定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.
剪一剪：把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中的紅線對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？
等腰三角形的邊角性質(zhì)：等邊對(duì)等角
折一折：△ABC 是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？
折痕所在的直線是它的對(duì)稱軸.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.
等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.
猜一猜： 由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？
定理1 等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.
已知：△ABC 中，AB=AC,求證：∠B=∠C .
應(yīng)用格式：∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）
證法2：作頂角∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D. ∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2. 在△ABD與△ACD中，AB＝AC（已知），∠1＝∠2（已證）， AD＝AD（公共邊），∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），∴ ∠B＝∠C.
證法3：作底邊BC的高AD，交BC于點(diǎn)D. ∵AD⊥BC， ∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD與Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共邊），∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）， ∴ ∠B＝∠C.
解 :∵AB=AC,（已知）∴∠B=∠C，（等邊對(duì)等角）∴∠B=∠C= ×(180°－120°)=30°.又∵BD=AD,（已知）∴∠BAD=∠B=30°.（等邊對(duì)等角）同理，∠CAE=∠C=30°.∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE =120°-30°-30°=60°.
如圖，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 點(diǎn)D, E是底邊上兩點(diǎn)，且BD=AD,CE=AE. 求∠DAE的度數(shù).
（2）設(shè)∠A=x,請(qǐng)把△ ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來(lái).
如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).
解析：（1）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °,∴x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得 x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
方法總結(jié)：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可以得到角與角之間的關(guān)系，當(dāng)這種等量關(guān)系或和差關(guān)系較多時(shí)，可考慮列方程解答，設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)較小的角的度數(shù)為x.
【變式題】如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).
解：∵AB=AD=DC， ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC. 設(shè) ∠C=x，則 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x. 在△ABC中， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，求這個(gè)三角形的底角的度數(shù).
解：當(dāng)50°的角是底角時(shí)，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.
方法總結(jié)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
求證：斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．已知，如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
本例是14.2中以學(xué)過(guò)的判定兩個(gè)直角三角形全等的定理“HL”的證明
證明：在平面內(nèi)移動(dòng)Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使點(diǎn)A和A'、點(diǎn)C和C'重合，點(diǎn)B和點(diǎn)B'在AC兩側(cè)，如圖
∵∠BCB'=90°+90°=180°，（等式的性質(zhì)）∴B,C,B'三點(diǎn)在一條直線上.（平角的定義）在△ABB'中，∵AB=AB',（已知）∴∠B=∠B'.（等角對(duì)等邊）在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∠ACB=∠A'C'B'，（已知） ∠B=∠B'，（已證） AB=A'B'，（已知）∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.（AAS）
等腰三角形的軸對(duì)稱性：“三線合一”
等腰三角形的軸對(duì)稱性：“三線合一”定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊．結(jié)論：等腰 三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相 互重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”)．要點(diǎn)精析：(1)含義：這是等腰三角形所特有的性質(zhì)，它實(shí)際是 一組定理，應(yīng)用過(guò)程中，在三角形是等腰三角形前提下， “頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高”只要知道其 中“一線”，就可以說(shuō)明是其他“兩線”．(2)作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系的重要方法， 應(yīng)用廣泛．
(3)對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(或底邊上 的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸．(4)應(yīng)用格式：如圖，在△ABC中， ①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)； ②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)； ③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．
如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線， ∠ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E， EF⊥AB，垂足為F. (1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)； (2)求證：EF＝ED.解： (1) ∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°. ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC＝
證明： (2) ∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線， ∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°. ∵EF⊥AB， ∴∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠BDE. 又∵BG平分∠ABC， ∴∠FBE＝∠DBE. ∵BE為公共邊， ∴△BDE≌△BFE， ∴EF＝ED.
等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是證明角相等、線段相等和垂直關(guān)系的既重要又簡(jiǎn)便的方法；因?yàn)轭}目的證明或計(jì)算所求結(jié)果大多都是單一的，所以“三線合一”的性質(zhì)的應(yīng)用也是單一的，一般得出一個(gè)結(jié)論，因此應(yīng)用要靈活．在等腰三角形中，作“三線”中“一線”，利用“三線合一”是等腰三角形中常用的方法．
如圖所示，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E， AM⊥CD， 垂足為M.求證：CM＝MD. 導(dǎo)引：由已知AM⊥CD和結(jié)論CM＝MD，聯(lián)想到等腰三角形“三 線合一”的性質(zhì)，由此連接AC，AD構(gòu)造等腰三角形． 證明：如圖，連接AC，AD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC＝AD. 又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.
1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、 鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.
問(wèn)題1 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？
∠A=∠B=∠C=60°
等腰三角形的性質(zhì)定理的推論
推論： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一 個(gè)角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求證：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
證明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等邊對(duì)等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
問(wèn)題2 等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱軸？
結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”.
頂角的平分線、底邊的高底邊的中線三線合一
如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．
解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題上，一般需結(jié)合”等邊對(duì)等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).
如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．
證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（　?。〢．40° B．30° C．70° D．50°
1.等腰三角形有一個(gè)角是90°，則另兩個(gè)角分別是(　　)A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
3.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為____ __；(2)等腰三角形一個(gè)角為40°,它的另外兩個(gè)角為____________________；(3)等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為_ ___ __.
70°,70°或40°,100°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．
注意：當(dāng)題目為給定三角形的形狀時(shí)，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行分類討論.
5.如圖，在△ABC中，AB = AC，D是BC邊上的中點(diǎn)， ∠B = 40°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度數(shù).
解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，
∴ ∠C= ∠ B=40°，∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 40°-40° = 100°.
6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE為底角的平分線，
7. △ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM 等于多少度？
解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BCN(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
8.A、B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)?jiān)趫D中清晰標(biāo)出使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的所有格點(diǎn)C的位置．
分別以A、B、C為頂角頂點(diǎn)來(lái)分類討論！
注意是指同一個(gè)三角形中
注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì).
等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，且均等于60°

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15.3 等腰三角形

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