8.6 三角形內(nèi)角和定理(2、3)一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生技能基礎(chǔ)：學(xué)生在前面的幾何學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行線的判定定理與平行線的性質(zhì)定理以及它們的嚴格證明，學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理的證明以及相關(guān)應(yīng)用，有相關(guān)知識的基礎(chǔ)，并具有一定的邏輯思維能力和嚴謹推理習(xí)慣，為今天的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)．活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：本節(jié)課主要采取的活動形式是學(xué)生非常熟悉的自主探究與合作交流相結(jié)合、實踐和理性證明相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生具有較熟悉的活動經(jīng)驗． 二、教學(xué)任務(wù)分析在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于平行線相關(guān)知識以及三角形內(nèi)角和定理的靈活運用已經(jīng)有了深入的了解，為今天的學(xué)習(xí)奠定了知識基礎(chǔ)，并且他們已經(jīng)具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節(jié)課安排《關(guān)注三角形的外角》旨在利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識來推導(dǎo)出新的定理以及運用新的定理解決相關(guān)問題．為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1．掌握三角形外角的兩條性質(zhì)．2．進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．3．靈活運用三角形的外角和兩條性質(zhì)解決相關(guān)問題．4．進一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何意識．5．通過在數(shù)學(xué)活動中進行教學(xué)，使學(xué)生能自主地“做數(shù)學(xué)”，特別是培養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣． 三、教學(xué)過程分析本節(jié)課的設(shè)計分為四個環(huán)節(jié)：情境引入——探索新知——反饋練習(xí)——課堂反思與小結(jié) 第一環(huán)節(jié)：情境引入活動內(nèi)容：在證明三角形內(nèi)角和定理時，用到了把△ABC的一邊BC延長得到∠ACD，這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質(zhì)．活動目的：引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．注意事項：教師應(yīng)在學(xué)生充分展示自己的意見之后，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從三角形的外角的角度進行思考． 第二環(huán)節(jié)：探索新知活動內(nèi)容：① 三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角，結(jié)合圖形指明外角的特征有三：(1)頂點在三角形的一個頂點上．(2)一條邊是三角形的一邊．(3)另一條邊是三角形某條邊的延長線．② 兩個推論及其應(yīng)用由學(xué)生探討三角形外角的性質(zhì)：問題1：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角，能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關(guān)系？問題2：任意一個△ABC的一個外角∠ACD與∠A、∠B的大小會有什么關(guān)系呢？由學(xué)生歸納得出：推論1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角．求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析：把每個外角表示為與之不相鄰的兩個內(nèi)角之和即得證．證明：(略)．例2、已知：D是AB上一點,E是AC上一點，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度數(shù)；(2)∠BFD度數(shù)．解：(略)．活動目的：通過三角形內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)三角形外角的兩個推論，引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外、相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考．注意事項：新的定理的推導(dǎo)過程應(yīng)建立在學(xué)生的充分思考和論證的基礎(chǔ)之上，教師切勿越俎代庖． 第三環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)活動內(nèi)容：1、已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求證：AD∥BC分析：要證明AD∥BC,只需證明“同位角相等”,即需證明∠DAE=∠B．證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∠B=∠C(已知)∴∠B=∠EAC(等式的性質(zhì))∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分線的定義)∴∠DAE=∠B(等量代換)∴AD∥BC(同位角相等，兩直線平行)想一想，還有沒有其他的證明方法呢？這個題還可以用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來證．證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∠B=∠C(已知)∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì))∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義)∴∠DAC=∠C(等量代換)∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)還可以用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”來證．證明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∠B=∠C(已知)∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì))∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C(等量代換)∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)2、已知：如圖，在三角形ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE．求證：∠1>∠2．證明：∵∠1是△ABC的一個外角(已知)∴∠1>∠ACB(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∵∠ACB是△CDE的一個外角(已知)∴∠ACB>∠2(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∴∠1>∠2(不等式的性質(zhì))3、如圖，求證：(1)∠BDC>∠A．(2)∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果點D在線段BC的另一側(cè)，結(jié)論會怎樣？［分析］通過學(xué)生的探索活動，使學(xué)生進一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌握三角形的內(nèi)角和定理及推論．證法一：(1)連接AD，并延長AD，如圖，則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角．∴∠1>∠3．∠2>∠4(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∴∠1+∠2>∠3+∠4(不等式的性質(zhì))即：∠BDC>∠BAC．(2)連結(jié)AD，并延長AD，如圖．則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角．∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C(等式的性質(zhì))即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC證法二：(1)延長BD交AC于E(或延長CD交AB于E)，如圖．則∠BDC是△CDE的一個外角．∴∠BDC>∠DEC．(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∵∠DEC是△ABE的一個外角(已作)∴∠DEC>∠A(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∴∠BDC>∠A(不等式的性質(zhì))(2)延長BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個外角．∴∠BDC=∠C+∠DEC(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∵∠DEC是△ABE的一個外角∴∠DEC=∠A+∠B(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC(等量代換)活動目的：讓學(xué)生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的證明思路，特別是不等關(guān)系的證明題，因為學(xué)生接觸較少，因此更需要加強練習(xí)．注意事項：學(xué)生對于幾何圖形中的不等關(guān)系的證明比較陌生，因此有必要在證明第2小題中，要引導(dǎo)學(xué)生找到一個過渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等關(guān)系的傳遞性得出∠1>∠2． 第四環(huán)節(jié)：課堂反思與小結(jié)活動內(nèi)容：由學(xué)生自行歸納本節(jié)課所學(xué)知識：推論1： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．推論 2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．活動目的：復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識，理清思路，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力．注意事項：學(xué)生對于三角形外角的兩個推論以及它們的應(yīng)用有一定的了解．課后練習(xí)：課本第56、58頁的隨堂練習(xí)，習(xí)題8.8、習(xí)題8.9．思考題：課本59頁第3題(給學(xué)有余力的同學(xué)做) 四、教學(xué)反思教學(xué)中，幫助學(xué)生找三角形的外角是難點，特別是當(dāng)一個角是某個三角形的內(nèi)角，同時又是另一個三角形的外角時，困難就更大，解決這個難點的關(guān)鍵是講清定義，分析圖形，變換位置，理清思路．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計力圖具有以下幾個特色：(1)充分挖掘?qū)W生的潛能，展示學(xué)生的思維過程，體現(xiàn)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人”這一主題；(2)從特殊到一般，從不完全歸納到合情推理，展示了一個完整的思維過程；(3)在整個教學(xué)中盡可能的避免教學(xué)的單調(diào)性，因此編排了一題多解的訓(xùn)練，為發(fā)散性思維創(chuàng)設(shè)情境，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的極大熱情． 

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初中數(shù)學(xué)魯教版（五四學(xué)制）（2024）七年級下冊電子課本

6 三角形內(nèi)角和定理

版本： 魯教版（五四學(xué)制）（2024）

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