問題1　從生活經(jīng)驗(yàn)中我們知道，不能將橘子皮展成平面，因?yàn)殚僮悠そ朴谇蛎?，這種曲面不能展成平面圖形．
那么，人們又是怎樣計(jì)算球面的面積的呢？古人在計(jì)算圓周率時(shí)，一般是用割圓術(shù)，即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長(zhǎng)．理論上，只要取得圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，圓周率越精確，直到無窮．這種思想就是樸素的極限思想．
運(yùn)用上述思想能否計(jì)算球的表面積和體積？
極限思想可以用來計(jì)算球的表面積和體積．
問題2　球也是旋轉(zhuǎn)體，它是由什么平面圖象旋轉(zhuǎn)得到的？
以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體．
問題3　用一個(gè)平面去截球體，截面的形狀是什么？該截面的幾何量與球的半徑之間有什么關(guān)系？
可以想象，用一個(gè)平面去截球體，截面是圓面，
在球的軸截面圖中，截面圓與球的軸截面的關(guān)系如圖所示．
若球的半徑為R，截面圓的半徑為r，OO′＝d．
在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2．
問題4　過球外一點(diǎn)作球的切線，有幾條？這些切線是什么關(guān)系？
過球外一點(diǎn)，有無數(shù)條切線，
問題5　閱讀教材，填寫下面的空格．
（1）球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的________．
（2）被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的________．
（3）設(shè)截面圓的半徑為r，球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則r＝___________．
（1）當(dāng)直線與球有唯一交點(diǎn)時(shí)，稱直線與球______，其中它們的交點(diǎn)稱為直線與球的切點(diǎn)．
（2）過球外一點(diǎn)，有無數(shù)條切線，所有切線的長(zhǎng)度相等．這些切點(diǎn)的集合是以O(shè)′為圓心的圓，圓面O′及所有切線圍成了______．
3．球的表面積和體積公式
（1）設(shè)球的半徑為R，球的表面積為S球面＝______；
（2）設(shè)球的半徑為R，則球的體積V球＝______．
問題6　球的表面積和球的大圓的面積之間有什么關(guān)系？
球面的面積（也就是球的表面積）等于它的大圓面積的4倍
例1　如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，會(huì)溢出來嗎？（假設(shè)冰激凌融化前后體積不變）
由于V半球＜V圓錐，所以冰淇凌融化了，不會(huì)溢出杯子．
例2　一個(gè)圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3 cm，瓶里所裝的水深為8 cm，將一個(gè)鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5，求鋼球的半徑．
解析：設(shè)鋼球半徑為R，由題意得：
所以鋼球的半徑為1.5cm．
練習(xí)：教科書第244頁(yè)練習(xí)第1題，第2題．
（1）求球的體積與表面積的方法是什么？
（2）解決有關(guān)球的問題時(shí)，常用哪些性質(zhì)？
問題3　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了球的表面積、體積的計(jì)算公式，請(qǐng)你通過下列問題，歸納所學(xué)知識(shí)．
（1）求球的體積與表面積的方法：
①要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，
然后代入體積或表面積公式求解．
②半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩個(gè)要素，
計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了．
（2）解決有關(guān)球的問題時(shí)，常用以下性質(zhì)：
①用任意平面截球所得的截面是一個(gè)圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直．
②如果分別用R和r表示球的半徑和截面圓的半徑，用d表示球心到截面的距離，
則R2＝r2＋d2．球的有關(guān)計(jì)算問題，常歸結(jié)為解直角三角形．
作業(yè)：教科書第244頁(yè)A組第1題，第4題．
若以球的球心為圓心，以球的半徑為半徑的圓的周長(zhǎng)為c，則這個(gè)球的表面積為（　?。?br/>解析：設(shè)球的半徑為R，則2πR＝c，
解析：由于正方體的體積為8，故正方體的棱長(zhǎng)a為2．
又正方體的體對(duì)角線是其外接球的一條直徑，
圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是________cm．
解析：設(shè)球的半徑為xcm，

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6.3 球的表面積和體積

版本： 北師大版 (2019)

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