1.1周期性北師大版（   2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）設(shè)的定義域?yàn)?/span>，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則(    )A.  B.  C.  D. 不確定已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則(    )A.  B.  C.  D. 已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，且與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則(    )A. 是奇函數(shù) B. 是偶函數(shù)
C. 是一個(gè)周期 D. 關(guān)于直線對(duì)稱定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且若，則．(    )A.  B.  C.  D. 已知是定義在上的奇函數(shù)，，恒有，且當(dāng)時(shí)，，則(    )A.  B.  C.  D. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則(    )A. 是偶函數(shù) B.
C.  D. 已知是定義域在上的奇函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C.
D. 若，則已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足，若，則(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）已知定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
D. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是(    )A. 是偶函數(shù) B. 是周期函數(shù)
C.  D. 時(shí)，已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，且，都有，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 是奇函數(shù) B.
C. 的圖像關(guān)于對(duì)稱 D. 已知是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則          ．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則             ．奇函數(shù)定義域?yàn)?/span>，且函數(shù)為偶函數(shù)，若，則          ．已知函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，若，則滿足的所有取值的和為          ． 四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分已知定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．試給出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)，并加以證明；若，，寫出的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間．本小題分如圖放置的邊長(zhǎng)為的正方形沿軸滾動(dòng)設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是，畫(huà)出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并討論是否為周期函數(shù)如果是，指出周期如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．說(shuō)明：“正方形沿軸滾動(dòng)”包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動(dòng)沿軸正方向滾動(dòng)是先以頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)類似地，正方形可以沿軸負(fù)方向滾動(dòng)．本小題分已知是定義在上且滿足的函數(shù)．如果時(shí)，有，求的值；如果時(shí)，有，若，求的取值范圍；如果在上的值域?yàn)?/span>，求在的值域．本小題分
已知，且，則，得的一個(gè)周期為，類比上述結(jié)論，請(qǐng)寫出下列兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期：已知為正常數(shù)，，且，求的一個(gè)周期；已知為正常數(shù)，，且，求的一個(gè)周期．本小題分定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，求的值．本小題分設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，求的解析式；計(jì)算．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．【解答】解：因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，
因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，
由，得，則，
所以，則，即的周期為，
所以，，
由，當(dāng)時(shí)，得，
當(dāng)時(shí)，，則，
由，當(dāng)時(shí)，得，

．  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性以及周期性．
由題意得函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，即可得解．【解答】解：由于為偶函數(shù)，則滿足，則有，
又由為上的奇函數(shù)，則，
則有，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
則，
故選：．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性，屬于中檔題．
利用函數(shù)的奇偶性定義可判斷；利用奇函數(shù)定義及周期函數(shù)的定義可判斷利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性可判斷．【解答】解：對(duì)于，根據(jù)題意，是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，，
則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，，則關(guān)于對(duì)稱，
又與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
故是奇函數(shù)，故A正確．
對(duì)于，是奇函數(shù)，且與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，則，
關(guān)于對(duì)稱，故，可得，聯(lián)立得，
故，可得，故，
函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由題意可得出是函數(shù)的周期，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?/span>是函數(shù)的周期，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
所以是的對(duì)稱中心，關(guān)于軸對(duì)稱為為的對(duì)稱中心，故D錯(cuò)誤；  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，主要考查了偶函數(shù)定義的應(yīng)用，函數(shù)周期性定義的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
利用已知的恒等式結(jié)合賦值法，求出函數(shù)的周期性，結(jié)合為偶函數(shù)，利用賦值法求出的值，然后由周期性，將轉(zhuǎn)化為，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，則，
因?yàn)?/span>，則，
可得，，則，
故函數(shù)的周期為，
在中，令，則，
在中，令，則，即，
又，所以，
所以．
故選：．  5.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．
依題意，得是周期為的周期函數(shù)，由已知條件和奇函數(shù)的性質(zhì)求得，，，，利用函數(shù)的周期性即可求得結(jié)果．【解答】解：，
，
是周期為的周期函數(shù)，
是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
，，，，
，
又是周期為的周期函數(shù)，

．
故選C．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，以及函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用，屬中檔題．
根據(jù)題意，得出函數(shù)的周期，進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
由奇函數(shù)條件得，
由偶函數(shù)條件得，所以，
，可推出
則，即周期為，不正確
另一方面，即，即是偶函數(shù)，A正確．
所以，，不能得到的值，不正確
，不能得到的值，不正確．  7.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．【解答】解：由，，即圖象關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤
所以，
所以，C正確
又， A正確
若，則，D正確．
故選：．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性及周期性，屬于中檔題．
利用已知條件求出函數(shù)的周期，即可得解．【解答】解：由題意，是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足，
可得，
則，
函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
又，，
，
．
故選C．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性等基本性質(zhì)，屬于中檔題．【解答】解：因，則有函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確
由得，
又上的函數(shù)滿足，因此有，
于是得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則，不正確
當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，C正確
函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，D正確．  10.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查的是函數(shù)的周期性與奇偶性的知識(shí)，屬于中檔題．【解答】解：由于定義在上的函數(shù)滿足，
則是偶函數(shù)，且是周期為的周期函數(shù)，，B正確，
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，C錯(cuò)誤，
由，則，，
故時(shí)，，D錯(cuò)誤．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查單調(diào)性，奇偶性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱性，以及周期函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
根據(jù)題設(shè)有、，進(jìn)而可得，即可判斷的對(duì)稱性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后結(jié)合在上的單調(diào)性及對(duì)稱性和周期性判斷上的單調(diào)性，比較函數(shù)值大?。?/span>【解答】解：由題設(shè)，，即，則關(guān)于對(duì)稱，C正確；，即，關(guān)于對(duì)稱，所以，即周期為，且，即為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；則，B正確；又，且，都有，即在上單調(diào)遞增，又關(guān)于對(duì)稱，則上單調(diào)遞減，故，D正確．故本題選BCD．  12.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)即可得出，，從而可知的周期為，再根據(jù)時(shí)的解析式即可求出，，和的值．
本題考查了奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，已知函數(shù)求值的方法，周期函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于一般題．【解答】解：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，
，
，，
的周期為，
又當(dāng)時(shí)，，
，，
，
．
故選：．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)的周期，屬于綜合題．
根據(jù)題意，分析可得，則函數(shù)的周期為，據(jù)此可得，結(jié)合函數(shù)的解析式可得和的值，進(jìn)而由，可得關(guān)于的方程，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足，即，變形有，
又由為奇函數(shù)，則，
則有，
故函數(shù)的周期為，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
又由，令可得，，
則有，
又由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù)，則，
若，則有，變形可得，
故答案為：．  14.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，屬于中檔題．
由，得到，則為周期為的函數(shù)，再由的圖象關(guān)于對(duì)稱，得到，運(yùn)用周期，化簡(jiǎn)，即可得到答案．【解答】解：，即，
則，
則為周期為的函數(shù)，
由于的圖象關(guān)于對(duì)稱，
則的圖象關(guān)于對(duì)稱，
即有，則
則，
故答案為：．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)周期性、奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性可得，變形可得，，則有，又由變形可得，即函數(shù)的周期為，由此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)為奇函數(shù)，則，
又由為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，
即，
則有，，
故，
又由，即，
所以，即函數(shù)的周期為，
故．
故答案為：．  16.【答案】 【解析】【分析】先求出時(shí)得到對(duì)應(yīng)的變量的值；再結(jié)合其周期即可求出所有滿足的取值的和．
本題主要考查函數(shù)的周期以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題．【解答】解：在函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)，即時(shí)，
，
又因?yàn)?/span>，
所以，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．
在內(nèi)共有個(gè)周期，
且每個(gè)周期內(nèi)的取奇數(shù)時(shí)的函數(shù)值為，
故所有的值之和為：．
故答案為：．
   17.【答案】解：證明如下：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，且，
所以是偶函數(shù)．因?yàn)?/span>，
所以是函數(shù)的一個(gè)周期．設(shè)在函數(shù)的圖象上，則，
設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
則得到
又因?yàn)?/span>，
所以點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．綜上，是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)?/span>的一個(gè)周期為，
所以的解析式為
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，又的一個(gè)周期為，所以在上遞增，
又在上遞增，所以在上遞增，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為． 【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．
 18.【答案】解：點(diǎn)從軸上開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，首先是圍繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)個(gè)圓，該圓半徑為，然后以點(diǎn)為中心，滾動(dòng)到點(diǎn)落地，其間是以為半徑，旋轉(zhuǎn)，然后以為圓心，再旋轉(zhuǎn)，這時(shí)候以為半徑，因此最終構(gòu)成圖象如下：

周而復(fù)始，通過(guò)圖象可知函數(shù)是周期函數(shù)，周期為． 【解析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)模型，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，
由題意，畫(huà)出函數(shù)圖象，可得周期．
 19.【答案】解：，得是周期為的函數(shù)，
；若，則，；因?yàn)?/span>在上的值域?yàn)?/span>，所以在上的值域?yàn)?/span>，
又是周期為的函數(shù)，故在上的值域?yàn)?/span>，所以在上的值域?yàn)?/span>． 【解析】本題考查抽象函數(shù)的問(wèn)題，值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．
由，得函數(shù)的周期是；
推導(dǎo)出，從而求出結(jié)果；
由，則，代入到中即可；
由在上的值域，得在上的值域，即可得答案．
 20.【答案】解：，，
即函數(shù)的周期是．，
，
，，
，的周期為． 【解析】本題主要考查類比推理及其應(yīng)用，函數(shù)的周期性的求解，屬于中等題． 由題意結(jié)合所給的函數(shù)關(guān)系整理計(jì)算即可確定函數(shù)的周期；由題意結(jié)合所給的函數(shù)關(guān)系整理計(jì)算即可確定函數(shù)的周期．
 21.【答案】解：因?yàn)?/span>，所以周期．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，，，，，，所以，所以． 【解析】本題考查函數(shù)值的求法以及周期性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
推導(dǎo)出，，，，，，由此，由此能求出的值．
 22.【答案】解：將中的用代換得，
又，得，
將用替換得，
所以，
所以以為周期，
在的解析式為，
向右移個(gè)單位得，，，，
由周期是知． 【解析】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)周期性的定義以及函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明是周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系即可求出當(dāng)時(shí)的解析式．根據(jù)函數(shù)的周期性先計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值之和，即可計(jì)算的值．
 

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