章末綜合測(cè)評(píng)(三)　函數(shù)的概念與性質(zhì)(滿分：150分　時(shí)間：120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是(　　 )A．y＝x－1和y＝B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝和g(x)＝D　[A、B中兩函數(shù)的定義域不同；C中兩函數(shù)的解析式不同．]2．函數(shù)f(x)＝＋的定義域是(　　 )A．[－1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．RC　[要使函數(shù)有意義，需滿足即x≥－1且x≠0.]3．已知f(x)＝則f(3)＝(　　 )A．7　　　 B．2C．10   D．12D　[∵3>1，∴f(3)＝32＋3＝12.]4．已知f(x)＝x3＋2x，則f(a)＋f(－a)＝(　　 )A．0   B．－1C．1   D．2A　[f(x)＝x3＋2x是R上的奇函數(shù)，故f(－a)＝－f(a)，∴f(a)＋f(－a)＝0.]5．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為(　　)A．y＝x＋1   B．y＝x3C．y＝－   D．y＝x4B　[對(duì)于A，y＝x＋1為其定義域上的增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，排除A；對(duì)于C，y＝－為奇函數(shù)，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分別為增函數(shù)，不是整個(gè)定義域上的增函數(shù)，排除C；對(duì)于D，y＝x4為偶函數(shù)，排除D，選B.]6．已知函數(shù)f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，則函數(shù)f(x)的值域是(　　 )A．[－4，＋∞)   B．[－3,5]C．[－4,5]   D．(－4,5]C　[由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取到最小值－4，當(dāng)x＝5時(shí)，f(x)取得最大值5，故值域?yàn)?/span>[－4,5]．]7．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不為零)，且f(5)＝10，則f(－5)等于(　　 )A．－10   B．－2C．－6   D．14B　[∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，∴125a＋5b＝6，∴f(－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2.]8．已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C　[∵f(x)＝由函數(shù)圖象(圖略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－2<a<1.]9．函數(shù)y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　 )A.   B．[6＋，＋∞)C．[6，＋∞)   D．[，＋∞)B　[∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函數(shù)，∴ymin＝3×2＋＝6＋.∴y＝3x＋(x≥2)的值域?yàn)?/span>[6＋，＋∞)．]10．已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 )A．a≤2或a≥3   B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2   D．－3≤a≤－2A　[y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，由已知得，a≤2或a≥3.]11．如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　 )A．f(2)<f(1)<f(4)   B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(4)<f(2)<f(1)   D．f(2)<f(4)<f(1)A　[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得f(2)<f(1)<f(4)．]12．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4等于(　　 )A．－6   B．6C．－8   D．8C　[由f(x－4)＝－f(x)?f(4－x)＝f(x)?函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱．又函數(shù)f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，故f(0)＝0，故函數(shù)f(x)在(0,2]上大于0.根據(jù)對(duì)稱性知函數(shù)f(x)在[2,4)上大于0，同理推知f(x)在(4,8)上小于0，故在區(qū)間(0,8)上方程f(x)＝m(m>0)的兩根關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故此兩根之和等于4.f(－6＋x)＝f[(x－2)－4]＝－f(x－2)＝－f[(x＋2)－4]＝f(x＋2)＝f[(6＋x)－4]＝－f(6＋x)＝f(－6－x)．∴f(x)關(guān)于直線x＝－6對(duì)稱．此兩根之和等于－12.綜上，四個(gè)根之和等于－8.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知函數(shù)f(x)＝則f(－3)＝________.3　[∵－3<0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，∵1>0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]14．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f>f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．(－∞，0)∪(1，＋∞)　[∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴<1，解得x>1或x<0.]15．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式是________．f(x)＝　[設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax＋b，利用待定系數(shù)法求解．]16．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(b－3)x＋3，x∈[a2－2，a]是偶函數(shù)，則a＋b＝________.4　[因?yàn)?/span>f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以∴a＝1，b＝3，∴a＋b＝4.]三、解答題(本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知直角三角形ABC的面積是y，AB⊥AC且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出函數(shù)的定義域．[解]　由于△ABC是直角三角形，則有y＝|AB|·|AC|＝(x－1)(x＋1)＝x2－，由題意得解得x>1.所以函數(shù)的定義域是(1，＋∞)．18．(本小題滿分12分)若f(x)對(duì)x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．[解]　2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①將①中的x換為－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②①②聯(lián)立，得把f(x)與f(－x)看成未知數(shù)解得f(x)＝x＋1.19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，(1)證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)，然后畫出函數(shù)圖象；(3)寫出函數(shù)的值域．[解]　(1)由于函數(shù)定義域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．(2)f(x)＝圖象如圖所示：(3)由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域?yàn)?/span>[2，＋∞)．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值．[解]　(1)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝.∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在[1,4]上是增函數(shù)．最大值為f(4)＝＝，最小值為f(1)＝＝.21．(本小題滿分12分)大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，根據(jù)實(shí)測(cè)的結(jié)果上升到12 km為止溫度的降低大體上與升高的距離成正比，在12 km以上溫度一定，保持在－55 ℃.(1)當(dāng)?shù)厍虮砻娲髿獾臏囟仁?/span>a ℃時(shí)，在x km的上空為y ℃，求a、x、y間的函數(shù)關(guān)系式；(2)問當(dāng)?shù)乇淼臏囟仁?/span>29 ℃時(shí)，3 km上空的溫度是多少？[解]　(1)由題設(shè)知，可設(shè)y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.依題意，當(dāng)x＝12時(shí)，y＝－55，∴－55＝a＋12k，解得k＝－.∴當(dāng)0≤x≤12時(shí)，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12)．又當(dāng)x＞12時(shí)，y＝－55.∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝(2)當(dāng)a＝29，x＝3時(shí)，y＝29－(55＋29)＝8，即3 km上空的溫度為8 ℃.22．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>U＝{x|x∈R且x>0}，且滿足條件f(4)＝1.對(duì)任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x1≠x2時(shí)，有>0.(1)求f(1)的值；(2)如果f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范圍．[解]　(1)因?yàn)閷?duì)任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)設(shè)0<x1<x2，則x2－x1>0.又因?yàn)楫?dāng)x1≠x2時(shí)，>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)．令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2.當(dāng)即x>0時(shí)，原不等式可化為f[x(x＋6)]>f(16)．又因?yàn)?/span>f(x)在定義域上為增函數(shù)，所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.又因?yàn)?/span>x>0，所以x>2.所以x的取值范圍為(2，＋∞)． 

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本章綜合與測(cè)試

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