第2課時(shí)　充要條件學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解充要條件的概念．(難點(diǎn))2．能夠判定條件的充分、必要、充要性．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3．會進(jìn)行簡單的充要條件的證明．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過充要條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．通過充分、必要、充要性的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).主人邀請張三、李四、王五三個(gè)人吃飯，時(shí)間到了，只有張三、李四準(zhǔn)時(shí)赴約，王五打電話說：“臨時(shí)有急事，不能去了．”主人聽了，隨口說了句：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．問題　請你用邏輯學(xué)原理解釋二人離去的原因．知識點(diǎn)　充要條件1．充要條件的概念一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時(shí)，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．2．充要條件的判斷概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．(1)如果p?q且qp，則稱p是q的充分不必要條件．(2)如果pq且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．(3)如果pq且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說法對嗎？(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？[提示]　(1)正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價(jià)于q.(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論．②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．充要條件的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若p是r的充要條件，r是s的充要條件，則s是p的充要條件．  (　　)(2)設(shè)x∈R，則x＞1是x3＞1的充要條件． (　　)(3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要條件是x≥3. (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2.設(shè)x∈R，則x>2的一個(gè)必要不充分條件是(　　)A．x>1　　　　　　　　 B．x<1C．x>3 D．x<3A　[∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴選A．]3.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，則A∩B＝?的充要條件是________．0≤a≤2　[A∩B＝???0≤a≤2.] 類型1　充要條件的判斷【例1】　(對接教材P34例3)下列各題中，p是q的什么條件？(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(3)p：x>5，q：x>10；(4)p：a>b，q：a2>b2.[解]　命題(1)中，p?q，但qp，故p是q的充分不必要條件；命題(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要條件；命題(3)中，pq，但q?p，故p是q的必要不充分條件；命題(4)中，pq，且qp，故p既不是q的充分條件也不是必要條件．充要條件判斷2種方法(1)要判斷一個(gè)條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即判斷兩個(gè)命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真．(2)在判斷的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來判斷，判斷p與q的解集是相同的，判斷前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論．提醒：判斷時(shí)一定要注意，分清充分性與必要性的判斷方向．1．在下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有(　　)①設(shè)x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分條件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件；③“a2>b2”是“a>b的充分不必要條件”；④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件．A．①②　　　B．③④　　　C．①④　　　D．②③C　[對于結(jié)論①，∵x＞2?x＞1，但x>1 x＞2，故①正確；對于結(jié)論④，由a2＋b2≠0?a，b不全為0，反之，由a，b不全為0?a2＋b2≠0，故④正確．] 類型2　充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用1．記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則集合A，B的關(guān)系是什么？若p是q的必要不充分條件呢？[提示]　若p是q的充分不必要條件，則AB；若p是q的必要不充分條件，則BA．2．記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的什么條件？若N?M，M＝N呢？[提示]　若M?N，則p是q的充分條件；若N?M，則p是q的必要條件；若M＝N，則p是q的充要條件．【例2】　已知命題p：－2≤x≤10，命題q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．[思路點(diǎn)撥]　→→[9，＋∞)　[因?yàn)?/span>p是q的充分不必要條件，所以p?q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)．]利用充分、必要、充要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍(1)化簡p，q兩命題．(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．(3)利用集合間的關(guān)系建立不等式(組)．(4)求解參數(shù)范圍．2．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]　因?yàn)?/span>“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，所以Q?P.所以解得－1≤a≤5，即a的取值范圍是[－1,5]． 類型3　有關(guān)充要條件的證明或求解【例3】　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明]　假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個(gè)根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.將本例的條件“有一個(gè)根為1”改為“有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”，“a＋b＋c＝0”改為“ac＜0”，如何證明？[證明]　因?yàn)?/span>ac＜0，所以Δ＝b2－4ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0中有兩個(gè)不等實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為＜0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以ac＜0?方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．因?yàn)榉匠?/span>ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個(gè)根的積為＜0，所以ac＜0.所以方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根?ac＜0，從而ac＜0?方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，因此ac＜0是方程(※)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．充要條件的證明要分充分性、必要性兩個(gè)方面分別證明，注意證明方向不要反了?易錯(cuò)點(diǎn)?.1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的(　　)A．充要條件　　 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 A　[當(dāng)x＝1時(shí)，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要條件. ]2．設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足|a|＞|b|，則“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件 C　[由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0；由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要條件．]3．如果A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B　[根據(jù)題意得，AB，B?A，B?C，D?C，CD，所以D?C?B?A，即D?A，可從集合的角度考慮得出AD，所以A是D的必要不充分條件．]4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x,1－x)在第一象限的充要條件是________．0＜x＜1　[由題意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1．]5．若“x＞a”是“x＞6”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(－∞，6]　[由“x＞a”是“x＞6”的必要條件，知a≤6，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，6]．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．如何從命題角度判斷p是q的充分必要條件？[提示]　(1)原理：判斷p是q的充分必要條件，主要是判斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立．(2)方法：①若p?q成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；②若q?p成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；③若二者都成立，則p與q互為充要條件．2．如何從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件？[提示]　若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

1.2.3 充分條件、必要條件

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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