北師大版 (2019)1.1 復(fù)數(shù)的概念學案

這是一份北師大版 (2019)1.1 復(fù)數(shù)的概念學案，共6頁。
§1　復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義1.1　復(fù)數(shù)的概念  學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程．(重點)2．理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念．(重點、難點)3．掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．(重點)1.通過對復(fù)數(shù)的相關(guān)概念的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等的相關(guān)運算，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念形如a＋bi(其中a，b是實數(shù))的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．其中a稱為復(fù)數(shù)z的實部，記作Re z, b稱為復(fù)數(shù)z的虛部，記作Im z.2．復(fù)數(shù)的分類根據(jù)復(fù)數(shù)中a，b的取值不同，復(fù)數(shù)可以有以下的分類：復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)3．復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集，記作C．顯然RC．4．復(fù)數(shù)相等兩個復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di(a，b，c，d∈R)相等定義為：它們的實部相等且虛部相等，即a＋bi＝c＋di當且僅當a＝c且b＝d時成立．思考：1.兩個復(fù)數(shù)一定能比較大小嗎？提示：當兩個復(fù)數(shù)為實數(shù)時，能夠比較大?。环駝t不能比較大?。?/span>2．若復(fù)數(shù)a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是什么？提示：因為a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.1．在2＋，i, 8＋5i，(1－)i, 0.68這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為(　　)A．0　　　　　　　 B．1C．2 D．3C　[i, (1－)i是純虛數(shù)，故選C．]2．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi等于(　　)A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2iB　[由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，則由題意得1＋xi＝y＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]3．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝－1－m＋(2m－3)i.(1)若z為實數(shù)，則m＝________；(2)若z為純虛數(shù)，則m＝________.(1)　(2)－1　[(1)若復(fù)數(shù)z＝－1－m＋(2m－3)i為實數(shù)，則2m－3＝0，所以m＝；(2)若z為純虛數(shù)，則－1－m＝0，所以m＝－1.]復(fù)數(shù)的概念【例1】　(1)給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數(shù)為(　　)A．0　　　　　　 B．1C．2 D．3(2)已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是________．(1)B　(2)±　 5　[(1)對于①，當z∈R時，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①為假命題；對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部是2，不是2i，②為假命題；對于③，2i＝0＋2i，其實部是0，③為真命題．故選B．(2)由題意知∴a＝±，b＝5.]?1?復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.?2?不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復(fù)數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.?3?舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這類題時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答.1．下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±2；③實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集．其中正確說法的個數(shù)是(　　)A．0 B．1C．2 D．3B　[對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當a＝0且b≠0時，為純虛數(shù)．對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，故①錯誤．對于②，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數(shù)，故②錯誤．顯然，③正確．故選B．]復(fù)數(shù)相等【例2】　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數(shù)x，y的值；(2)關(guān)于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數(shù)a的值．[解]　 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或(2)設(shè)方程的實數(shù)根為x＝m，則3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，∴解得a＝11或a＝－.復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧?1?必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.?2?根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).?3?如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.2．復(fù)數(shù)z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________.5　[因為m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得m＝5.]復(fù)數(shù)的分類[探究問題]1. 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)何時為虛數(shù)？提示：b≠0.2．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)何時為純虛數(shù)？提示：a＝0，b≠0.【例3】　當m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z＝＋(m2－2m－15)i.(1)是虛數(shù)；(2)是純虛數(shù)．[思路點撥]　(1)→→(2)→→[解]　(1)當即m≠5且m≠－3時，z是虛數(shù)．(2)當即m＝3或m＝－2時，z是純虛數(shù)．1．例3的條件不變，當m為何值時，z為實數(shù)？[解]　當即m＝5時，z是實數(shù)．2．例3的條件不變，當m為何值時，z>0.[解]　因為z>0，所以z為實數(shù)，需滿足解得m＝5.3．已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虛數(shù)，求m的取值范圍．[解]　∵z是虛數(shù)，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，即∴－1<m<2或2<m<3. ∴m的取值范圍為(－1,2)∪(2,3)．復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵?1?利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對復(fù)數(shù)進行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標準列出實部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式.求解參數(shù)時，注意考慮問題要全面，當條件不滿足代數(shù)形式z＝a＋bi?a，b∈R?時應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.?2?注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件,設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi?a，b∈R?，則①z為實數(shù)?b＝0，②z為虛數(shù)?b≠0，③z為純虛數(shù)?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.1．對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況．2．兩個復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個復(fù)數(shù)的實、虛部，再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件進行判斷．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)． (　　)(2)復(fù)數(shù)z＝bi是純虛數(shù)．  (　　)(3)若兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等．  (　　)[提示]　(1)錯誤．若b＝0，則復(fù)數(shù)z＝a＋bi是實數(shù)．(2)錯誤．若b＝0，則復(fù)數(shù)z＝bi＝0是實數(shù)．(3)正確．若兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，則這兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，所以兩個復(fù)數(shù)相等．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．以3i－的虛部為實部，以3i2＋i的實部為虛部的復(fù)數(shù)是(　　)A．3－3i　　　　　 B．3＋iC．－＋i D．＋iA　[3i－的虛部為3,3i2＋i＝－3＋i的實部為－3，故選A．]3．已知復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，則a＝(　　)A．2 B．3C．－3 D．9B　[因為z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故選B．]4．已知復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數(shù)，求實數(shù)m的值．[解]　因為復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數(shù)，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.