第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會(huì)求導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解及求切線方程．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解.  知識(shí)點(diǎn)一　割線的斜率如圖，容易發(fā)現(xiàn)，平均變化率＝，表示割線P0P的斜率.知識(shí)點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義記Δx＝x－x0，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，k無限趨近于函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0).這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”，就是在該點(diǎn)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限，它是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)．(2)“導(dǎo)函數(shù)”：如果對(duì)于函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù)f′(x0)，這樣就在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f′(x)或y′.即f′(x)＝y′＝ ＝ .(3)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，所以“導(dǎo)數(shù)”個(gè)別與一般．(4)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)函數(shù)．(　　)(2)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(　　)(3)已知曲線y＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(1)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　)A．a＝1，b＝1  B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1  D．a＝－1，b＝－1(2)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則 ＝________.(3)若拋物線y＝x2－x＋c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是－2，拋物線過點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，則c的值為________.答案　(1)A　(2)－2　(3)4  題型一　求切線的方程例1　已知曲線方程y＝x2.(1)求點(diǎn)A(2,4)處與曲線相切的直線方程；(2)求過點(diǎn)B(3,5)且與曲線相切的直線方程．[解]　(1)∵A(2,4)在y＝x2上，由y＝x2得，y′＝ ＝2x.∴f′(2)＝4.∴切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)．由(1)得y′＝2x，∴f′(x0)＝2x0.∴切線方程為y－x＝2x0(x－x0)．∵點(diǎn)(3,5)在切線上，∴5－x＝2x0(3－x0)，即x－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5，∴切線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的分類(1)當(dāng)已知的點(diǎn)在曲線上且切于該點(diǎn)時(shí)，直接利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，寫出直線方程．(2)當(dāng)已知點(diǎn)不在曲線上，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線斜率，寫出切線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線方程．[跟蹤訓(xùn)練1]　已知曲線C：f(x)＝x3.(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；(2)求過點(diǎn)(1,1)與f(x)＝x3相切的直線方程．解　(1)∵f′(x)＝ ＝ ＝ [(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)設(shè)切點(diǎn)為P(x0，x)，由(1)知切線斜率為k＝f′(x0)＝3x，故切線方程為y－x＝3x(x－x0)．又點(diǎn)(1,1)在切線上，將其代入切線方程得1－x＝3x(1－x0)，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－.故所求的切線方程為y－1＝3(x－1)或y－1＝(x－1)，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.題型二　利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)坐標(biāo)例2　在曲線y＝x2上求一點(diǎn)，使得在該點(diǎn)處的切線：(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；(3)傾斜角為135°.[解]　設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)，設(shè)y＝f(x)，則f′(x)＝ ＝ ＝2x.(1)因?yàn)榍芯€與直線y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故y0＝4，即P(2,4)．(2)因?yàn)榍芯€與直線2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P.(3)因?yàn)榍芯€的傾斜角為135°，所以其斜率為－1，即2x0＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P.利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)坐標(biāo)的解題步驟(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)求切線的斜率f′(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)由于點(diǎn)(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，將x0代入求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)．[跟蹤訓(xùn)練2]　已知拋物線y＝2x2＋1，(1)拋物線上哪一點(diǎn)的切線的傾斜角為45°？(2)拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于直線4x－y－2＝0?(3)拋物線上哪一點(diǎn)的切線垂直于直線x＋8y－3＝0?解　設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，f(x)＝2x2＋1，∵＝＝4x＋2Δx.∴f′(x)＝ (4x＋2Δx)＝4x.∴f′(x0)＝4x0.(1)∵拋物線在點(diǎn)(x0，y0)處的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，故y0＝2×2＋1＝，該點(diǎn)為.(2)∵拋物線在點(diǎn)(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴切線的斜率為4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，故y0＝2×12＋1＝3，該點(diǎn)為(1,3)．(3)∵拋物線在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線x＋8y－3＝0垂直，∴斜率為8.即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴y0＝2×22＋1＝9，該點(diǎn)為(2,9).題型三　導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用例3　已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過點(diǎn)P(1,1)，且在點(diǎn)Q(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求實(shí)數(shù)a，b，c的值．[解]　∵曲線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)P(1,1)，∴a＋b＋c＝1.　①∵f′(2)＝ ＝4a＋b，∴4a＋b＝1.　②又曲線過點(diǎn)Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1，　③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用題的解題關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)．利用題目所給的斜率的線性關(guān)系、斜率的最值、斜率的范圍等已知條件求解題目．此處常與函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合．[跟蹤訓(xùn)練3]　求曲線y＝和y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．解　聯(lián)立兩曲線方程得解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．令f(x)＝，g(x)＝x2.曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為f′(1)＝ ＝ ＝－1，所以曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的一條切線方程為y－1＝－1×(x－1)，即y＝－x＋2.同理，曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為g′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，所以曲線y＝x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.兩條切線方程y＝－x＋2和y＝2x－1與x軸所圍成的圖形如圖所示，所以S＝×1×＝，故三角形的面積為.  1. 某堆雪在融化過程中，其體積V(單位：m3)與融化時(shí)間t(單位：h)近似滿足函數(shù)關(guān)系：V(t)＝H3(H為常數(shù))，其圖象如圖所示．記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為(m3/h)，觀察圖象可知瞬時(shí)融化速度等于(m3/h)的時(shí)刻是圖中的(　　)A．t1  B．t2 C．t3  D．t4答案　C解析　如圖所示，平均融化速度實(shí)際上是點(diǎn)A與點(diǎn)B連線的斜率k；瞬時(shí)融化速度的幾何意義就是曲線V(t)在某時(shí)刻的切線斜率，通過對(duì)比，t3時(shí)刻曲線的切線斜率與k相等，故瞬時(shí)融化速度等于(m3/h)的時(shí)刻是t3.2．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(　　)A．不存在  B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直  D．與x軸相交但不垂直答案　B解析　函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，說明相應(yīng)曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率為零．3．下列說法正確的是(　　)A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處就沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在，則曲線在該點(diǎn)處就沒有切線答案　C解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在某點(diǎn)處的切線斜率為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，因此C正確．4. 如圖，直線l是曲線y＝f(x)在x＝4處的切線，則f′(4)＝(　　)A．  B．3C．4  D．5答案　A解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(4)是曲線y＝f(x)在x＝4處的切線的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.5．已知曲線y＝2x2－7，求曲線過點(diǎn)P(3,9)的切線方程．解　y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.因?yàn)?×32－7＝11≠9，所以點(diǎn)P(3,9)不在曲線上．設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A (x0,2x－7)，則切線的斜率k＝4x0.又因?yàn)辄c(diǎn)P(3,9)，A(x0,2x－7)都是切線上的點(diǎn)，所以k＝＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.當(dāng)x0＝2時(shí)，k＝8，切點(diǎn)為(2,1)，切線方程為y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；當(dāng)x0＝4時(shí)，k＝16，切點(diǎn)為(4,25)，切線方程為y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切線方程為8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.  A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則(　　)A．f′(x0)>0  B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0  D．f′(x0)不存在答案　C解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(x0)表示曲線y＝f(x)在點(diǎn)x0處切線的斜率，因?yàn)榍芯€斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.2．已知曲線y＝x2－2上一點(diǎn)P，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為(　　)A．30°  B．45° C．135°  D．165°答案　B解析　因?yàn)?/span>y＝x2－2，所以y′＝ ＝ ＝x，所以曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為1，所以曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為45°.3．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線的斜率k＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　)A．(1,1)  B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1)  D．(2,8)或(－2，－8)答案　C解析　因?yàn)?/span>y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由題意，知切線斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1)．4．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列排序正確的是(　　)A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4) B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2)C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2) D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3)答案　C解析　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)即為曲線f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，又由圖象可知曲線f(x)在x＝2,3,4處的切線的斜率逐漸減小，所以0<f′(4)<f′(3)<f′(2)，故選C．5．(多選)設(shè)P0為曲線f(x)＝x3＋x－2上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)可以為(　　)A．(1,0)  B．(2,8)C．(－1，－4)  D．(1,4)答案　AC解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求得f′(x)＝3x2＋1，設(shè)P0(x0，y0)，因?yàn)榍€f(x)＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y＝4x－1，所以f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，所以點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0)或(－1，－4)，故選AC．二、填空題6．設(shè)曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)M處的切線斜率為3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________.答案　(1,0)解析　設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，得k＝ ＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，得x0＝1，則y0＝0.7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲線f(x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－1，則實(shí)數(shù)a的值為________.答案　2解析　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k＝f′(1)＝4.又切線在y軸上的截距為－1，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝4x－1，從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.8．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)＝________.答案　1解析　由圖象可得函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)(4,0)，與y軸交于點(diǎn)(0,4)，則可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1.三、解答題9．求過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1，1)處的切線平行的直線．解　設(shè)曲線y＝3x2－4x＋2在M(1,1)處的切線的斜率為k，則k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.設(shè)過點(diǎn)P(－1,2)且斜率為2的直線為l，則由點(diǎn)斜式得l的方程為y－2＝2(x＋1)，化為一般式為2x－y＋4＝0，所以所求直線方程為2x－y＋4＝0.10．已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值和切點(diǎn)的坐標(biāo)．解　設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)，因?yàn)?/span>f′(x)＝ ＝ ＝3x2－4x，由題意可知，直線l的斜率k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(2,3)．當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，有＝4×＋a，a＝；當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝4×2＋a，a＝－5.所以當(dāng)a＝時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)a＝－5時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)．B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練1．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝ax＋＋b(a>0)．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝x，求a，b的值．解　因?yàn)?/span>＝＝＝，所以 ＝＝，解得a＝2或a＝－(不符合題意，舍去)．將a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.2．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1，l2和x軸所圍成的三角形的面積．解　(1)y′|x＝1＝ ＝3，所以l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3.設(shè)曲線y＝x2＋x－2在點(diǎn)B(b，b2＋b－2)處的切線為l2，y′|x＝b＝ ＝2b＋1，所以l2的方程為y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因?yàn)?/span>l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程為y＝－x－.(2)由得即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為，l1，l2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，，所以所求三角形的面積S＝××＝.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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