函數(shù)與導數(shù)1.求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應列出所有的不等式，不應遺漏.[檢驗1]　函數(shù)f(x)＝的定義域為________.答案　[2，＋∞)解析　要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1≥0，即x≥2，則函數(shù)f(x)的定義域是[2，＋∞).2.求函數(shù)解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元(配湊)法；(4)解方程法等.用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題.[檢驗2]　已知f()＝x＋2，則f(x)＝________.答案　x2＋2x(x≥0)3.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應關(guān)系的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).[檢驗3]　已知函數(shù)f(x)＝則f＝________.答案　4.函數(shù)的奇偶性若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|); f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).定義域含0的奇函數(shù)滿足f(0)＝0；定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分的條件；判斷函數(shù)的奇偶性，先求定義域，若其定義域關(guān)于原點對稱，再找f(x)與f(－x)的關(guān)系.[檢驗4]　(1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________.(2)已知f(x)為偶函數(shù)，它在[0，＋∞)上是減函數(shù)，若f(lg x)＞f(1)，則x的取值范圍是________.答案　(1)　(2)5.函數(shù)的周期性由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得：①若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，則f(x)是周期T＝2a的周期函數(shù)；②若f(x＋a)＝(a≠0)恒成立，則T＝2a；③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，則T＝2a.[檢驗5]　函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________.答案　解析　因為函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因為在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.6.函數(shù)的單調(diào)性(1)定義法：設(shè)任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù).(2)導數(shù)法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定.如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0，∴f ′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.(3)復合函數(shù)由同增異減的判定法則來判定.(4)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接，或用“，”隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.[檢驗6]　(1)函數(shù)f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間為________.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜f的x的取值范圍是(　　)A.  B.  C.  D.答案　(1)(－∞，0)，(0，＋∞)　(2)D7.求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)；(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)；(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)；(4)導數(shù)法：適合于可導函數(shù)；(5)換元法(特別注意新元的范圍)；(6)分離常數(shù)法：適合于一次分式；(7)有界函數(shù)法：適用于含有指、對數(shù)函數(shù)或正、余弦函數(shù)的式子.無論用什么方法求最值，都要考查“等號”是否成立，特別是基本不等式法，并且要優(yōu)先考慮定義域.[檢驗7]　函數(shù)y＝的值域為________.答案　(0，1)8.函數(shù)圖象的幾種常見變換(1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移——“上加下減”.(2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).(3)對稱變換：①證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上；②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；③函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0(y軸)對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0(x軸)對稱.[檢驗8]　(1)函數(shù)y＝的圖象關(guān)于點________對稱.(2)函數(shù)f(x)＝|lg x|的單調(diào)遞減區(qū)間為________.答案　(1)(－2，3)　(2)(0，1]9.二次函數(shù)問題(1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.(2)二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②頂點式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(3)一元二次方程實根分布：先觀察二次項系數(shù)，Δ與0的關(guān)系，對稱軸與區(qū)間的關(guān)系及有窮區(qū)間端點函數(shù)值符號，再根據(jù)上述特征畫出草圖.尤其注意若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形.[檢驗9]　關(guān)于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一個正根的充要條件是________.答案　a∈10.指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)(1)指數(shù)運算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q).(2)對數(shù)運算性質(zhì)：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN，loga＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，對數(shù)換底公式：logaN＝.推論：logamNn＝logaN；logab＝.[檢驗10]　設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝(　　)A.  B.10  C.20  D.100答案　A11.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(0，1)，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(1，0).[檢驗11]　(1)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則(　　)A.a＞b＞c  B.a＞c＞b  C.c＞b＞a  D.c＞a＞b(2)函數(shù)y＝loga|x|的增區(qū)間為_______________________.答案　(1)D　(2)當a＞1時，(0，＋∞)；當0＜a＜1時，(－∞，0)12.函數(shù)與方程(1)對于函數(shù)y＝f(x)，使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.事實上，函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根.(2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時這個c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立.[檢驗12]　設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在區(qū)間是(　　)A.(0，1)  B.(1，2)  C.(2，3)  D.(3，4)答案　B13.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)是曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).注意　過某點的切線不一定只有一條.[檢驗13]　已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，過點P(2，－6)作曲線y＝f(x)的切線，則此切線的方程是____________.答案　3x＋y＝0或24x－y－54＝014.幾個常用的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.(2)(ln x)′＝(x>0)，(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1).(3)(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1).[檢驗14]　已知f(x)＝xln x，則f′(x)＝________；已知f(x)＝，則f′(x)＝________.答案　ln x＋1　15.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f′(x)＞0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)＜0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù).注意　如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0，增函數(shù)亦如此.[檢驗15]　函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.[3，＋∞)  B.[－3，＋∞)C.(－3，＋∞)  D.(－∞，－3)答案　B16.導數(shù)為零的點并不一定是極值點，例如：函數(shù)f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是極值點.[檢驗16]　函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點的個數(shù)是(　　)A.2  B.1  C.0  D.由a確定答案　C 

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