計數(shù)原理、概率1.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加、分步相乘、有序排列、無序組合.解排列、組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；不相鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；定序問題倍縮法；多元問題分類法；有序分配分步法；綜合問題先選后排法；至多至少問題間接法.(1)排列數(shù)公式A＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝，其中m，n∈N*，且m≤n.當(dāng)m＝n時，A＝n·(n－1)·…·2·1＝n！，規(guī)定0！＝1.(2)組合數(shù)公式C＝＝＝，其中m，n∈N*，m≤n.規(guī)定C＝1.(3)組合數(shù)性質(zhì)C＝C，C＋C＝C，其中m，n∈N*，m≤n.[檢驗1]　(1)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為________.(2)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答).答案　(1)24　(2)5902.二項式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*).通項(展開式的第r＋1項)：Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0，1，…，n)叫做二項式系數(shù).(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.②二項式系數(shù)的和等于2n(組合數(shù)公式)，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.③二項式展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.注意　二項式系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，往往因為概念不清導(dǎo)致出錯.[檢驗2]　設(shè)的展開式中x3的系數(shù)為A，二項式系數(shù)為B，則A∶B＝________.答案　43.互斥事件有一個發(fā)生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(1)公式適合范圍：事件A與B互斥.(2)P()＝1－P(A).[檢驗3]　某射手射擊一次擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0.3，0.3，0.2，那么他射擊一次不夠8環(huán)的概率是________.答案　0.24.古典概型P(A)＝(其中，n為試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗中包含的基本事件個數(shù)).[檢驗4]　從1，2，3，6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率為________.答案　5.條件概率(1)定義：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.(2)乘法公式：對任意事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)，稱上式為概率的乘法公式.(3)條件概率的性質(zhì)：設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；③設(shè)和B互為對立事件，則P(|A)＝1－P(B|A).[檢驗5]　從一副不含大小王的52張撲克牌中，每次從中隨機抽出1張撲克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，則第2次抽到A牌的概率為________.答案　6.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).[檢驗6]　有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.任取一個零件，它是次品的概率為________.答案　0.052 57.離散型隨機變量(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)均值公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi.(3)均值的性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np；③若X服從兩點分布，則E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差為.(5)方差的性質(zhì)①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)；③若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p).(6)獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式P(AB)＝P(A)P(B).(7)n重伯努利試驗的概率計算公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.[檢驗7]　若隨機變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的值為________.ξ012345P2x3x7x2x3xx答案　8.正態(tài)分布如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2).滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.[檢驗8]　(多選)正態(tài)分布N(1，σ2)的正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列選項中，可以表示圖中陰影部分面積的是(　　)A.－P(X≤0) B.－P(X≥2)C.P(X≤2)－P(X≤0) D.－P(1≤X≤2)答案　ABC 

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