?專練09 函數(shù)壓軸大題 （10題）
1．（2021·四川成都·八年級期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（，）．

（1）若，，求直線的表達(dá)式；
（2）如圖2，在（1）的條件下，直線：與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)．直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線下方有一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，連接，若，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）存在，G（1，）或（?5，?）；（3）＜1．
解：（1）由題意知：
A（?4，0），B（0，?2），
設(shè)直線l1的表達(dá)式為：y＝kx＋b，
，解得：，∴；
（2）如圖1，

聯(lián)立，解得：，∴C（?2，?1），
設(shè)直線CD的表達(dá)式是：y＝mx＋n，
∴，解得：，∴，
令y＝0，，解得：，∴E（，0），
∴AE＝4?＝，
∴S△ACD＝AE?DF＝××3＝4，
∵，
∴S△CDG＝3，
設(shè)G（x，x），
∴OD?|x＋2|＝3，
即×2?|x＋2|＝3，
∴x1＝1，x2＝?5，
∴G（1，）或（?5，?）；
（3）如圖2，

①當(dāng)m＋n＜0時(shí)，即，
在AO 的延長線上截取OC＝OA，
∵OB⊥AC，
∴AB＝BC，
∴∠BCO＝∠BAO，
∴∠APB＝∠BAO＋∠BCO＝2∠BAO，
∴P點(diǎn)在CB的延長線上，
故存在l1 下方有一點(diǎn)P，滿足∠PBA＝2∠BAO，
如圖3，

②在AO 的延長線上截取OC＝OA，
當(dāng)m＋n＞0時(shí)，即：1，
由①知：∠ABE＝2∠BAO，
∴∠PBA＝∠ABE＋∠PBE，
∴∠PBA＞∠ABE，
∴∠PBA≠2∠BAO，
綜上所述：＜1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)表達(dá)式和圖象之間的關(guān)系，主要是由點(diǎn)的坐標(biāo)求函數(shù)關(guān)系式，由表達(dá)式求點(diǎn)的坐標(biāo)以及結(jié)合等腰三角形求滿足條件的式子的范圍，解決問題的關(guān)鍵是正確的分類．
2．（2021·遼寧大連·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為直線上點(diǎn)C右側(cè)的一點(diǎn)．

（1）如圖1，若的面積為6，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求直線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）
解：（1）如圖1，對于直線y＝?2x?4，當(dāng)y＝0時(shí)，由?2x?4＝0得，x＝?2，
∴A（?2，0）；
當(dāng)y＝3時(shí)，由?2x?4＝3得，x＝?，
∴C（?，3），
設(shè)D（r，3），
∵點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)，
∴CD＝r＋，
由題意，得×3（r＋）＝6，
解得，r＝，
∴
故填：；
（2）過D作于G，過G作軸分別交直線，x軸于點(diǎn)M，N，如圖．

∵，
∴為等腰直角三角形，．
又∵，
∴，
∴，
∴，，
設(shè)，在中，令，，
∴，則，
∵點(diǎn)G在直線上，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴，，
∴．
設(shè)直線的解析式為，代入，．
則，解得，
∴直線的解析式為；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖2，此時(shí)．

圖2 圖3 圖4
∵，，
∴，
∴
過E作于F．
∵點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)E橫坐標(biāo)為m，
∴，
∴．
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，，如圖3

∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時(shí)，如圖4，．
過E作于F，則，
．
綜上所述，
【點(diǎn)睛】
此題重點(diǎn)考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根據(jù)三角形的面積求函數(shù)關(guān)系式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形及全等三角形，此題難度較大，屬于考試壓軸題．
3．（2021·湖北黃梅·八年級期末）已知：如圖，直線：分別交，軸于、兩點(diǎn)．以線段為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，；直線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，且與直線在軸下方相交于點(diǎn)．

（1）請求出直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出的面積；
（3）在直線上不同于點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)，使得與面積相等，如若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如若不存在，請說明理由；
（4）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使的面積與四邊形的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為；（4）存在，坐標(biāo)為或或．
（1）∵直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，

令，則，
∴．
令，則，
∴．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，
則∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA與△AMC中
，
∴，
∴，，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴，
又∵，
設(shè)直線的解析式為，則有
解得：
∴直線的解析式為：．
（2）聯(lián)立方程組，
解得：，
∴．
∴．
（3）存在．
∵與面積相等，且底AD相等，
∴底邊AD上的高相等，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴在中，令，則，
∴，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．
（4）存在．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
，
=14．
①當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(0，y) ，如圖，
∵的面積與四邊形的面積相等，
∴，
解得：y=8或y=0，
∴坐標(biāo)為或；

②當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0) ，
若F點(diǎn)在O點(diǎn)左側(cè)，則m7，如圖，
則，
∴，
解得：m=6（不合題意），
此時(shí)點(diǎn)F不存在；

或，
∴ ，
解得：m=56
∴點(diǎn)坐標(biāo)為；
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】
本題是一次函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，理解一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解題是關(guān)鍵．
4．（2021·四川·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2：y＝3x﹣3與x軸交于點(diǎn)B，與l1相交于點(diǎn)C．
（1）請直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)：A　　，B　　，C　?。?br /> （2）如圖2，動(dòng)直線x＝t分別與直線l1，l2交于P，Q兩點(diǎn)．
①若PQ＝2，求t的值．
②若存在S△AQC＝2S△ABC，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t＝1或3；②存在，（0，﹣3）或（4，9）．
解：（1）對于直線l2：y＝3x﹣3，
令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故點(diǎn)B（1，0），
對于l1：y＝x+1，同理可得：點(diǎn)A（﹣1，0），
則，解得，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），
故答案為：（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①點(diǎn)P在直線l1上，則設(shè)點(diǎn)P（t，t+1），同理點(diǎn)Q（t，3t﹣3），
則PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，
解得t＝1或3；
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，如下圖，設(shè)直線l1交y軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)B作直線n∥AC交y軸于點(diǎn)N，在y軸負(fù)半軸取點(diǎn)M使NM＝2NK，過點(diǎn)M作直線m∥AC交l2于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求點(diǎn)，
理由：∵M(jìn)、Q在直線m上，且m∥AC，則S△MAC＝S△QAC，同理S△NAC＝S△BAC，
而MN＝2KN，則m、l1之間的距離等于2倍n、l1之間的距離，故S△AQC＝2S△ABC，
由直線l1的表達(dá)式知點(diǎn)K（0，1），
設(shè)直線n的表達(dá)式為y＝x+b，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得b＝﹣1，故點(diǎn)N（0，﹣1），
則NK＝1﹣（﹣1）＝2，則MN＝NK＝2，
故點(diǎn)M（0，﹣3），
在直線m的表達(dá)式為y＝x﹣3，
聯(lián)立并解得，故點(diǎn)Q（0，﹣3）；
當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，同理可得點(diǎn)M（0，5），
同理可得，過點(diǎn)M且平行于AC的直線表達(dá)式為y＝x+5，
聯(lián)立并解得，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，9）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（4，9）．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，絕對值的應(yīng)用，面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
5．（2021·福建安溪·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝kx+b分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B．現(xiàn)將直線l繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到的直線稱為直線l的“順旋轉(zhuǎn)垂線”．
（1）若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(2，0)、B(0，2)，則直線l的“順旋轉(zhuǎn)垂線”的關(guān)系式為?。?br /> （2）若直線l＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“順旋轉(zhuǎn)垂線”為：y＝k2x+b2.求證：k1?k2＝﹣1．
（3）已知直線l的“順旋轉(zhuǎn)垂線”為l'：yx+2，點(diǎn)C是直線l與x軸、y軸交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，m)．問當(dāng)m為何值時(shí)，MA+MC取得最小值，并求出該最小值．

【答案】（1）y=x-2；（2）見解析；（3）m=，最小值為5
解：（1）由題知，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，
即直線的“順旋轉(zhuǎn)垂線” 過點(diǎn)和點(diǎn)，
設(shè)直線的“順旋轉(zhuǎn)垂線” 的解析式為，
，
解得，
即直線的“順旋轉(zhuǎn)垂線” 的解析式為，
故答案為：；
（2）設(shè)直線，分別與軸、軸相交于點(diǎn)、，
則“順旋轉(zhuǎn)垂線” 分別與軸、軸相交于點(diǎn)、，
將、點(diǎn)代入直線的解析式，得
，
解得，
將、點(diǎn)代入直線的解析式，得
，
解得，
；
（3）由題知直線的“順旋轉(zhuǎn)垂線” 與軸，軸的交點(diǎn)分別為，，
，，
，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，即，
連接交軸于，
此時(shí)的值最小，即為，
，
即的值最小為5，
設(shè)直線的解析式為，
代入點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，得
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
即時(shí)，的值最小為5．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正確理解“順旋轉(zhuǎn)垂線”是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·福建南安·八年級期末）如圖1，直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)．
（1）直接寫出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知直線，無論k取何值，它都經(jīng)過第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，分別連結(jié)、，其中交軸于點(diǎn)．
① 求的面積；
② 連接，在直線上是否存在著點(diǎn)，使得？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（0，6）；（2）①；②（，）或（，），理由見解析
解：（1）如圖1，

令，則．
解得，即，
令，則，即．
（2）①，
當(dāng)時(shí)，，
即直線過定點(diǎn)
如圖，設(shè)直線為，
把，代入，得，
解得，
直線為：．
的坐標(biāo)為．
．
②點(diǎn)坐標(biāo)為或．
理由如下：如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，
由①知．
設(shè)直線為，
把代入得：，解得，
直線為．
ⅰ如圖3，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，

．
又直線，且的坐標(biāo)為，
直線為．
由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．
ⅱ在軸上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
如圖3，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
，
由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建一次函數(shù)，確定直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查了學(xué)生計(jì)算能力，難度稍大．
7．（2021·遼寧大連·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），直線AB⊥x軸，直線yx+3經(jīng)過點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 ??；
（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)C，與直線AB交于點(diǎn)D，E是直線AB上一點(diǎn)，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直線OE上運(yùn)動(dòng)，若以P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）（4，2）；（2）或y=-2x+3；（3）P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），直線AB⊥x軸，
∴直線AB的解析式為x=4．
當(dāng)x=4時(shí)，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．
（2）令直線AD與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M，如圖所示．
∵AB⊥x軸，CO⊥x軸，
∴AB//CO，
∴∠MDA=∠DCO．
∵∠MDA=∠CDE，∠OCD=∠ECD，
∴∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE=5．
對于yx+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，m），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，m-5），
∵
∴m1=6，m2=0，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1）或（4，-5）．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+3，
∴1=4k+3或-5=4k+3，
解得：或k=-2，
∴直線l的解析式為：或y=-2x+3．

（3）由（2）可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）或（4，0）
當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）時(shí)，B的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）
∴OE的解析式為，
設(shè)P（a，），Q（b，），
①當(dāng)CB為對角線時(shí)，則CB與PQ互相平分，
∴；解得，
∴P（2，2），
②當(dāng)CQ為對角線時(shí)，則CQ與PB互相平分，
∴；解得，
∴P（-2，4），
③當(dāng)CP為對角線時(shí)，則CP與QB互相平分，
∴；解得，
∴P（5，），
當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，B的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)P（a，），Q（b，0），
①當(dāng)CB為對角線時(shí)，則CB與PQ互相平分，
∴；解得，
∴P（-1，5），
②當(dāng)CQ為對角線時(shí)，則CQ與PB互相平分，
∴；解得，
∴P（1，1），
③當(dāng)CP為對角線時(shí)，則CP與QB互相平分，
∴；解得，
∴P（2，-1），
綜上所述，P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．
8．（2021·遼寧本溪·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求的面積；
（2）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸，軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，若，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)在直線上，坐標(biāo)軸上存在動(dòng)點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）6；（2）或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或
（1）解：∵
∴當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴
（2）設(shè)
由題意得，，，


∴或
∴或
∴或．
（3）如圖，當(dāng)在軸上時(shí)，設(shè)

則 而

解得：

如圖，當(dāng)在軸上時(shí)，設(shè)

同理可得：
解得：

當(dāng)在軸上時(shí)，設(shè)
同理可得：

解得：

綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理的應(yīng)用，清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.
9．（2021·重慶南開中學(xué)八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，D，直線l2與直線平行，交x軸于點(diǎn)B（7，0），交l1于點(diǎn)C．
（1）直線l2的解析式為 　 　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　 　；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在x軸上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），且MN＝2，連接DM，PN，當(dāng)四邊形DMNP周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將OD繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OG，點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線l1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)F，使以G，M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）、、
解：（1）直線l2與直線平行，設(shè)直線l2解析式為，
將B（7，0）代入得：，
解析式為
聯(lián)立直線l1與直線l2得：
，解得
點(diǎn)C的坐標(biāo)為
（2）設(shè)點(diǎn)P，
由得：
解得：，
則點(diǎn)P
由題意可知，
作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E，再將E向右平移兩個(gè)單位，得到點(diǎn)F，連接ME，EF，NF，如下圖：

則，，，
由題意可知：
∴四邊形為平行四邊形
∴
四邊形DMNP周長為
∵定長
∴四邊形DMNP周長最小，即最小，也就是最小
得到：P、N、F三點(diǎn)共線時(shí)最小，設(shè)：所在直線的解析式為
將、代入得
，解得
，令，解得，即
∴
（3），OD繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OG，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：

則，
∴
∴，
G點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
∴
以為邊時(shí)，則，如下圖：

又∵，F(xiàn)是直線l1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
∴點(diǎn)E為直線l1上，即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
點(diǎn)M到點(diǎn)G是向上平移個(gè)單位，再向右平移一個(gè)單位，則將點(diǎn)E向上平移個(gè)單位，再向右平移一個(gè)單位，即得點(diǎn)F，坐標(biāo)為
以為邊時(shí)，如下圖：

由上述可得，點(diǎn)E為直線l1上，即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
點(diǎn)G到點(diǎn)M是向下平移個(gè)單位，再向左平移一個(gè)單位，則將點(diǎn)E向下平移個(gè)單位，再向左平移一個(gè)單位，即得點(diǎn)F，坐標(biāo)為
以為對角線時(shí)，則的中點(diǎn)，設(shè)，
由平行四邊形的性質(zhì)可得：點(diǎn)E、F關(guān)于點(diǎn)N對稱，
則，解得
點(diǎn)F的坐標(biāo)為

綜上所述、點(diǎn)F的坐標(biāo)為、、
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)、平行四邊形等有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·廣東三水·八年級期末）如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)A（﹣10，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y＝﹣x交于點(diǎn)C（a，7）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；
（2）如圖②，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交直線y＝﹣x于點(diǎn)F，交直線y＝kx＋b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣15，0）．
①求△CGF的面積；
②點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，直線l上是否存在點(diǎn)P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接寫出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；
（3）若（2）中的點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m（m＜0），點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m取何值時(shí)，直線l上存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等？請直接寫出相應(yīng)的m的值．

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，7），直線AB的解析式為y=x+10；（2）①；②存在，最大值為；（3）當(dāng)m取-13或-10或-3時(shí)，直線l上存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等．
解：（1）將點(diǎn)C（a，7）代入y=x，可得a=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，7），
將C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得
，解得，
∴直線AB的解析式為y=x+10；
（2）①∵點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣15，0）．
∴當(dāng)時(shí)，y=和y=-15+10=-5，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-15，35），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-15，-5），
∴；
②存在，理由如下：
由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、M、C在一條直線上時(shí)，PM﹣PC的值最大，
令，則y=10，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，10），
∵點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，5），
設(shè)直線MC的解析式為y=ax+5，
將C（-3，7）代入得：7=-3a+5，
解得，，
∴直線MC的解析式為y=x+5，
當(dāng)時(shí)，y=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-15，15），
∴PM﹣PC=CM=；
（3）∵B（0，10），A（-10，0），
∴OA=OB=10，則∠CAO=∠ABO=45°，
分三種情況討論：
①當(dāng)△OAC≌△QCA，如圖：

∴∠CAO=∠QCA=45°，
∴QC⊥OA，即CQ∥軸，
∴CQ經(jīng)過點(diǎn)E，
∴m=-3；
②當(dāng)△ACO≌△ACQ，

∴∠CAO=∠CAQ=45°，
∴QA⊥OA，即QA經(jīng)過點(diǎn)E，
∴即點(diǎn)E、點(diǎn)A重合，
∴m=-10；
③當(dāng)△ACO≌△CAQ，

∴∠CAO=∠ACQ=45°，AO=CQ，
∴CQ∥軸，
∴四邊形AOCQ是平行四邊形，CQ=AO=10，AE=3，
∴m=-13；
綜上，當(dāng)m取-13或-10或-3時(shí)，直線l上存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等．
【點(diǎn)睛】
本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．



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