知識點二　空間等角定理
2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.思考　如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？答案　不一定，這兩條直線可能相交、平行或異面.
例1　(1)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點，求證：EE′∥FF′.
證明　∵E，E′分別是AB，A′B′的中點，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四邊形EBB′E′是平行四邊形，∴EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.
(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，求證：BFD1E是平行四邊形.
證明　如圖所示，取BB1的中點G，連接GC1，GE.因為F為CC1的中點，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四邊形BFC1G是平行四邊形.所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因為EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四邊形BFD1E是平行四邊形.
跟蹤訓練1　如圖，在三棱錐P－ABC中，G，H分別為PB，PC的中點，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，且△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求證：GH∥MN.
證明　如圖，取PA的中點Q，連接BQ，CQ，則M，N分別在BQ，CQ上.∵M，N分別為△PAB，△PAC的重心，
又G，H分別為PB，PC的中點，∴GH∥BC，∴GH∥MN.
跟蹤訓練2　如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點.求證：
(1)四邊形MNA1C1是梯形；
證明　如圖 ，連結(jié)AC，在△ACD中，∴MN是△ACD的中位線，
由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴四邊形MNA1C1是梯形.
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
證明　由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
3.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC，BD相等，順次連接各邊中點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH一定是
A.矩形 B.正方形C.菱形 D.空間四邊形
解析　利用E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，可得這個四邊形是平行四邊形，再由對角線相等可得四邊形EFGH一定是菱形.
5.兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形A.全等 B.不相似C.僅有一個角相等 D.相似
解析　由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應相等，故選D.

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8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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