?專練08 全等三角形與勾股定理（20題）
1．（2021·河南·永城市教育體育局教研室八年級期末）某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學興趣小組在老師的帶領下不用涉水過河就測得河的寬度． 他們是這樣做的（如圖所示）：
①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對（∠ABC = 90°）的一棵樹A；
②沿河岸直走100步有一棵樹C，繼續(xù)前行100步到達D處；
③從D處沿河岸垂直的方向行走，當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走．
（1）只需測量△CDE的哪條邊長，就可以得到河寬AB？
（2）請你證明他們做法的正確性．

【答案】（1）DE；（2）見解析
（1）只需測量△CDE的DE邊長，就可以得到河寬AB；
（2）由題意知：∠ABC =∠EDC = 90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，
在和中，
，


【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握判定性質和定理是解答此題的關鍵.
2．（2021·河北·獻縣教育體育局教研室八年級期末）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結DC．
（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；
（2）證明：DC⊥BE ．
　
【答案】（1）△ABE≌△ACD，證明見解析 （2）見解析
解：（1）△ABE≌△ACD．
證明：∠BAC＝∠EAD＝90°，
∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
又AB＝AC，AE＝AD，
△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，
又∠COE＝∠AOD，
∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°，
則有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，
所以DC⊥BE．
【點睛】
本題考查全等三角形的判定與性質、同角的余角相等、垂直定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．
3．（2021·浙江蓮都·八年級期末）已知：如圖，∠1＝∠2，∠B＝∠AED，BC＝ED．
求證：AB＝AE．

【答案】見解析
證明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
∴∠DAE=∠CAB．
在△DAE和△CAB中，
，
∴△DAE≌△CAB（AAS），
∴AB=AE．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定及性質，證明△DAE≌△CAB是解題的關鍵．
4．（2021·遼寧建昌·八年級期末）如圖，點E在CD上，BC與AE交于點F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．
（1）求證：AE＝CD；
（2）證明：∠1＝∠3．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
（1）證明：∵∠1=∠2，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和中，
∵，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；

（2）由（1）已證，知，△ABE≌△CBD
∴∠A=∠C，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴∠1＝∠3．
【點睛】
本題考查了三角形全等的判定定理與性質、對頂角相等、三角形的內角和定理等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．
5．（2021·吉林鐵西·八年級期末）如圖，，，，，垂足分別為，．
（1）求證：；
（2）若，，請直接寫出的長．

【答案】（1）見解析；（2）5
解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，∴
（2）∵，
∴AD=CE，BE=CD，
∴．
【點睛】
本題考查了全等三角形的性質和判定，垂線的定義等知識點的應用，解答本題的關鍵是得出證明△ACD和△CBE全等的三個條件．
6．（2021·河南·永城市教育體育局教研室八年級期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，連接AE，且BA = AE．
（1）若∠BAE = 30°，求∠C的度數(shù)；
（2）若△ABC的周長為18cm，AC = 7cm，求DC的長．

【答案】（1）37.5°；（2）5.5cm
解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵BA = AE．
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠AEB是△AEC的外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠ABE=∠AEB=2∠C，
∵∠BAE = 30°，∠AEB+∠BAE+∠ABE=180°，
∴2∠C+30°+2∠C=180°，
∴∠C=；
（2）∵AB=AE，AD⊥BE，
∴BD=DE，
∵△ABC周長18cm，AC=7cm，
∴AB+BE+EC=11cm，
即2DE+2EC=11cm，
∴DE+EC=DC=5.5cm．

【點睛】
本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線性質，三角形外角性質的應用，主要考查學生綜合運行性質進行推理和計算的能力，題目比較好，難度適中．
7．（2021·全國·八年級期末）如圖，已知點D，E分別是ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．
（1）求證：ABC是等腰三角形
（2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若，求∠AGC的度數(shù)．

【答案】（1）證明見解析；（2）
（1）證明：∵AF是∠DAC的角平分線
∴∠DAF=∠CAF
又∵
∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴是等腰三角形
（2）∵CG是∠ACE的角平分線
∴∠ACG=∠ECG
又∵，∠ACB=∠B
∴
∴∠ACG=∠ECG=
又∵∠CAG=∠ACB
∴∠AGC=
【點睛】
本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質，角平分線的定義等相關知識點，牢記知識點是解題關鍵．
8．（2021·甘肅省會寧縣教學研究室八年級期末）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M，N兩點，DM與EN相交于點F．

（1）若△CMN的周長為15cm，求AB的長；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）AB的長為15cm；（2）的度數(shù)為．
解：（1）∵DM，EN分別垂直平分AC和BC
∴，
∵△CMN的周長為15cm
∴
∴
∴
AB的長為
（2）由（1）得，
∴，
在中，
∴
根據(jù)對頂角的性質可得：，
在中，
在中，
∴
∴
在中，
∴
∴
【點睛】
本題考查了線段垂直平分線的性質，等邊對等角的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質和整體思想的利用．
9．（2021·全國·八年級期末）已知：等邊ABC中
（1）如圖1，點M是BC的中點，點N在AB邊上，滿足∠AMN=60°，求的值；
（2）如圖2，點M在AB邊上（M為非中點，不與A、B重合），點N在CB的延長線上且∠MNB=∠MCB，求證：AM=BN．

【答案】（1）3；（2）證明見詳解；
解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，

∵點M是BC的中點，
∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠BMN＝30°，∠BNM=90°，
∴BM＝2BN，AB＝2BM，
設BN＝x，則BM＝2x，AB＝4x，
∴AN＝3x，
∴；
（2）證明：如圖2，過點M作MG∥NC交AC于點G，

∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，
∴△AMG為等邊三角形，
∴AM＝AG，
∴BM＝CG，
∵∠AGM＝∠ABC＝60°，
∴∠MGC＝∠NBM＝120°，
∵MG∥BC，
∴∠GMC＝∠MCB，
∵∠MNB＝∠MCB，
∴∠GMC＝∠MNB，
∴△MGC≌△NBM（AAS），
∴MG＝BN，
∵△AMG為等邊三角形，
∴AM＝MG，
∴AM＝BN．
【點睛】
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、含30度角直角三角形的性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線構造全等三角形．
10．（2021·遼寧西豐·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，點D在邊AB上運動（D不與A，B重合）連接CD，將△ABC沿CD翻折得到△A'B'C，A′C交AB于點E，A'B交AC于點F．
（1）求證：△BCE≌△B'CF；
（2）當∠DCA＝15°時，判斷DE與A′E的數(shù)量關系，并加以證明．

【答案】（1）見解析；（2）DE＝A'E，證明見解析
（1）證明：∵將△ABC沿CD翻折得到△A'B'C，
∴∠BCD＝∠B'CD，∠FCD＝∠ECD，∠B＝∠B'，BC＝B'C，
∴∠BCE＝∠FCB'，
在△BCE和△B'CF中，
，
∴△BCE≌△FCB'（ASA）；
（2）解：DE＝A'E．
證明：∵∠A＝30°，∠DCA＝15°，
∴∠EDC＝∠A+∠DCA＝30°+15°＝45°，
∴∠FDC＝∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝90°，
∴∠A'DE＝90°，
∴DE＝A'E．
【點睛】
本題考查了折疊的性質，全等三角形的判定，直角三角形的性質，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
11．（2021·廣東香洲·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．求四邊形ABCD的面積．

【答案】四邊形ABCD的面積為36．
解：連接AC，如圖所示：

∵∠B=90°，
∴△ABC為直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AC==5，
又AD=13，CD=12，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，
則S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB?BC+AC?CD
=×3×4+×12×5
=36．
答：四邊形ABCD的面積為36．
【點睛】
本題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關鍵．
12．（2021·河南南樂·八年級期末）如圖所示，在中，，，，在頂點A處有一點P，在線段上以的速度勻速運動至點C停止，在頂點C處有一點Q，以的速度從點C出發(fā)沿的路線勻速運動，兩點同時出發(fā)，當點Q停止運動時，點P也隨之停止運動．

（1）求的長；
（2）若兩點運動4秒時，求此時的長；
（3）設兩點運動時間為t秒，當是一個等腰直角三角形時，求t的值．
【答案】（1）12cm；（2）13cm；（3）或
解：（1）在中，，AC=9cm，AB=15cm，根據(jù)勾股定理，
（cm），
（2）當兩點運動4秒時，cm，cm，
∴（cm），
在中，根據(jù)勾股定理，
（cm），
（3）當是一個等腰直角三角形時，PC=CQ，
設兩點運動時間為t秒時，，則，
當點Q從點C向點B運動時，，
∴，
解得，
當點Q從點B向點C運動時，，
∴
解得，
即當是一個等腰直角三角形時，t的值是或．
【點睛】
本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質．
13．（2021·河南·八年級期末）已知：如圖，ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CECD，連接DE．

（1）證明：BDE是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求DE的長度．
【答案】（1）見解析；（2）
（1）證明：為等邊三角形，

，
，
，
，
為中線
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：為中線，
，，
，
在中，由勾股定理得：,
．
【點睛】
此題考查了等邊三角形性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質等知識點的應用，解題的關鍵是求出DE=BD和求出BD的長．
14．（2021·遼寧營口·八年級期末）一艘輪船從港向南偏西48°方向航行到達島，再從島沿方向航行到達島，港到航線的最短距離是．
（1）若輪船速度為小時，求輪船從島沿返回港所需的時間．
（2）島在港的什么方向？

【答案】（1）3小時；（2）北偏西
解：（1）由題意可知，AD⊥BC，
在中，，
∴，
，
∵BC＝125km，
，
，
∴（小時），
∴從島返回港所需的時間為3小時；
（2），，
，
，
，
島在港的北偏西．

【點睛】
本題考查了勾股定理的應用，方向角問題，是基礎知識比較簡單．
15．（2021·湖南綏寧·八年級期末）如圖，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經過的路程都是15m，求樹高AB．

【答案】12米
解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
設BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
則10＋a＝x＋b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即（10＋x）2＋a2＝b2，
∴（10＋x）2＋52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12（米）
答：樹高AB為12米．

【點睛】
本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵在于能夠熟練掌握勾股定理．
16．（2021·湖南長沙·八年級期末）在四邊形ABCD中，已知AB=10，BC=6，AD=8，CD＝8且AC⊥BC于點C．

試求：（1）AC的長；
（2）∠BCD的度數(shù)．
【答案】（1）8；（2）135°
解：（1）∵AB=10，BC=6，AC⊥BC，
∴AC=8；
（2）∵AD=8，AC=8，CD=8，
∴CD2=AD2+AC2，
∴∠CAD=90°，
又∵AD=AC=8，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠BCD=90°+45°=135°．
【點睛】
本題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關鍵是掌握勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
17．（2021·安徽巢湖·八年級期末）我們根據(jù)圖形的移、拼、補可以簡單直觀地推理驗證數(shù)學規(guī)律和公式，這種方法稱之為“無字證明”，它比嚴謹?shù)臄?shù)學證明更為優(yōu)雅與有條理．下面是用三塊全等的直角三角形移、拼、補所形成的“無字證明”圖形．
（1）此圖可以用來證明你學過的什么定理？請寫出定理的內容；
（2）已知直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，圖1、圖2的面積相等，請你根據(jù)此圖證明（1）中的定理．

【答案】（1）勾股定理；直角三角形的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為，那么；（2）見解析
解：（1）勾股定理：
直角三角形的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為，那么；
（2）圖1的面積為：，
圖2的面積為，
圖1、圖2的面積相等，
，
．
【點睛】
本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關鍵是表示出圖1和圖2的面積．
18．（2021·貴州威寧·八年級期末）如圖①在中，，，點和點均在邊上，且．
（1）如圖②把繞點順時針旋轉90°至，可使與重合，連接，求證：
（2）試猜想、、應滿足的數(shù)量關系，并寫出推理過程．

【答案】（1）見詳解；（2）DE2＝CE2＋BD2，理由見詳解
解：（1）由旋轉可知，△ABD≌△ACG，
∴AD＝AG，∠CAG=∠BAD，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠EAG＝∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°，
在△DAE和△GAE中，
，
∴△DAE≌△GAE（SAS）；
（2）由△DAE≌△GAE，
∴BD＝EG，
由旋轉，BD＝CG，∠ACG＝∠B=45°，
∴∠ECG＝∠ACG+∠ACB=90°，
在Rt△CEG中，EG2＝EC2＋CG2，
∴DE2＝CE2＋BD2．
【點睛】
本題考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質、三角形全等的判定與性質，熟練應用勾股定理是解題的關鍵．
19．（2021·河南洛陽·八年級期末）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示的直線上建一座圖書室．本社區(qū)有兩所學校，所在的位置為點和點處，于點，于點．已知，，，要求圖書室到兩所學校的距離相等．
（1）在圖中作出點；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求出圖書室到點的距離；
（3）連接，，，則的形狀是　　三角形．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）等腰直角
解：（1）如圖所示，點即為所求；

（2）設，則，
，
，
解得：，
圖書室到點的距離為；
（3）由（2）知，，，且已知，，
在與中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角．
【點睛】
本題主要考查作圖應用設計作圖，解題的關鍵是熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖及其性質、勾股定理．
20．（2021·云南曲靖·八年級期末）2021年4月29日，在我國海南文昌航天發(fā)射場，長征五號B遙二運載火箭搭載“天和”核心艙發(fā)射升空，開啟了星辰大海的全新征程，火箭在上升階段需要地面雷達觀測站的實時觀測．如圖，火箭從地面處發(fā)射，當火箭到達點時，從地面處的雷達站測得的距離是，；當火箭到達點時，測得，求火箭從點上升到點的高度．（結果保留根號）

【答案】火箭從到上升的高度為．
解：在中，km，，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴，
∴km，
∴．
答：火箭從到上升的高度為．
【點睛】
本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．



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