
1.理解三角形中位線的概念,掌握三角形中位線定理. 2.通過(guò)探索,猜想,證明三角形的中位線定理,進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力.
兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.
對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
前面我們研究平行四邊形時(shí),常常把它分成幾個(gè)三角形,利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問(wèn)題. 下面我們利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問(wèn)題.
線段DE可以叫做什么呢?
如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),連接DE.
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
思考 一個(gè)三角形共有幾條中位線?
思考 三角形的中位線和中線一樣嗎?有什么聯(lián)系與區(qū)別呢?
區(qū)別:中位線:兩邊中點(diǎn)所連線段. 中線:頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)所連線段.聯(lián)系:一個(gè)三角形有三條中線和三條中位線,它們都在三角形的內(nèi)部且都是線段.
探究 如圖,你能發(fā)現(xiàn)△ABC的中位線DE與邊BC的位置關(guān)系嗎?度量一下,DE與BC之間有什么數(shù)量關(guān)系?
如圖,D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn).求證:DE∥BC,DE= BC.
延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接AF、CF、DC .∵AE=EC,DE=EF,∴四邊形ADCF是平行四邊形.∴CF AD.∴CF BD.∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴DF BC.∵DE= DF, ∴DE∥BC,且DE= BC.
通過(guò)上面證明,我們可以得到三角形的中位線定理:
三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
符號(hào)語(yǔ)言表示: ∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn), ∴DE∥BC,DE= BC.
2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是邊AB,BC的中點(diǎn).若△DBE的周長(zhǎng)是5,則△ABC的周長(zhǎng)是( ) A.8B.10 C.12 D.14
1.如圖,EF為△ABC的中位線,若AB=6,則EF的長(zhǎng)為( ?。? A.2 B.3C.4D.5
證明:∵CD=CA, CF平分∠ACB, ∴FA=FD(三線合一), ∵FA=FD,AE=EB, ∴EF= BD.
2.已知,如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且EF∥DC.(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形;(2)若EF=2cm,求AB的長(zhǎng).
(1)證明:∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn), ∴ED是Rt△ABC的中位線,∴ED∥FC. ∵EF∥DC,∴四邊形CDEF是平行四邊形; (2)∵四邊形CDEF是平行四邊形∴DC=EF=2cm. ∵點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn),∴DC= AB, ∴AB=2DC=4cm.
1.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn),∠ABD=20°,∠BDC=70°,求∠PMN的度數(shù).
解:∵M(jìn)、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn), ∴PN,PM分別是△CDB與△DAB的中位線, ∴PM= AB,PN= DC,PM∥AB,PN∥DC, ∵AB=CD,∴PM=PN, ∴△PMN是等腰三角形, ∵PM∥AB,PN∥DC, ∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC=70°, ∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°, ∴∠PMN=(180°?130°)÷ 2 =25°.
三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
1.如圖,?ABCD的周長(zhǎng)為36,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),BD=12,求△DOE的周長(zhǎng).
解:∵?ABCD的周長(zhǎng)為36, ∴BC+CD=18. ∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn), ∴OE是△BCD的中位線,DE= CD, ∴OE= BC, ∴C△DOE=OD+OE+DE= (BD+BC+CD)=15.
2.如圖,在△ABC中,D、E分別為AC、BC的中點(diǎn),AF平分∠CAB,交DE于點(diǎn)F.若DF=3,求AC的長(zhǎng)
解:∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn), ∴DE∥AB, ∴∠DFA=∠FAB. ∵AF平分∠CAB, ∴∠DAF=∠FAB, ∴∠DAF=∠DFA, ∴AD=DF=3, ∴AC=2AD=2DF=6.
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