6.3　球的表面積和體積課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.如圖,各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐內(nèi)接于一個(gè)球,則經(jīng)過(guò)球心的一個(gè)截面圖形可能是(　　)　　 　　　　　　　　　　　　　　A.①③ B.①② C.②④ D.②③答案A2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱長(zhǎng)都是6,則該棱柱外接球的表面積為(　　)A.21π B.42π C.84π D.84解析如圖,M,N為上下底面正三角形的中心,O為MN的中點(diǎn),即外接球球心.因?yàn)檎庵?/span>A1B1C1-ABC的所有棱長(zhǎng)都是6,AM==2,OM=3,球半徑R=OA=,該棱柱外接球的表面積為S=4π×()2=84π.答案C3.兩個(gè)球的半徑相差1,表面積之差為28π,則它們的體積和為　　　　　. 解析設(shè)大球與小球半徑分別為R,r,則所以所以體積和為πR3+πr3=.答案4.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若球的體積為,則正方體的棱長(zhǎng)為　　　　　. 解析設(shè)球的半徑為R,正方體棱長(zhǎng)為a,則V球=πR3=π,得到R=,正方體體對(duì)角線的長(zhǎng)為a=2R,則a=,所以正方體的棱長(zhǎng)為.答案5.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱體,左右兩端均為半球體,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.解該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.該組合體的體積V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=. 能力提升練1.一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2 cm,那么該棱柱的表面積為(　　)A.2+4(cm2) B.8+16(cm2)C.4+8(cm2) D.16+32(cm2)解析設(shè)正四棱柱的高為h,則由題意及球的性質(zhì)可得,=2R=4,所以h=2(cm),所以該棱柱的表面積為2×22+4×2×2=8+16(cm2),故選B.答案B2.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球,如圖所示.則球的半徑是(　　)A.1 cm B.2 cmC.3 cm D.4 cm解析設(shè)球半徑為r,則由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=3.答案C3.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻著一個(gè)圓柱,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等,則圓柱的體積與球的體積之比為　　　　　,圓柱的表面積與球的表面積之比為　　　　　.  解析由題意,圓柱底面半徑r=球的半徑R,圓柱的高h=2R,則V球=πR3,V柱=πr2h=π·R2·2R=2πR3,所以.S球=4πR2,S柱=2πr2+2πrh=2πR2+2πR·2R=6πR2.所以.答案4.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為4 cm,該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E,F,G,H為圓O上的點(diǎn),△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后,分別以AB,BC,CD,DA為折痕,折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合,得到一個(gè)四棱錐.當(dāng)AB=2 cm時(shí),該四棱錐的表面積為　　　　　;該四棱錐的外接球的表面積為　　　　　.  解析連接OE交AB于點(diǎn)I,設(shè)E,F,G,H重合于點(diǎn)P,正方形的邊長(zhǎng)為2,則OI=1,IE=3,AE=,設(shè)該四棱錐的外接球的球心為Q,半徑為R,則OC=,OP==2,則R2=(2-R)2+()2,解得R=,外接球的表面積S=4π×π cm2,該四棱錐的表面積為4××2×3+2×2=16 cm2.答案16 cm2　π cm2素養(yǎng)培優(yōu)練 有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面,第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切,第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn),求這三個(gè)球的表面積之比.解設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,三個(gè)球的半徑依次為R1,R2,R3,則有2R1=a,R1=a=2R2,R2=a,a=2R3,R3=a,所以R1∶R2∶R3=1∶.所以S1∶S2∶S3==1∶2∶3.即這三個(gè)球的表面積之比為1∶2∶3. 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.3 球的表面積和體積

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