思考 第十八章 平行四邊形思考下列問題.
問題1 本章平行四邊將學習哪些內(nèi)容？
問題2 平行四邊與之前學習過的哪些知識有聯(lián)系？將怎樣去學習呢？
問題1 什么四邊形是平行四邊形？
問題2 平行四邊形有哪些性質(zhì)？
觀察 觀察生活中的平行四邊形，回憶什么叫做平行四邊形？
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
平行四邊形ABCD 記作?ABCD
∵AD∥BC，AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.
猜想 觀察如下圖?ABCD，猜想平行四邊形的性質(zhì).
問題1 平行四邊形的邊與角分別有什么性質(zhì)？
問題2 怎樣證明你的猜想？
證明：如圖，連接 AC.∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AD∥BC，AB∥CD.∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4.∴ △ABC≌△CDA.∴ AD = BC，AB = CD，∠B =∠D.∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2 +∠3，∴∠BAD =∠BCD.
已知：四邊形 ABCD 是平行四邊形.求證：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD， ∠B = ∠D.
平行四邊形的性質(zhì)1：平行四邊形的對邊相等
平行四邊形的性質(zhì)2：平行四邊形的對角相等.
∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴AB=CD， AD=BC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴∠B=∠D，∠A=∠C.
1.如圖，在?ABCD 中.(1) 若∠A = 32°，求其余三個角的度數(shù).(2) 已知AB=5，BC=3，求它的周長.
∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
且 ∠A = 32°(已知)，
∴ ∠A =∠C = 32°， ∠B =∠D(平行四邊形的對角相等).
又∵AD∥BC (平行四邊形的對邊平行)，
∴ ∠A + ∠B = 180° (兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，
∴ ∠B = ∠D = 180°- ∠A = 180°- 32° = 148°.
如圖所示，因為四邊形ABCD 是平行四邊形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝3，∴?ABCD 的周長=AB＋BC＋CD＋AD＝5＋3＋5＋3＝16.
例1 如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起， 重合的部分構(gòu)成了一個四邊形. 轉(zhuǎn)動其中一張紙條，線段 AD 和BC 的長度有什么關(guān)系？為什么？
由已知，可得AD∥BC，AB∥CD，所以四邊形ABCD 是平行四邊形，所以AD＝BC.即線段AD 和BC 的長度相等．
推廣 如圖，剪兩張對邊平行的紙條，
兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.
例2 如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).求證：AE=CF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C，AD=CB. ∵∠AED=∠CFB=90°， ∴△ADE≌△CBF(AAS)． ∴AE=CF.
兩條直線平行，那么一條直線上所有的點到另一條直線的距離都相等.
兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.
如圖，a//b，A是a上的任意一點，AB⊥b，B是垂足，線段AB的長就是a，b之間的距離.
三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系
例3 如圖，在? ABCD 中，E、F 是對角線 AC 上的兩點，并且 AE = CF，求證： BE = DF.
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE = ∠DCF.
∴ △ABE≌△CDF.
∴ AB = CD，AB∥CD
又∵ AE = CF，
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
1.判斷題(對的在括號內(nèi)填“ √ ”，錯的填“×”)： (1)平行四邊形兩組對邊分別平行且相等. ( ) (2)平行四邊形的四個內(nèi)角都相等. ( ) (3)平行四邊形的相鄰兩個內(nèi)角的和等于 180°. ( ) (4)如果平行四邊形相鄰兩邊長分別是 2 cm 和 3 cm，那么周長是 10 cm. ( ) (5)在平行四邊形 ABCD 中，如果∠A = 42°，那么∠B = 48°. ( ) (6)在平行四邊形 ABCD 中，如果∠A = 35°，那么∠C = 145°. ( )
4.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（ 　） A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD C．AO=CO D．AC⊥BD
2.小紅不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了其中兩塊碎玻璃，其編號應(yīng)該是（ ?。? A．①，②B．①，④ C．③，④D．②，③
3.在?ABCD中，∠A比∠D大70°，則∠C等于（ ） A．70°B．100°C．110°D．125°
4.如圖，在?ABCD 中. 在 ABCD 中，∠A:∠B=2:3,求各角的度數(shù)
解：∵∠A，∠B 是平行四邊形的兩個鄰角， ∴∠A +∠B = 180°. 又∵∠A:∠B = 2:3， 設(shè)∠A = 2x，∠B = 3x， ∴ 2x + 3x = 180°， 解得 x = 36°. ∴ ∠A = ∠C = 72°， ∠B = ∠D = 108°.
5. 如下圖，已知?ABCD 的周長等于 20 cm， AC = 7 cm，求△ABC 的周長.
解：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形(已知)， ∴ AB = CD，BC = AD(平行四邊形的對邊相等). 又∵ AB + BC + CD + AD =20 cm (已知)， ∴ AB + BC = 10 cm. ∵ AC = 7 cm， ∴ △ABC 的周長為 AB + BC + AC = 17 cm.
證明： ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB∥CD，AD = BC.∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.又∵ DE，BF 分別平分∠ADC，∠ABC，∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.∴ AE =AD， CF = BC. ∴ AE = CF.
6.已知在平行四邊形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求證：AE = CF.

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18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)

版本： 人教版

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