離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望
【答案】x1p1＋x2p2＋…＋xnpn加權(quán)平均數(shù)　平均水平
【預習自測】思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)隨機變量X的數(shù)學期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化．(　　)(2)隨機變量的均值與樣本的平均值相同．(　　)(3)隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平．(　　)【答案】(1)×　(2)×　(3)√
一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝__________.【答案】aE(X)＋b
離散型隨機變量的均值的性質(zhì)
【預習自測】設E(X)＝5，則E(2X＋3)＝________.【答案】13【解析】E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×5＋3＝13.
袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設取到一只紅球得2分，取得一只黑球得1分，試求得分X的均值．素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學運算素養(yǎng)．
題型1　利用定義求離散型隨機變量的均值
求離散型隨機變量均值的步驟求離散型隨機變量均值的關鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計算出P(X＝k)；(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的公式進行計算．
題型2　離散型隨機變量均值的性質(zhì)
【例題遷移1】　(改變問法)本例條件不變，若Y＝2X－3, 求E(Y)．
與離散型隨機變量性質(zhì)有關問題的解題思路若給出的隨機變量ξ與X的關系為ξ＝aX＋b(a，b為常數(shù))，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)；也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，解題關鍵是由X的取值計算ξ的取值(對應的概率相等)，再由定義法求得E(ξ)．
題型3　均值的實際應用
(1)求事件A“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y)．素養(yǎng)點睛：考查數(shù)學建模素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng)．
實際問題中的均值問題均值在實際中有著廣泛的應用，如在體育比賽的安排和成績預測、消費預測、工程方案的預測、產(chǎn)品合格率的預測、投資收益等，都可以通過隨機變量的均值來進行估計．概率模型的解答步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些．(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值．(3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論．
3．某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：
若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務．無雨時收益為20萬元；有雨時收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；(2)該基地是否應該外聘工人，請說明理由．
解：(1)設下周一無雨的概率為p，由題意知p2＝0.36，解得p＝0.6，則下周一有雨的概率為1－p＝1－0.6＝0.4.基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為
基地的預期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(萬元)．(2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，則其預期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(萬元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a.綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以．
某市教育局為了了解高三學生體育達標情況，在某學校的高三學生體育達標成績中隨機抽取100個進行調(diào)研，按成績分組：第1組[75,80)，第2組[80,85)，第3組[85,90)，第4組[90,95)，第5組[95,100]．得到的頻率分布直方圖如圖，若要在成績較高的第3,4,5組中用分層隨機抽樣抽取6名學生進行復查．
規(guī)范答題樣板　數(shù)學期望實際應用問題答題樣板
(1)已知學生甲和學生乙的成績均在第4組，求學生甲和學生乙至少有一人被選中復查的概率；(2)在已抽取到的6名學生中隨機抽取3名學生接受籃球項目的考核，設第3組中有ξ名學生接受籃球項目的考核，求ξ的分布列和數(shù)學期望．
【解題思路探究】第一步，審題，審條件挖解題信息：由頻率分布直方圖可得各組人數(shù)，按分層隨機抽樣可得第3、4、5組抽取人數(shù)．審結(jié)論，明確探究方向：“學生甲和學生乙至少有一人被選中復查”這一事件是在第4組抽取的學生m個人中，從甲、乙兩人中選1人，在其余(m－2)人中選1人，或者甲、乙兩人都進入復查；“求ξ的分布列和數(shù)學期望”需弄清ξ的取值情況及對應概率，在進入復查的6人中第3組有3人，隨機抽取的3人中可包含第三組人，也可不包含．
【點評】本題主要考查了隨機變量的分布列、數(shù)學期望等概念及相關計算，考查了運用所學知識解決問題的能力，解題時要注意解題步驟的規(guī)范.
1．求離散型隨機變量均值的步驟：(1)確定離散型隨機變量X的取值；(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式求出均值．2．設p為一次試驗中成功的概率，則兩點分布的均值E(X)＝p.3．若X，Y是兩個隨機變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b.
4．隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)ξ的均值為______．
5．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n(n＝1,2,3,4)個．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號．(1)求ξ的分布列、均值；(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．

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7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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