【期末考前必練】2022-2023學年蘇科版數(shù)學八年級上冊期末考點必刷題：專練10 壓軸大題（15題）-試卷下載-教習網(wǎng)

?專練10壓軸大題（15題）
1．（2021·遼寧連山·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC，AB上的動點，且AE＝CD，BD交CE于點P．
（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；
（2）點M是邊BC的中點，連接PA，PM，延長BP到點F，使PF＝PC，連接CF，
①如圖2，若點A，P，M三點共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?br /> ②如圖3，若點A，P，M三點不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）①AP＝2PM；②成立，證明見解析
（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點M是邊BC的中點，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，點M是邊BC的中點，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案為：AP＝2PM；
②解：①中的結(jié)論成立，
理由如下：延長PM至H，是MH＝PM，連接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF為等邊三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．

【點睛】
本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·江西尋烏·八年級期末）（1）問題背景：如圖①，在四邊形中，．E，F(xiàn)分別是上的點，且，請?zhí)骄繄D中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學探究此問題的方法是：延長到點G，使．連接，先證明，得；再由條件可得，證明，進而可得線段之間的數(shù)量關(guān)系是_____________________．
（2）探索延伸：如圖②，在四邊形中，．E，F(xiàn)分別是，上的點，且．問（1）中的線段之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）實際應用：如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以50海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以60海里/小時的速度前進．2小時后，甲?乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．

【答案】（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）220海里．
解：（1）在和中，
，
∴，
∴．
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
故答案為：；
（2）仍然成立．
證明：如圖1，延長到G，使，連接，

∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖2，

連接，延長?相交于點G．
∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，
∴，
又∵，
∴符合（2）中探索延伸中的條件，
∴結(jié)論成立，
即海里．
答：此時兩艦艇之間的距離是220海里．
【點睛】
本題考查了四邊形內(nèi)角和問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，本題中通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．
3．（2021·廣西玉州·八年級期末）已知等邊的邊長為，點，分別是直線，上的動點．

（1）如圖1，當點從頂點沿向點運動，點同時從頂點沿向點運動，它們的速度都為，到達終點時停止運動．設(shè)它們的運動時間為秒，連接，．
①當時，求的度數(shù)．
②當為何值時是直角三角形？
（2）如圖2，當點在的延長線上，在上，若，請判斷、和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）①30°；②或；（2），見解析.
（1）①根據(jù)題意得，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，是等邊三角形，
∴，
∴；
（2）由題意知，，
當時，
∵，
∴，得：
，
解得；
當時，
∵，
∴，
得，
解得；
∴當秒或秒時，為直角三角形；
（2），理由如下：
如圖所示，過點作，交于，
則是等邊三角形，
∴，，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【點睛】
本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形，數(shù)學分類思想，直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵.
4．（2021·江蘇海州·八年級期末）如圖1，，，以點為頂點、為腰在第三象限作等腰直角．

（1）求點的坐標；
（2）如圖2，是軸負半軸上一個動點，當點向軸負半軸向下運動時，若以為直角頂點，為腰作等腰直角，過點作軸于點，求的值；
（3）如圖3，已知點坐標為，當在軸運動時，作等腰直角，并始終保持，與軸交于點，與軸交于點，求、滿足的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）點C的坐標為（-6，-2）；（2）2；（3）m＋n=-6
解：如圖，過C作CM⊥x軸于M點，

∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，
則∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，
∠CMA＝∠AOB＝90°，∠MAC＝∠OBA，AC＝BA，
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴點C的坐標為(-6，-2)；
（2）如圖，過D作DQ⊥OP于Q點，

∴DE=OQ，
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，
∵∠AOP=∠PQD=90°，∠QPD=∠OAP，AP=PD，
∴△AOP≌△PDQ(AAS)，
∴AO=PQ=2，
∴OP?DE=OP?OQ=PQ=OA=2；
（3）如圖，過點F分別作FS⊥x軸于S點，F(xiàn)T⊥y軸于T點，

則FS＝FT＝3，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，
在△FSH和△FTG中：
∠FSH＝∠FTG＝90°，∠FHS＝∠FGT，F(xiàn)S＝FT，
則△FSH≌△FTG（AAS），
則GT＝HS，
又∵G(0，m)，H(n，0)，點F坐標為(-3，-3)，
∴OT=OS=3，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-3，HS=OH＋OS=n+3，
則-3-m=n+3，
則m＋n=-6．
【點睛】
考查了坐標系中的幾何問題，熟練掌握全等三角形的“三垂直”模型的特點是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·重慶巴蜀中學八年級期末）已知：在中，點E是的中點，連接，點D在上，連接，過點E作交于點F，交于點G，，連接，交于點H，，過點D作于點K；

（1）如圖1，若，，時，求的面積．
（2）如圖2，若，，求證：．
【答案】(1)48；（2）見解析.
（1）∵，，，
∴BF=EF=4，
∵AF=8，∴AB=AF+BF=12，
∴=24，
∵BE=EC，
∴=48；

（2）取DH的中點M，連接CM，
∵CD=CH，
∴CM⊥DH，
∵EF⊥DE,∠BEF=45°,
∴∠MEC=45°,
∴∠MEC=∠BEF，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∴EM=EC，
∵∠BGE=∠ADE，
∴∠DGE=∠HDC，
∵CD=CH，
∴∠DHC=∠HDC，
∴∠DGE=∠DHC，
∵∠DGE=∠BEF+∠GBE，∠DHC=∠MEC+∠HCE，
∴∠GBE=∠HCE，
∵BE=EC，
∴△BGE≌△CHE，
∴BG=CH，GE=HE，
∵BG=DH，
∴DH=CH，
在和中

∴△DHK≌△CHM，
∴HM=HK，
∵EM=EH+HM，
∴GE+HK=EM，
∴GE+HK=EC.
【點睛】
本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的全等，三角形外角和定理，線段的和的意義，構(gòu)造等腰直角三角形EMC是解題的關(guān)鍵.
6．（2021·河南封丘·八年級期末）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；
（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）全等，理由見詳解；PC⊥PQ，理由見解析；（2）存在，或．
解：（1）當時，，，
又，
在和中，

．
，
．
，
即線段與線段垂直．
（2）①若，
則，，
則，
解得：；
②若，
則，，
則，
解得：；
綜上所述，存在或使得與全等．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．在解題時注意分類討論思想的運用．
7．（2021·湖北房縣·八年級期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．

（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．
①求證：AD＝BE；
②求∠AEB的度數(shù)．
（2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）①見解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由見解析．
（1）①證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵點A、D、E在同一直線上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°，
∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．
（2）結(jié)論：AE＝2CF+BE．
理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．

【點睛】
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形全等的證明，正確理解等腰三角形的性質(zhì)以及三角形全等的證明是本題的解題關(guān)鍵．
8．（2021·廣東南?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，兩個全等的等邊三角形△ABC與△ACD，拼成的四邊形ABCD中，AC＝6，點E、F分別為AB、AD邊上的動點，滿足BE＝AF，連接EF交AC于點G，連接BD與CE、AC、CF分別交于點M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求證：△CEF是等邊三角形．
（2）△AEF的周長最小值是　 ?。?br /> （3）若BE＝3，求證：BM＝MN＝DN．

【答案】（1）見解析；（2）6+3；（3）見解析
（1）證明：∵△ABC，△ACD是全等的等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，
∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，
，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△CEF是等邊三角形．
（2）解：∵△AEF的周長＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，
∴EF的值最小時，△AEF的周長最小，
∵△ECF是等邊三角形，
∴EF＝CE，
∴當CE⊥AB時，CE的值最小，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=，
∴CE＝，
∴△AEF的周長的最小值為6+3，
故答案為：6+3．
（3）證明：∵△ABC，△ACD是全等的等邊三角形，AC⊥BD
∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°
∵BE＝3，AB＝AC＝6，
∴點E為AB中點，點F為AD中點，
∴AO＝AB＝3，
∴BO＝，
∴BD＝6，
∵△ABC是等邊三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，
∴BM＝2EM，
∴
∴BM＝2，
同理可得DN＝2，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2
∴BM＝MN＝DN．

【點睛】
此題考查了三角形全等，勾股定理，線段最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到題目中邊角之間的關(guān)系．
9．（2021·全國·八年級期末）如圖1，已知RtABC中，∠BAC＝90°，點D是AB上一點，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于點E，交CD于點F．
(1)如圖1，若AB＝2AC，求AE的長；
(2)如圖2，若∠B＝30°，求CEF的面積；
(3)如圖3，點P是BA延長線上一點，且AP＝BD，連接PF，求證：PF+AF＝BC．

【答案】(1)；(2)；(3)見解析
（1）∵AB＝2AC，AC＝8，
∴AB＝16，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝，
∵AE⊥BC，
∴S△ABC＝，
∴AE＝．
（2）如圖，過點作于點，則，

∠B＝30°，，,
，,
,
,
AE⊥BC，
，

設(shè)，則，，
，
，
，
，

解得

（3）證明：如圖3中，過A點作AM⊥CD于點M，與BC交于點N，連接DN．

∵∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，
∴DN＝CN，
∴∠NDM＝∠NCM，
∵AE⊥BC，
∴∠ECF＋∠EFC＝∠MAF＋∠AFM＝90°，
∵∠AFM＝∠EFC，
∴∠MAF＝∠ECF，
∴∠MAF＝∠MDN，
∵∠AMF＝∠DMN，
∴△AMF≌△DMN（ASA），
∴AF＝DN＝CN，
∵∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，
∴∠NAP＝∠CDB＝135°，
∵∠MAF＝∠MDN，
∴∠PAF＝∠BDN，
∵AP＝DB，
∴△APF≌△DBN（SAS），
∴PF＝BN，
∵AF＝CN，
∴PF＋AF＝CN＋BN，
即PF＋AF＝BC．
【點睛】
考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·陜西漢臺·八年級期末）某數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下研究：

（1）如圖1，△ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，△ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的長．
（3）如圖3，四邊形ABCD中，連接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的長．
【答案】（1）CE=BD，見解析；（2）6；（3）20
（1）∵∠EAB=∠CAD
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
（2）∵∠EAB=∠CAD=90゜
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
∵△EAB、△CAD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠CAD=90゜
∴AE=AB=4，∠EBA=45゜，AC=AD
∴由勾股定理得：
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=45゜+45゜=90゜
∴在Rt△EBC中，由勾股定理得：
∴BD=6
（3）如圖，連接BD
∵CD=BC，∠BCD=60゜
∴△BCD是等邊三角形
把△ACD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60゜得到△EBD，點E與點A對應，連接AE
則BE=AC=25，△ADE是等邊三角形
∴∠DAE=60゜，AD=AE
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30゜+60゜=90゜
即AB⊥AE
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
∴AD=20

【點睛】
本題是三角形的綜合題，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換，第三問作旋轉(zhuǎn)變換是關(guān)鍵，也是難點．本質(zhì)上來說，前兩問也可看成把△EAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)的角度一定角度而得到△BAD．
11．（2021·廣東龍華·八年級期末）閱讀下列材料，并解答其后的問題：
定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的四邊形叫做等補四邊形．
如圖1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，則四邊形ABCD是等補四邊形．

（1）理解：如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．請用尺規(guī)作圖法作出點D，使得以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是等補四邊形；（只需作出一個滿足條件的點D即可．要求不用寫作法，但要保留作圖痕跡．）
（2）探究：如圖3，等補四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是對角線．求證：BD平分∠ADC；
（3）運用：將斜邊相等的兩塊三角板如圖4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°角的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，AB＝BC＝4，連接BD．則BD的長為　?。?br /> 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2+2．
（1）如圖2，

作法：①在直線AB上方作∠BAM＝∠BAC，
②在邊AM上截取AD＝AC，
點D就是所求的點．
證明：連接BD，
∵AD＝AC，∠BAD＝∠BAC，AB＝AB，
∴△BAD≌△BAC（SAS），
∠ADB＝∠ACB＝90°，
∠ADB+∠ACB＝180°，
四邊形ACBD是等補四邊形，
∴點D就是所求的點．
（2）如圖3，過點B作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延長線于F，

∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCF+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCF，
∵AB＝BC，
∴△AEB≌△CFB（AAS），
∴BE＝BF，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴點B在∠ADC的平分線上，
∴BD平分∠ADC．
（3）如圖4，

作AP⊥BD于點P，則∠APB＝∠APD＝90°，
由題意得，∠ADC＝∠ABC＝90°，∠DAC＝60°，∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝60°+45°＝105°；
∵∠DAB+∠DCB
＝360°﹣（∠ADC+∠ABC）
＝360°﹣（90°+90°）＝180°，
AB＝BC＝4，
∴四邊形ABCD是等補四邊形；
由（2）得，DB平分∠ADC，
∴∠PDA＝∠ADC＝45°，
∴∠PAD＝45°，
∴∠PDA＝∠PAD，
∴PD＝PA，∠PAB＝105°﹣45°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴PD＝PA＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2，
∴BD＝BP+PD＝2+2．
故答案為：2+2
【點睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·黑龍江香坊·八年級期末）已知：菱形中，過點作，垂足為點，．

（1）如圖1，求的度數(shù)；
（2）如圖2，連接、，點在上，于點，交于點，點在上，連接、，，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，分別連接、，、交于點，交于點，若，，求菱形的面積．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）菱形的面積為．
解：（1）連接，

∵四邊形為菱形，
∴，，
∵，，
∴
∴
∴，；
（2）∵四邊形為菱形，
∴平分

∴
∵，
∴
在中，，
∴
又∵，
∴
∵為等邊三角形，，
∴
∴
∴（SAS）
∴；
（3）在上取點，使，連接，
∵四邊形為菱形，

∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴（ASA）
∴，
∴，即
∵，，

∴
∴，
∴
∴，
∵，設(shè)，則
過點作于點，交于點，連接，

∴在中，.
∴，
∴
在中，
∴
∵垂直平分，
∴，
又由（2）得，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
在中，

∴
在中，
∴，
易解得

在中，

解得：
∴
易求得
∴菱形的面積為：.
【點睛】
本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
13．（2021·遼寧大連·八年級期末）在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于點A、B，與直線交于點C，點D為直線上點C右側(cè)的一點．

（1）如圖1，若的面積為6，則點D的坐標為________；
（2）如圖2，當時，求直線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點E為直線上一點，設(shè)點E的橫坐標為m，的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）
解：（1）如圖1，對于直線y＝?2x?4，當y＝0時，由?2x?4＝0得，x＝?2，
∴A（?2，0）；
當y＝3時，由?2x?4＝3得，x＝?，
∴C（?，3），
設(shè)D（r，3），
∵點D在點C右側(cè)，
∴CD＝r＋，
由題意，得×3（r＋）＝6，
解得，r＝，
∴
故填：；
（2）過D作于G，過G作軸分別交直線，x軸于點M，N，如圖．

∵，
∴為等腰直角三角形，．
又∵，
∴，
∴，
∴，，
設(shè)，在中，令，，
∴，則，
∵點G在直線上，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴，，
∴．
設(shè)直線的解析式為，代入，．
則，解得，
∴直線的解析式為；
（3）當點E在線段上時，如圖2，此時．

圖2 圖3 圖4
∵，，
∴，
∴
過E作于F．
∵點E在直線上，點E橫坐標為m，
∴，
∴．
∴；
當點E在延長線上時，，如圖3

∴當時，；
當點E在延長線上時，如圖4，．
過E作于F，則，
．
綜上所述，
【點睛】
此題重點考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根據(jù)三角形的面積求函數(shù)關(guān)系式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形及全等三角形，此題難度較大，屬于考試壓軸題．
14．（2021·湖南零陵·八年級期末）已知直線y＝x+4與x軸、y軸相交于A、B兩點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）將直線AB進行平移，平移后的函數(shù)解析式為y＝kx+b，并與x軸、y軸相交于C、D兩點，當S△OCD＝24時，求直線CD的解析式；
（3）在x軸上有一點P，使得△ABP是等腰三角形．請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

【答案】（1）A（-3，0），B（0，4）；（2）或；（3）（，0）或（-8，0）（2；0）或（3，0）
解：（1）當時，，則點的坐標為：；
當時，，則點的坐標為：；
（2）由題意得直線的解析式為：，
當時，，則點的坐標為：；
當時，，則點的坐標為：，；
，
，
，解得：或，
直線的解析式為或；
（3）①當時，點在線段的垂直平分線上，如圖：

設(shè)P（x，0），
則OP=x，AP=BP=x+3，
在△BOP中，，
即，
解得：，
，；
②當時，如圖：

，，
，
，
，，
或；；
②當時，點在線段的垂直平分線上，如圖：

，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
綜上可得點的坐標為，或，；或．
【點睛】
本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及了一次函數(shù)的幾何變換、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，及三角形的面積，等腰三角形的判定，難點在第三問，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．
15．（2021·河南省淮濱縣第一中學八年級期末）[材料閱讀]
材料一：如圖1，∠AOB=90°，點P在∠AOB的平分線OM上，∠CPD=90°，點C，D分別在OA，OB上．可求得如下結(jié)論：PC-PD，OC+OD為定值．
材料二（性質(zhì)）：四邊形的內(nèi)角和為360°．

[問題解決]
（1）如圖2，點P在∠AOB的平分線OM上，PE⊥OA，OP=m，PE=n，∠CPD的邊與OA，OB交于點C，D，且∠AOB+∠CPD=180°，求OC+OD的值（用含m，n的式子表示）．
（2）如圖3，在平面直角坐標系中，直線與y軸，x軸分別交于A，B兩點，點P是AB的中點，∠CPD=90°，PC與y軸交于點C，PD與x軸的正半軸交于點D，OC=2，連接CD．求CD的長度．
【答案】（1）；（2）或．
解：（1）如圖1，作，，

P在的平分線上，則，
在四邊形OCPD中，
∵∠AOB+∠CPD=180°，
∴，
在和中，

則，
∴，而，
∴，
在中，
；
（2）當點C在y軸上方時，
如圖2，連接，

由直線可得：，，
∴，是等腰直角三角形，
∵P為AB的中點，
∴ ，，,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以，
由直線，可得B（7，0），
在中，，
當點C在y軸下方時，
如圖3，連接，

∵是等腰直角三角形，P為AB的中點，
∴ ，，,
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
所以，
由B（7，0），可得，
在中，；
綜上所述，CD的長度為或．
【點睛】
本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等等，要注意分類求解，避免遺漏．

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