6.1基本立體圖形北師大版（   2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）正四面體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，過(guò)作其外接球的截面，則截面面積的最小值為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，將正四棱錐置于水平反射鏡面上，得一“倒影四棱錐”下列關(guān)于該“倒影四棱錐”的說(shuō)法中，所有正確結(jié)論的編號(hào)是(    )
 平面；平面；若在同一球面上，則也在該球面上；若該“倒影四棱錐”存在外接球，則A.  B.  C.  D. 棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖所示，則圖中三角形正四面體的截面的面積是(    )A.
B.
C.
D.
 一個(gè)空心球玩具里面設(shè)計(jì)一個(gè)棱長(zhǎng)為的內(nèi)接正四面體，過(guò)正四面體上某一個(gè)頂點(diǎn)所在的三條棱的中點(diǎn)作球的截面，則該截面圓的面積是(    )A.  B.  C.  D. 攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖也有單檐和重檐之分多見(jiàn)于亭閣式建筑，園林建筑以某校園騰龍閣為例，它屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的倍，則此正四棱錐的內(nèi)切球半徑與底面邊長(zhǎng)比為 (    )A.  B.  C.  D. 打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層堆疊累積的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)即“積層造型法”過(guò)去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等已知利用打印技術(shù)制作如圖所示的模型．該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上，圓錐底面直徑為，母線與底面所成角的正切值為打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為取，精確到A.  B.  C.  D. 已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是(    )A.  B.  C.  D. 下列結(jié)論正確的是(    )A. 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐
B. 以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
C. 棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐
D. 圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）已知正方體的棱長(zhǎng)為，給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的選項(xiàng)為(    )
A. 對(duì)角線被平面和平面三等分
B. 正方體的內(nèi)切球，與各條棱相切的球，外接球的表面積之比為
C. 以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積都是
D. 正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分的體積是在正四棱柱中，，，則下列說(shuō)法正確的是(    )A. 以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長(zhǎng)為
B. 以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長(zhǎng)為
C. 把正四棱柱分割為體積相等的兩部分的平面有無(wú)數(shù)個(gè)
D. 存在平面，使得截四棱柱所得截面為七邊形已知一圓錐底面圓的直徑為，高為，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，并且正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的值可以為(    )A.  B.  C.  D. 下列命題正確的是(    )A. 有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
B. 棱錐是由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體
C. 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)
D. 球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知一圓錐紙盒母線長(zhǎng)為，其軸截面為正三角形，在紙盒內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，若正方體可在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為          ．學(xué)生小雨欲制作一個(gè)有蓋的圓柱形容器，滿足以下三個(gè)條件：可將八個(gè)半徑為的乒乓球分兩層放置在里面；每個(gè)乒乓球都和其相鄰的四個(gè)球相切；每個(gè)乒乓球與該容器的底面或上蓋及側(cè)面都相切，則該容器的高為          ．如圖，正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為          ．
 某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為           四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與均是等邊三角形，，和平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影落在的平分線上．求證：平面；求多面體的體積．本小題分
已知圓錐的底面半徑為，高為，正方體內(nèi)接于圓錐，求這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)．本小題分
正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切，求：
棱錐的表面積；
內(nèi)切球的半徑．本小題分求正三棱柱的內(nèi)切圓柱和外接圓柱的體積比以正棱柱兩個(gè)底面的內(nèi)切圓面為底面的圓柱稱為正棱柱的內(nèi)切圓柱，以正棱柱兩個(gè)底面的外接圓面為底面的圓柱稱為正棱柱的外接圓柱．本小題分已知正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，其內(nèi)有一個(gè)球，球心到該三棱錐的四個(gè)面的距離都相等。求棱錐的表面積球的半徑最大值．本小題分 我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)，提出了一個(gè)原理祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”
利用祖暅原理推導(dǎo)半徑為的球的體積公式時(shí)，可以構(gòu)造如圖所示的幾何體，幾何體的底面半徑和高都為，其底面和半球體的底面同在平面內(nèi)設(shè)與平面平行且距離為的平面截兩個(gè)幾何體得到兩個(gè)截面，請(qǐng)?jiān)趫D中用陰影畫出與圖中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；
下圖是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形．模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐如下圖，從而求得該帳篷的體積為
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值．著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
根據(jù)題意，將四面體放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體的外接球．因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑，當(dāng)球心到截面的距離最大時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值．
【解答】
解：將四面體放置于正方體中，如圖所示

可得正方體的外接球就是四面體的外接球，
正四面體的棱長(zhǎng)為，
正方體的棱長(zhǎng)為，
可得外接球半徑滿足，，
為棱的中點(diǎn)，過(guò)作其外接球的截面，當(dāng)球心到截面的距離最大時(shí)，截面圓的面積最小，
此時(shí)球心到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，可得截面圓的半徑為，
得到截面圓的面積最小值為．
故選B．  2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及多面體外接球的問(wèn)題，屬于中檔題．
根據(jù)幾何體以及球的幾何特征逐項(xiàng)判斷即可求解．
【解答】
解：由“倒影四棱錐”的幾何特征可知四邊形為菱形，所以，平面，平面，
所以平面，正確；
由“倒影四棱錐”的幾何特征可知平面，正確；
當(dāng)，，，，在同一球面上時(shí)，若正方形的外接圓不是球的最大圓，則點(diǎn)不在該球面上，錯(cuò)誤；
若該“倒影四棱錐”存在外接球，則其外接球的球心為正方形的中心，
設(shè)外接球半徑為，則，，則，正確；
故選D．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查正四面體與其外接球的關(guān)系、截面面積的求法，屬于中檔題．
由題意可得球的內(nèi)接正四面體，畫出圖形是解題的關(guān)鍵，的面積即為所求截面的面積可求得，又，由三角形的面積公式即可求解．【解答】解：由題意可得球的內(nèi)接正四面體如圖所示，
的面積即為所求截面的面積．
由圖可知，
又，所以的面積為，
故選C．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查截面圓的面積，簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，確定截面圓的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．
棱長(zhǎng)為的內(nèi)接正四面體的高為，外接球的半徑為，求出球心到截面的距離，可得截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積．【解答】 解：棱長(zhǎng)為的內(nèi)接底面外接圓半徑為，
正四面體的高為，
設(shè)外接球半徑為，則，
解得，
過(guò)正四面體上某一個(gè)頂點(diǎn)所在的三條棱的中點(diǎn)作球的截面，
球心到截面的距離，
截面圓的半徑為，
截面圓的面積是．
故選A．  5.【答案】 【解析】【分析】本題考查正四棱錐的側(cè)面積以及內(nèi)切球的問(wèn)題，屬于中檔題．
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的等腰三角形的高為，內(nèi)切球的半徑為，建立它們之間的比值關(guān)系即可求解．【解答】解：由于正四棱錐，底面是正方形，側(cè)面為個(gè)全等的等腰三角形，
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則底面積為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為，
設(shè)該正四棱錐側(cè)面的等腰三角形的高為，則有，則，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，如圖，

與相似，有，所以，
由于，化簡(jiǎn)得，
則此正四棱錐的內(nèi)切球半徑與底面邊長(zhǎng)比為
故選B．  6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查圓錐和正方體體積的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題．
作出幾何體的軸截面，求出正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出模型的體積．
【解答】
解：如圖，是幾何體的軸截面，因?yàn)閳A錐底面直徑為，所以半徑為．因?yàn)槟妇€與底面所成角的正切值為，所以圓錐的高為．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，解得，所以該模型的體積為．所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為．
故選C．  7.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了棱錐的外接球的體積，涉及二面角知識(shí)，屬于中檔題．
先作兩個(gè)三角形所在平面的垂線得到外接球的球心，結(jié)合二面角及三角形全等得到，進(jìn)而求出外接球的半徑即可解答．
【解答】
解：設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過(guò)這兩點(diǎn)分別作平面、平面
的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心取中點(diǎn)，連接，，，，

因?yàn)?/span>，，所以，
因?yàn)?/span>和是正三角形，所以，
由得，所以由，
即球半徑為，所以球體積為．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，結(jié)合柱體、椎體和臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力，屬于中檔題．
通過(guò)簡(jiǎn)單幾何體和直觀圖說(shuō)明和B錯(cuò)誤，根據(jù)正六棱錐的過(guò)中心和頂點(diǎn)的截面知C錯(cuò)誤，由圓錐的母線進(jìn)行判斷知D正確． 【解答】解：、如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；
B、如圖所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐，故B錯(cuò)誤；
C、若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形，由過(guò)中心和頂點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)圓錐母線的定義知，故D正確．
故選D．
   9.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查與正方體有關(guān)的組合體的結(jié)構(gòu)特征及表面積，體積的計(jì)算，屬于中檔題．
對(duì)各選項(xiàng)逐一分析，即可得到答案．【解答】解：對(duì)于，假設(shè)對(duì)角線與平面相交于點(diǎn)，
可得平面，由，可得 ，
解得，因此對(duì)角線被平面和平面三等分，正確；
對(duì)于，易得正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、正方體的外接球的半徑分別為，，，因此表面積之比為，正確；
對(duì)于，以，，，為頂點(diǎn)的三棱錐的體積，不正確；
對(duì)于，正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分的體積，正確．
故選：．  10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查四棱柱與淾的關(guān)系及截面問(wèn)題，是中檔題，作出圖形，由對(duì)稱性可得答案．
【解答】
解：如圖，設(shè)球交棱，于點(diǎn)，，
連接，，，則球與側(cè)面的交線為，
由，得，，
故，所以，
側(cè)面與側(cè)面相對(duì)球心有對(duì)稱性，
所以交線長(zhǎng)也為，故A項(xiàng)正確，項(xiàng)錯(cuò)誤：
過(guò)上，下底面中心的連線的所有截面均可平均分割四棱柱，
這樣的截面有無(wú)數(shù)個(gè)，故 C項(xiàng)正確
四棱柱共有六個(gè)面，故不可能截出七邊形，故 D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選AC項(xiàng)．
  11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查圓錐的切接球問(wèn)題，屬于一般題．
當(dāng)最大時(shí)，該正四面體外接于圓錐的內(nèi)切球，求出此時(shí)球半徑，求出圓錐的外接球時(shí)的最大值，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷．
【解答】
解：根據(jù)題意可知，當(dāng)最大時(shí)，該正四面體外接于圓錐的內(nèi)切球．
設(shè)圓錐內(nèi)切球的圓心為，半徑為，圓錐的底面圓心為，半徑為，頂點(diǎn)為，作出軸截面，連接，，
如圖所示．

因?yàn)?/span>，，所以，
所以為等邊三角形，且為的中心，
則．
結(jié)合正方體的外接球問(wèn)題，易知棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為，
故，解得．
故選：．  12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查簡(jiǎn)單多面體棱柱、棱錐、棱臺(tái)及球的結(jié)構(gòu)特征．
根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)及球的結(jié)構(gòu)特征逐一進(jìn)行判斷，可得答案．
【解答】
解：對(duì)于，有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體，但是不一定棱柱，如圖
故A錯(cuò)誤；
對(duì)于，由棱錐的定義知由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何
體是棱錐，正確
對(duì)于，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面
與底面平行，錯(cuò)誤
對(duì)于，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，正確：
故選：．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．
由題意得當(dāng)取最大值時(shí)，該正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都位于該圓錐紙盒的內(nèi)切球上，求出內(nèi)切球半徑，即可解得的最大值．【解答】解：因?yàn)檎襟w可在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，
所以當(dāng)取最大值時(shí)，該正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都位于該圓錐紙盒的內(nèi)切球上，
因?yàn)閳A錐紙盒的母線長(zhǎng)為，其軸截面為正三角形，
則內(nèi)切球半徑，
此時(shí)，即，解得，
所以的最大值為．
故答案為．  14.【答案】 【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
由已知，上下層四個(gè)球的球心、、、和、、、分別是上下兩個(gè)邊長(zhǎng)為
的正方形的頂點(diǎn)，同時(shí)，點(diǎn)在下底面的射影必是劣弧的中點(diǎn)，然后利用邊角關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，
由已知，上下層四個(gè)球的球心、、、和、、、分別是上下兩個(gè)邊長(zhǎng)為
的正方形的頂點(diǎn)，且以它們的外接球和為上下底面構(gòu)成圓柱，同時(shí)，點(diǎn)在下底面的射影必是劣弧的中點(diǎn)，在中，
設(shè)的中點(diǎn)為，
則，
又，，
所以，
所以該容器的高為．



   15.【答案】 【解析】【分析】本題考查四面體內(nèi)切球，考查空間中的距離問(wèn)題，屬于中檔題．
由正四面體內(nèi)切球球心的位置特征求內(nèi)切球半徑、，及到的最短距離，進(jìn)而可得的取值范圍．【解答】解：由正四面體棱長(zhǎng)為，則正四面體的體高為，若其內(nèi)切球球心為，半徑為，則，又，可得，則，所以到的最短距離為．綜上，的取值范圍為，即故答案為  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查弧長(zhǎng)公式及圓錐的幾何特征，屬中檔題．
設(shè)此圓錐的底面半徑為，高為，母線為，根據(jù)底面圓周長(zhǎng)等于展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)，建立關(guān)系式解出，再根據(jù)勾股定理得，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則有解方程即可．【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為，高為，母線為，

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，
，得，
解之得，
因此，此圓錐的高．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則有，代入數(shù)據(jù)解得．
故答案為．  17.【答案】證明：如圖所示：

取中點(diǎn)，  連接，  ．
由題意，為的平分線，且，．
設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，
由已知得，點(diǎn)在上，連接，則平面．
平面平面，平面平面，平面，，
平面，同理可得平面，
又平面， ．
和平面所成的角為，即， ，
四邊形為平行四邊形，，  平面．
解：，
，
又面，  ，
，
，
． 【解析】本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，以及空間幾何體體積的求法，屬于拔高題．
取中點(diǎn)，連接、，等邊三角形中，，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，得平面，平面再過(guò)作平面，利用，和平面所成的角為，可以證出四邊形是平行四邊形，得，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理，可證平面；
利用割補(bǔ)法，所求幾何體的體積：，所以分別求出三棱錐和三棱錐的體積，即可解決問(wèn)題．
 18.【答案】解：由題意，作出圓錐的軸截面，如圖所示：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，
可知：，，
可得∽，
，即，
，
所以正方體的棱長(zhǎng)為． 【解析】本題主要考查圓錐與棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．
由題意，可得∽，求出，即可得解．
 19.【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作平面于，
連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，是正三角形，

是邊上的高和中線，為的中心．
，
，，．
．
；
設(shè)球的半徑為，以球心為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，
，
，
則由等體積可得． 【解析】本題考查棱錐的全面積和體積的求法，考查等積法求球的半徑，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．
過(guò)點(diǎn)作平面于，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，是正三角形，是邊上的高和中線，為的中心．由此能求出棱錐的全面積；
求出棱錐的體積，設(shè)球的半徑為，以球心為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，由此能求出球的半徑．
 20.【答案】解：設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，
如圖是垂直于高的截面圖，

再設(shè)內(nèi)切圓柱的底面半徑為，外接圓柱的底面半徑為，
由正弦定理可得：，則，外接圓柱的體積為；
由等面積法可得：，則，內(nèi)切圓柱的體積為．
正三棱柱的內(nèi)切圓柱和外接圓柱的體積比為． 【解析】本題考查正三棱柱的內(nèi)切圓柱與外接圓柱體積的求法，訓(xùn)練了正弦定理及等面積法求圓的半徑，是中檔題．
設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，作出垂直于高的截面圖，把正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別用底面邊長(zhǎng)表示，求出正三棱柱的內(nèi)切圓柱和外接圓柱的體積，則答案可求．
 21.【答案】解：底面正三角形中心到一邊的距離為，則正棱錐側(cè)面的斜高為．．．如圖所示，設(shè)球的半徑為，由題可得，． 【解析】本題考查棱錐的全面積和體積的求法，考查球的表面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
過(guò)點(diǎn)作平面于，連接并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，是正三角形，是邊上的高和中線，為的中心．由此能求出棱錐的全面積．
設(shè)球的半徑為，列式計(jì)算即可．
 22.【答案】解：由圖可知，圖幾何體的為半徑為的半球，
圖幾何體為底面半徑和高都為的圓柱中挖掉了一個(gè)圓錐，
與圖截面面積相等的圖形是圓環(huán)如陰影部分，

證明如下
在圖中，設(shè)截面圓的圓心為，易得截面圓的面積為，
在圖中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為，所以，圓環(huán)的面積為，
所以，截得的截面的面積相等．
由“祖暅原理”可知，帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，
底面正方形對(duì)角線為，正方形邊長(zhǎng)為，
所以，． 【解析】本題考查了幾何體的面積與體積計(jì)算，屬于中檔題．
先求出截面圓的面積，再球出圓環(huán)的面積，即可證明二者面積相等；
由“祖暅原理”，通過(guò)，求解即可．
 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.1 余弦定理與正弦定理

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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