3.1.1 函數(shù)的概念(二)本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修一》（人教A版）第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》，本節(jié)課是第1課時。函數(shù)的基本知識是高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，函數(shù)的思想貫穿于整個初中和高中數(shù)學.對于高一學生來說，函數(shù)不是一個陌生的概念。但是，由于局限初中階段學生的認知水平；學生又善未學習集合的概念，只是用運動變化的觀點來定義函數(shù)，通過對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次和二次函數(shù)的學習來理解函數(shù)的意義，對于函數(shù)的概念理解并不深刻.高一學生學習集合的概念之后，進一步運用集合與對應(yīng)的觀點來刻畫函數(shù)，突出了函數(shù)是兩個集合之間的對應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會集合思想、對應(yīng)思想和模型思想。所以把第一課時的重點放在函數(shù)的概念理解，通過生活中的實際事例，引出函數(shù)的定義，懂得數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系，通過對函數(shù)三要素剖析，進一步理解充實函數(shù)的內(nèi)涵。所以在教學過程中分別設(shè)計了不同問題來理解函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、函數(shù)圖象的特征、兩個相同函數(shù)的條件等問題.學生在初中階段，已經(jīng)知道函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義、實際問題要符合實際意義的自變量的范圍，所以在教學中進一步強調(diào)定義域的集合表示.課程目標學科素養(yǎng) 能根據(jù)函數(shù)的定義判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù) 會求函數(shù)的定義域 會求函數(shù)的值域1.邏輯推理：同一個函數(shù)的判斷；2.數(shù)學運算：求函數(shù)的定義域，值域； 1.教學重點：函數(shù)的概念，函數(shù)的三要素；2.教學難點：求函數(shù)的值域。多媒體一、復習回顧，溫故知新1、函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作：y=f(x)      x∈A．x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.2.對函數(shù)符號y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)為“y是x的函數(shù)”的數(shù)學表示，僅是一個函數(shù)符號， f(x)不是f與x相乘。例如：y=3x+1可以寫成f(x)= 3x+1。當x=2時y=7可以寫成f(2)=7想一想：f(a)表示什么意思？f(a)與f(x)有什么區(qū)別？一般地，f(a)表示當x=a時的函數(shù)值，是一個常量。f(x)表示自變量x的函數(shù)，一般情況下是變量。（2）、“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，   如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；二、探索新知探究一   同一個函數(shù)前提條件定義域相同對應(yīng)關(guān)系完全一樣結(jié)論是同一個函數(shù)思考1：函數(shù)有定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域三要素，為什么判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只看定義域和對應(yīng)關(guān)系？提示：由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系可以求出函數(shù)的值域，所以判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只看定義域和對應(yīng)關(guān)系即可．探索二 常見函數(shù)的定義域和值域 思考2：求二次函數(shù)的值域時為什么分和兩種情況？提示：當a>0時，二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，觀察圖象得值域為{y|y≥}．當a<0時，二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，觀察圖象得值域為{y|y≤}．例1.判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×”)(1)f(x)＝與g(x)＝x是同一個函數(shù)．(　　)(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．(　　)(3)函數(shù)f(x)＝x2－x與g(t)＝t2－t是同一個函數(shù)．(　　)[解析]　(1)f(x)＝與g(x)＝x的定義域不相同，所以不是同一個函數(shù)．(2)例如f(x)＝與g(x)＝的定義域與值域相同，但這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝x2－x與g(t)＝t2－t的定義域都是R，對應(yīng)關(guān)系完全一致，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．例2  (2019·江蘇啟東中學高一檢測)下圖中，能表示函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(　　)[解析]　由函數(shù)定義可知，任意作一條垂直于x軸的直線x＝a，則直線與函數(shù)的圖象至多有一個交點，可知選項D中圖象能表示y是x的函數(shù)．例3．若函數(shù)y＝x2－3x的定義域為{－1,0,2,3}，則其值域為(　A　)A．{－2,0,4}　　　 B．{－2,0,2,4}C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}例4.下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是(　　)A．{y|－1≤y≤1} B．RC．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}[解析]　函數(shù)值只有－1,0,1三個數(shù)值，故值域為{－1,0,1}．關(guān)鍵能力·攻重難題型一 函數(shù)的值域1、函數(shù)的值域是(　　)A．(－3,0]　　B．(－3,1]  C．[0,1]  D．[1,5)[分析]　首先看二次函數(shù)的開口方向，再考慮二次函數(shù)的對稱軸與限定區(qū)間的位置關(guān)系．[解析]　由，可知當x＝2時，；當x＝0時，，因為x≠2，所以函數(shù)的值域為(－3,1]．[歸納提升]　二次函數(shù)的值域(1)對稱軸在限定區(qū)間的左邊，則函數(shù)在限定區(qū)間左端點取最小值，右端點取最大值；(2)對稱軸在限定區(qū)間的右邊，則函數(shù)在限定區(qū)間左端點取最大值，右端點取最小值；(3)對稱軸在限定區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)在對稱軸處取最小值，限定區(qū)間中距離對稱軸較遠的端點取最大值．題型二 同一個函數(shù)2、判斷下列各組函數(shù)是否是同一個函數(shù)，為什么？(1)y＝與y＝1；(2)y＝與y＝x；(3)y＝·與y＝.[分析]　判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，只須看這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否完全一致即可．[解析]　(1)對應(yīng)關(guān)系相同，都是無論x取任何有意義的值，y都對應(yīng)1.但是它們的定義域不同，y＝的定義域是{x|x≠0}，而y＝1的定義域為R，故這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)．(2)對應(yīng)關(guān)系不相同，y＝＝|x|＝的定義域為R，y＝x的定義域也是R，但當x<0時，對應(yīng)關(guān)系不同，故兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)．(3)函數(shù)y＝·的定義域為使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此條件下，函數(shù)解析式寫為y＝，而y＝的定義域也是{x|－1≤x≤1}，由于這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同，所以兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．[歸納提升]　判斷兩個函數(shù)f(x)和g(x)是不是同一函數(shù)的方法與步驟(1)先看定義域，若定義域不同，則兩函數(shù)不同．(2)再看對應(yīng)關(guān)系，若對應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù)．(3)若對應(yīng)關(guān)系相同，且定義域也相同，則是同一函數(shù)．題型三　復合函數(shù)、抽象函數(shù)的定義域3、(1)若函數(shù)f(x)的定義域為(－1,2)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為_______________.(2)若函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(－1,2)，則函數(shù)f(x)的定義域為______________.(3)若函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(－1,2)，則函數(shù)f(x－1)的定義域為____________.[分析]　(1)f(x)的定義域為(－1,2)，即x的取值范圍為(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范圍(定義域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定義域為(－1,2)，即x的取值范圍為(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范圍即為f(x)的定義域．(3)先由f(2x＋1)的定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求f(x－1)的定義域．[解析]　(1)由－1<2x＋1<2，得－1<x<，∴f(2x＋1)的定義域為(－1，)．(2)∵－1<x<2，∴－1<2x＋1<5，∴f(x)的定義域為(－1,5)．(3)由f(2x＋1)的定義域為(－1,2)得f(x)的定義域為(－1,5)，由－1<x－1<5得0<x<6，∴f(x－1)的定義域為(0,6)．[歸納提升]　函數(shù)y＝f[g(x)]的定義域由y＝f(t)與t＝g(x)的定義域共同決定：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為數(shù)集A，則函數(shù)f[g(x)]的定義域由g(x)∈A解出．(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為數(shù)集A，則函數(shù)f(x)的定義域為g(x)在A中的值域．誤區(qū)警示函數(shù)概念理解有誤1、設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個圖形(如圖所示)，其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是(　　)A．0 B．1C．2 D．3[錯解]　函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以一對一，也可以多對一，故(1)(2)(3)正確，選D．[錯因分析]　不但要考慮幾對幾的問題，還要考慮定義域中的元素x在值域中是否有相應(yīng)的y值與之對應(yīng)．[正解]　圖(1)定義域M中的(1,2]部分在值域N中沒有和它對應(yīng)的數(shù)，不符合函數(shù)的定義；圖(2)中定義域、值域及對應(yīng)關(guān)系都是符合的；圖(3)顯然不符合函數(shù)的定義；圖(4)中在定義域(0,2]上任給一個元素，在值域(0,2]上有兩個元素和它對應(yīng)，因此不唯一．故只有圖(2)正確．答案為B．[方法點撥]　函數(shù)的定義中，從數(shù)的角度描述了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，首先它是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)，它可以一對一，也可以多對一，除此之外，還要弄清定義域與數(shù)集A、值域與數(shù)集B之間的關(guān)系．學科素養(yǎng)求函數(shù)值域的方法——轉(zhuǎn)化與化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1．分離常數(shù)法求函數(shù)y＝的值域．[分析]　這種求函數(shù)值域的問題，我們常把它們化為y＝a＋的形式再求函數(shù)的值域．[解析]　∵y＝＝＝3＋，又∵≠0，∴y≠3.∴函數(shù)y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．[歸納提升]　求y＝這種類型的函數(shù)的值域，應(yīng)采用分離常數(shù)法，將函數(shù)化為y＝a＋的形式．2．配方法求函數(shù)的值域[解析]　∵，∴其圖象是開口向下，頂點為(－1,4)，在x∈[－5，－2]上對應(yīng)的拋物線上的一段?。?/span>根據(jù)x∈[－5，－2]時的拋物線上升，則當x＝－5時，y取最小值，且；當x＝－2時，y取最大值，且.故的值域是[－12,3]．[歸納提升]　遇到求解一般二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域時，應(yīng)采用配方法，將函數(shù)化為y＝a(x＋)2＋的形式，從而求得函數(shù)的值域．3．換元法求函數(shù)y＝x＋的值域．[分析]　忽略常數(shù)系數(shù)，則x與隱含二次關(guān)系，若令＝t，則x＝(t2＋1)，于是函數(shù)轉(zhuǎn)化為以t為自變量的二次函數(shù)，由于原函數(shù)的定義域由有意義確定，故t的允許取值范圍就是的取值范圍．[解析]　設(shè)u＝(x≥)，則x＝(u≥0)，于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，則y≥.故函數(shù)y＝x＋的值域為[，＋∞)．[歸納提升]　求解帶根號且被開方式為一次式的函數(shù)的值域，直接求解很困難，既費時又費力，所以遇到這樣的問題，我們要想到用一個字母代換掉帶根號的式子．值得注意的是，在代換過程中，要注意新變量的取值范圍．   

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3.1 函數(shù)的概念及其表示

版本： 人教A版 (2019)

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