
橢圓軌跡是怎樣描述的?
“和”為定值可成橢圓,那么“差”為定值又如何?我們來研究一下吧!
把平面內到兩定點 F1、F2 的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于 |F1F2| )的點的集合叫作雙曲線. 定點 F1、F2 叫雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距.
【例】己知點 F1 (-4, 0)和 F2 (4, 0),曲線上的動點 P 到F1、F2 距離之差為6,則( ) A. B. C. D.
解:由雙曲線的定義知,點 P 的軌跡是以F1、F2為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,其方程為: (x > 0)
【總結升華】對于雙曲線的定義必須抓住兩點:一是平面內到兩個定點的距離之差的絕對值是一個常數(shù);二是這個常數(shù)要小于|F1F2|,若不滿足這些條件,則其軌跡不是雙曲線,而是雙曲線的一支或射線或軌跡不存在.
【例】判斷下列方程是否表示雙曲線,若是,求出 a,b,c.
解:(1)能. 該雙曲線焦點在 x 軸上,a2 = 4,b2 =2, c2 = a2+b2 =6,所以a = 2,b = ,c = .
(2)能. 雙曲線可化為: ,它的焦點在 y 軸上,a2 =9,b2 =4, c2 = a2+b2 =13.所以a = 3,b = 2,c = .
(3)能. 雙曲線可化為: ,它的焦點在 x 軸上,a2 = ,b2 = , c2 = a2+b2 =4,所以 a = ,b = ,c = 2.
(4)能. 該方程表示到定點 (-5, 0) 和 (5, 0) 的距離之差為8,由于8 < 10,所以表示雙曲線,其中a = 4,c =5,則 b2 = c2-a2 =9,所以b = 3.
(5)不能表示雙曲線,這是橢圓的方程.
(6)不能表示雙曲線,該曲線不存在.
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