人教B版 (2019)2.2.2 直線的方程第二課時學案設計-學案下載-教習網(wǎng)

第二課時　直線的兩點式和一般式方程上體育課時，老師檢查學生隊伍是不是一直線，只要看第一個學生就可以了，若還能夠看到其他學生，那就不在一條直線上．[問題]　老師如此做的依據(jù)是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　直線的兩點式與截距式方程兩點式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距為a，在y軸上截距為b圖形方程＝＋＝1適用范圍不表示垂直于坐標軸的直線不表示垂直于坐標軸及過原點的直線利用兩點式求直線方程必須滿足什么條件？提示：x1≠x2且y1≠y2，即直線不垂直于坐標軸．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)不經(jīng)過原點的直線都可以用方程＋＝1表示．(　　)(2)直線方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)和方程＝是相同的．(　　)(3)截距式方程是兩點式方程的特殊形式．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．直線x－2y＝4的截距式方程是____________．解析：求直線方程的截距式，必須把方程化為＋＝1的形式，即右邊為1，左邊是和的形式．答案：＋＝13．經(jīng)過點A(2，5)，B(－3，6)的直線方程為____________．解析：由兩點式得直線方程為＝，即x＋5y－27＝0.答案：x＋5y－27＝0知識點二　直線的一般式方程1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫作直線的一般式方程，簡稱一般式．2．系數(shù)的幾何意義(1)當B≠0時，直線斜率k＝－，在y軸上的截距b＝－；(2)當B＝0，A≠0直線斜率不存在，直線過點；(3)v＝(A，B)為直線Ax＋By＋C＝0的一個法向量．1．平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？提示：都可以．2．每一個關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)都能表示一條直線嗎？提示：都能表示一條直線．3．直線與二元一次方程有怎樣的關(guān)系？提示：(1)在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示．(2)每個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．直線x－y＋1＝0的傾斜角為(　　)A．30°　　　　　　　 B．60°C．120° D．150°解析：選A　由直線的一般式方程，得它的斜率為，從而傾斜角為30°. 直線的兩點式方程[例1]　(鏈接教科書第82頁例3)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．(1)求BC邊的方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．[解]　(1)∵BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，∴由兩點式得＝，即2x＋5y＋10＝0.故BC邊的方程為2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).(2)設BC的中點為M(x0，y0)，則x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，又BC邊上的中線經(jīng)過點A(－3，2).∴由兩點式得＝，即10x＋11y＋8＝0.故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.求直線的兩點式方程的策略及注意點(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不平行于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程；(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數(shù)字的順序錯位而導致錯誤．在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應關(guān)系． [跟蹤訓練]已知直線經(jīng)過點A(1，0)，B(m，1)，求這條直線的方程．解：由直線經(jīng)過點A(1，0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．①當直線斜率不存在，即m＝1時，直線方程為x＝1；②當直線斜率存在，即m≠1時，利用兩點式，可得直線方程為＝，即x－(m－1)y－1＝0.綜上可得：當m＝1時，直線方程為x＝1；當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0. 直線的截距式方程[例2]　(鏈接教科書第82頁例4)求過點A(5，2)，且在坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．[解]　法一：①當直線l在坐標軸上的截距均為0時，方程為y＝x，即2x－5y＝0；②當直線l在坐標軸上的截距不為0時，可設方程為＋＝1，即x－y＝a，又∵l過點A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程為x－y－3＝0，綜上所述，直線l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.法二：由題意知直線的斜率一定存在．設直線的點斜式方程為y－2＝k(x－5)，x＝0時，y＝2－5k，y＝0時，x＝5－.根據(jù)題意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.當k＝時，直線方程為y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；當k＝1時，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0. [母題探究](變條件)若將本例中的條件“在坐標軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椤霸?/span>x軸上的截距是y軸上截距的2倍”，其它條件不變，如何求解？解：①當直線l在兩坐標軸上的截距均為0時，方程為y＝x，即2x－5y＝0.②當直線l在兩坐標軸上的截距均不為0時，可設方程為＋＝1，又l過點(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.∴l的方程為x＋2y－9＝0.截距式方程應用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可；(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直；(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．[跟蹤訓練]1．直線－＝1在兩坐標軸上的截距之和為(　　)A．1　　　　　　　　　 B．－1C．7 D．－7解析：選B　直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.2．求過點P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程．解：設直線方程的截距式為＋＝1.則＋＝1，解得a＝2或a＝1，則直線方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.直線的一般式方程[例3]　(鏈接教科書第83頁例5、第84頁例6)根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是且經(jīng)過點A(5，3)；(2)經(jīng)過A(－1，5)，B(2，－1)兩點；(3)經(jīng)過點A(3，1)，v＝(3，－2)是直線的一個法向量．[解]　(1)由點斜式方程得y－3＝(x－5)，整理得x－y＋3－5＝0.(2)由兩點式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0.(3)法一：因為v＝(3，－2)是直線l的一個法向量，所以可以設l的方程為3x－2y＋C＝0，代入點A(3，1)，可求得C＝－7，因此所求方程為3x－2y－7＝0.法二：設P(x，y)為平面直角坐標系中任意一點，則P在直線l上的充要條件是與v＝(3，－2)垂直．又因為＝(x－3，y－1)，所以3×(x－3)＋(－2)×(y－1)＝0，整理可得一般式方程為3x－2y－7＝0.求直線一般式方程的策略(1)當A≠0時，方程可化為x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，則方程化為x＋y＋＝0，只需確定，的值．因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程；(2)在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．　　　[跟蹤訓練]1．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－4，則直線l的點斜式方程為____________，截距式方程為____________，斜截式方程為____________，一般式方程為____________．解析：點斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.答案：y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝02．直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實數(shù)m的值為________．解析：令y＝0，則直線在x軸上的截距是x＝，∴＝3，∴m＝－6.答案：－61．已知△ABC三頂點A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點，N為AC中點，則中位線MN所在直線方程為(　　)A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0解析：選A　點M的坐標為(2，4)，點N的坐標為(3，2)，由兩點式方程得＝，即2x＋y－8＝0.2．直線＋＝1過第一、三、四象限，則(　　)A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：選B　因為直線過第一、三、四象限，所以它在x軸上的截距為正，在y軸上的截距為負，所以a>0，b<0.3．如果直線l過點P(－1，－2)，且直線l的方向向量為a＝(1，－2)，求直線l的方程．解：直線l的方向向量a＝(1，－2)，則法向量v＝(2，1)，可設直線l的方程為2x＋y＋C＝0，代入點P(－1，－2)，得C＝4，因此所求直線方程為2x＋y＋4＝0.

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