課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十四）  雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知m，n∈R，則“mn＜0”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件解析：選C　方程＋＝1表示雙曲線，必有mn＜0；當(dāng)mn＜0時(shí)，方程＋＝1表示雙曲線，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充要條件．2．已知雙曲線－＝1上的點(diǎn)P到(5,0)的距離為15，則點(diǎn)P到點(diǎn)(－5,0)的距離為(　　)A．7  B．23C．5或25  D．7或23解析：選D　設(shè)F1(－5,0)，F2(5,0)，則由雙曲線的定義知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23.3．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F2分別為(，0)和(－，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為1，則雙曲線的方程為(　　)A．－＝1   B．－＝1C．－y2＝1  D．x2－＝1解析：選C　由?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故選C.4．雙曲線－y2＝1(n>1)的兩焦點(diǎn)為F1，F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為(　　)A．  B．1C．2  D．4解析：選B　不妨設(shè)F1，F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)，|PF1|－|PF2|＝2，         ①|PF1|＋|PF2|＝2，         ②由①②解得：|PF1|＝＋，|PF2|＝－，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，又由①②分別平方后作差得：|PF1||PF2|＝2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1.5．已知雙曲線過點(diǎn)P1和P2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．－＝1　　　　　　　　 B．－＝1C．－＝1   D．－＝1解析：選B　因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，所以設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)．因?yàn)?/span>P1，P2兩點(diǎn)在雙曲線上，所以解得于是所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.6．設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝________.解析：由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線－＝1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線的方程是________．解析：由題意可設(shè)雙曲線方程為－＝1，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P(，4)，∴－＝1，解得a2＝1，∴該雙曲線的方程是x2－＝1.答案：x2－＝18．若橢圓＋＝1和雙曲線x2－＝1有相同的焦點(diǎn)F1，F2，點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|2＋|PF2|2的值是________. 解析：因?yàn)闄E圓＋＝1和雙曲線x2－＝1有相同的焦點(diǎn)F1，F2，設(shè)P在雙曲線的右支上，利用橢圓以及雙曲線的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2×4＝8，????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ①|PF1|－|PF2|＝2×1＝2，         ②聯(lián)立①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3.所以|PF1|2＋|PF2|2＝34.答案：349．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a＝2，經(jīng)過點(diǎn)A(2，－5)，焦點(diǎn)在y軸上；(2)與橢圓＋＝1有共同的焦點(diǎn)，它們的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.解：(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)．由題設(shè)知，a＝2，且點(diǎn)A(2，－5)在雙曲線上，所以解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.(2)橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，－3)，F2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(，4)(或(－，4))．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，則解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.10．△ABC的一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另兩邊的斜率之積等于m(m≠0)．求頂點(diǎn)A的軌跡方程，并且根據(jù)m的取值情況討論軌跡的圖形．解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則kAB＝，kAC＝.由題意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．當(dāng)m>0時(shí)，軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))；當(dāng)m<0且m≠－1時(shí)，軌跡是中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))，其中當(dāng)－1<m<0時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m<－1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝－1時(shí)，軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓(除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn))．1．若橢圓＋＝1(m＞n＞0)和雙曲線－＝1(s，t＞0)有相同的焦點(diǎn)F1和F2，而P是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是(　　)A．m－s   B．(m－s)C．m2－s2   D．－解析：選A　如圖所示，設(shè)|PF1|＝x，|PF2|＝y，則∴4xy＝4(m－s)．∴xy＝m－s.2．[多選]關(guān)于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，m∈R所表示的曲線C的形狀，下列說法正確的是(　　)A．?m∈(1,3)，曲線C為一個(gè)橢圓B．?m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，曲線C是雙曲線C．?m∈R，曲線C一定不是直線D．?m∈(1,3)使曲線C不是橢圓解析：選BD　對(duì)于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，①當(dāng)m＝1時(shí)，方程為2y2＝0，即y＝0，表示x軸；②當(dāng)m＝3時(shí)，方程為2x2＝0，即x＝0，表示y軸；③當(dāng)m≠1，且m≠3時(shí)，方程為＋＝1，若3－m＝m－1，即m＝2，則方程為x2＋y2＝1，表示一個(gè)單位圓；若(3－m)(m－1)<0，即m>3或m<1，則方程表示雙曲線；若(3－m)(m－1)>0且3－m≠m－1，即1<m<3，且m≠2，則方程表示橢圓．綜上可得，當(dāng)m＝1或m＝3時(shí)，方程表示直線；當(dāng)m＝2時(shí)，方程表示圓；當(dāng)1<m<3且m≠2時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)m>3或m<1時(shí)，方程表示雙曲線．結(jié)合選項(xiàng)可知選B、D.3．若F1，F2是雙曲線C：x2－＝1(y≠0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，若|PF1|＝6，則|PF2|＝______，△PF1F2的面積S△PF1F2＝_______. 解析：根據(jù)雙曲線的定義，若|PF1|＝6，則||PF1|－|PF2||＝2a＝2?|PF2|＝4或8，因?yàn)?/span>y≠0，而只有當(dāng)P點(diǎn)落在x軸上時(shí)才會(huì)有|PF2|＝4，故舍掉．所以|PF2|＝8.因?yàn)槿切?/span>PF1F2是直角三角形，故S△PF1F2＝×6×8＝24.答案：8　244．A，B，C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B，C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4 s后，B，C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方向角．解： 如圖，以直線BA為x軸，線段BA的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2). 由題意知|PB|＝|PC|，所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上．設(shè)敵炮陣地的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)?/span>kBC＝－，BC中點(diǎn)D(－4，)，所以直線lPD：y－＝(x＋4)．          ①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上．則雙曲線方程為－＝1(x≥2)．          ②聯(lián)立①②兩式，得x＝8，y＝5，所以P的坐標(biāo)為(8,5)．因此kPA＝＝. 故炮擊的方向角為北偏東30°.5.已知雙曲線的方程為x2－＝1，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－，0)，B是圓x2＋(y－)2＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0)，則點(diǎn)A，D是雙曲線的焦點(diǎn)，由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圓x2＋(y－)2＝1上的點(diǎn)，圓的圓心為C(0，)，半徑為1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，從而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，當(dāng)點(diǎn)M，B在線段CD上時(shí)不等式取等號(hào)，即|MA|＋|MB|的最小值為＋1.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.2 雙曲線

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