第二十八章 銳角三角函數(shù) 綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1．【2022·長(zhǎng)春】如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C.設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．sin α＝  B．sin α＝  C．sin α＝  D．sin α＝            (第1題)　　　 (第2題)　　　 (第4題)2．【2022·玉林】如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(　　)A．∠BAD  B．∠ACB  C．∠BAC  D．∠DAC3．利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算cos 50°，按鍵順序正確的是(　　)A.      B.     C.     D.     4．【2021·宜昌】如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠ABC的值為(　　)A.  B.  C.  D.5．市防控辦準(zhǔn)備制作一批如圖所示的核酸檢測(cè)點(diǎn)指示牌，若指示牌的傾斜角為α，鉛直高度為h，則指示牌的邊AB的長(zhǎng)等于(　　)A．h sin α  B.   C．h cos α  D.6．若銳角α滿足cos α<且tan α<，則α的取值范圍是(　　)A．30°<α<45°  B．45°<α<60°C．60°<α<90°  D．30°<α<60°7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AC＝6，∠C＝45°，tan B＝3，則BD等于(　　)A．2  B．3  C．3  D．2         (第7題)　   　 (第8題)   　　 (第9題)8．【教材P77練習(xí)T2變式】雪上項(xiàng)目占據(jù)了2022年北京冬奧會(huì)的大部分比賽項(xiàng)目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳臺(tái)滑雪、無(wú)舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如圖，某滑雪運(yùn)動(dòng)員在坡度為5：12的雪道上下滑65 m，則該滑雪運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向下降的高度為(　　)A．13 m  B．25 m  C.m  D．156 m9．【教材P85復(fù)習(xí)題T11變式】【2022·宜賓】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3.將△BCD折疊到△BED的位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為(　　)A.  B.  C.  D.10．【教材P77練習(xí)T1變式】如圖，點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為100 m，要測(cè)量河對(duì)岸B點(diǎn)到河岸AD的距離．小明在A點(diǎn)測(cè)得B在北偏東60°的方向上，在C點(diǎn)測(cè)得B在北偏東30°的方向上，則B點(diǎn)到河岸AD的距離為(　　)A．100 m  B．200 m    C. m  D．50 m二、填空題(每題3分，共24分)11．若sin θ＝，則銳角θ的度數(shù)是________．12．【教材P84復(fù)習(xí)題T2改編】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，cos A＝，則AC＝________．13．如圖，P(12，a)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，PH⊥x軸于點(diǎn)H，則cos∠POH的值為________．          (第13題)　　　 (第14題)　　　 (第15題)14．桔槔是我國(guó)古代井上汲水的工具．它是在井旁架上設(shè)一杠桿，杠桿上竹竿一端A處系繩子，繩子另一端懸綁汲器，竹竿另一端B處綁石塊等重物，用不大的力量即可將灌滿水的汲器提起，桔槔的使用體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖是《天工開(kāi)物·水利》中的桔槔圖，若竹竿A，B兩處的距離為10 m，當(dāng)汲器伸到井口時(shí)，繩子受重力作用垂直于水平面，此時(shí)竹竿AB與繩子的夾角為53°，則綁重物的B端與懸綁汲器的繩子之間的距離約是________m(忽略提水時(shí)竹竿產(chǎn)生的形變．參考數(shù)據(jù)：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)．15．【2022·通遼】如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝________．16．【教材P75例4改編】如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90 m，那么該建筑物的高度BC約為____________m(結(jié)果精確到1 m)．       (第16題)　    　 (第17題)  　　 (第18題)17．【2021·海南】如圖，△ABC的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是____________．18．【2022·涼山州】如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tan α的值為________．三、解答題(19～22題每題10分，其余每題13分，共66分)19．【教材P84復(fù)習(xí)題T3改編】計(jì)算：(1)【2022·張家界】2cos 45°＋(π－3.14)0＋|1－|＋；     (2)sin2 45°－cos 60°－＋2sin2 60°·tan 60°.      20．【教材P84復(fù)習(xí)題T1變式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦值、余弦值和正切值．      21．【教材P81活動(dòng)2變式】【2022·荊州】荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門(mén)外，如圖①②，某校學(xué)生測(cè)量其高AB(含底座)，先在點(diǎn)C處用測(cè)角儀測(cè)得其頂端A的仰角為32°，再由點(diǎn)C向城徽走6.6 m到E處，測(cè)得頂端A的仰角為45°.已知B，E，C三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)角儀離地面的高度CD＝EF＝1.5 m，求城徽的高AB(參考數(shù)據(jù)：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625)．    22．2021年3月1日，我國(guó)第一部流域保護(hù)法——《中華人民共和國(guó)長(zhǎng)江保護(hù)法》正式實(shí)施．作為我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要引擎，長(zhǎng)期以來(lái)，生態(tài)保護(hù)為發(fā)展讓路一直是長(zhǎng)江流域生態(tài)環(huán)境保護(hù)工作的痛點(diǎn)，長(zhǎng)江保護(hù)法最大的特點(diǎn)就是將“生態(tài)優(yōu)先、綠色發(fā)展”的國(guó)家戰(zhàn)略寫(xiě)入法律．如圖，已知漁政執(zhí)法船某一時(shí)刻在長(zhǎng)江流域巡航時(shí)，在A處觀測(cè)到碼頭C位于漁政執(zhí)法船的南偏東37°方向上，從A出發(fā)以30 km/h的速度向正南方向行駛，2 h到達(dá)B處，這時(shí)觀測(cè)到碼頭C位于漁政執(zhí)法船的北偏東45°方向上．若此時(shí)漁政執(zhí)法船返回碼頭C，大約需要多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到0.1 h，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)?    23．【2022·玉林】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點(diǎn)，AD平分∠CAB，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．  24．【教材P85復(fù)習(xí)題T14拓展】【2022·張家界】閱讀下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證：＝.證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則：在Rt△BCD中，CD＝a sin B；在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A.∴＝根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：(1)如圖②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證：＝.(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖③，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求這片區(qū)域的面積(結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)．
答案一、1.D　2.D　3.A　4.B　5.B　6. B　點(diǎn)規(guī)律：對(duì)于銳角α ，cos α隨著α的增大而減小，tan α隨著α的增大而增大．7．A　8.B　9.C　10.D二、11.60°　12.5　13.　14.8　15.－1　16．208　17.(4，)　18.   點(diǎn)思路：易知∠A＝α，∠B＝β，從而可得∠A＝∠B. 易證△AOC∽△BCD，從而列出比例式求出OC的長(zhǎng)，最后根據(jù)正切的定義得解．三、19.解：(1)原式＝2×＋1＋－1＋2＝＋1＋－1＋2＝2＋2；(2)原式＝()2－－＋2×()2×＝－－＋2××＝－＝.20．解：由2a＝3b，可得＝.設(shè)a＝3k(k＞0)，則b＝2k，由勾股定理，得c＝＝＝k，∴sin B＝＝＝，cos B＝＝＝，tan B＝＝＝.21．解：如圖，延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，則∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6 m，CD＝EF＝BG＝1.5 m.設(shè)FG＝x m，∴DG＝FG＋DF＝(x＋6.6)m.在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，∴AG＝FG·tan 45°＝x m.在Rt△AGD中，∠ADG＝32°，∴tan 32°＝＝≈0.625，解得x≈11.經(jīng)檢驗(yàn)，x≈11是原方程的根．∴AB＝AG＋BG≈11＋1.5＝12.5(m)．答：城徽的高AB約為12.5 m.22．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.由題意得AB＝30×2＝60(km)，∠A＝37°，∠B＝45°.設(shè)BD＝x km.在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∠BDC＝90°，∴CD＝BD＝x km，BC＝x km.在Rt△ACD中，∵∠A＝37°，∠ADC＝90°，∴AD＝≈ km.∵AD＋BD＝AB，∴x＋x≈60，解得x≈.∴BC≈×≈36.26(km)．∴36.26÷30≈1.2(h)．答：漁政執(zhí)法船返回碼頭C，大約需要1.2 h.23．(1)證明：如圖，連接OD.∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°.∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠ODA＝∠EAD.∴OD∥AE.∴∠ODF＝∠AEF＝90°.又∵D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線．(2)解：如圖，連接BC，交OD于點(diǎn)H.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8.∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF.∴∠OHB＝∠ODF＝90°.∴OD⊥BC.∴CH＝BC＝4.∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3.∴DH＝OD－OH＝AB－OH＝5－3＝2.∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形．∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2.∴AE＝6＋2＝8.∵∠DAB＝∠DAE，∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝.24．(1)證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，AD＝csin B；在Rt△ACD中，AD＝bsin C，∴csin B＝bsin C.∴＝.(2)解：如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×＝40(m)．∵＝，∴BC＝≈＝90(m)．∴S△ABC＝BC·AE≈×90×40＝1 800(m2)．∴這片區(qū)域的面積大約是1 800 m2.
 

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