　.?
解析:由題意知直線過點(2,0),整理得3x+y-6=0.
答案:3x+y-6=0
5.設直線l的方程為2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根據(jù)下列條件分別確定k的值.(1)直線l的斜率為-1;(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.
課堂小結
謝謝欣賞

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2.2.2 直線的方程

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