1.5正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖形與性質(zhì)再認(rèn)識北師大版（ 2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）設(shè)函數(shù)，，其中，若，，且的最小正周期大于，則(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時，取到最大值，若將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍得到函數(shù)的圖象，則不等式的解集為．(    )A.  B.
C.  D. 函數(shù)圖象的大致形狀是(    )A.  B.  C.  D. 下列不等式或命題一定成立的是(    )
；；
；最小值為．A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的圖象如圖所示，那么不等式的解集是(    )A.
B.
C.
D. 函數(shù)在區(qū)間上的簡圖是(    )A.  B.
C.  D. 已知，，，則(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為(    )
A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）已知函數(shù)，，則(    )A.  B. 在區(qū)間上只有個零點(diǎn)
C. 的最小正周期為 D. 為圖像的一條對稱軸下列四個函數(shù)中，滿足對任意正數(shù)、、都有的是(    )A.  B.
C.  D. 以下函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)的有(    )A.  B.
C.  D. 已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的截距為則下列結(jié)論正確的是(    )
A. 的最小正周期為 B. 的最大值為
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 為偶函數(shù)第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為          ．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當(dāng)時，則          ；當(dāng)時，的取值范圍為          ．求函數(shù)的定義域為          ．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示設(shè)函數(shù)，則的值域為          ．
  四、解答題（本大題共7小題，共84.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
已知函數(shù)．
求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
求使成立的實(shí)數(shù)的取值集合．本小題分已知函數(shù)．    若點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，求的值；    若，求函數(shù)的最小值．本小題分已知．   化簡，并求；   若，求的值；   求函數(shù)的值域．本小題分
已知的角，，所對的邊分別是，，，且滿足．
證明：，，成等差數(shù)列；
如圖，若，點(diǎn)是外一點(diǎn)，設(shè)，，求平面四邊形面積的最大值．
本小題分已知在中，角，，所對的邊分別是，，，且 ．求角的大小若，求的取值范圍．本小題分
設(shè)函數(shù)，．
已知，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；
求函數(shù)的值域．本小題分
函數(shù)的部分圖象如圖所示．

將函數(shù)化為的形式；寫出的最小正周期及圖中，的值；求的單調(diào)遞減區(qū)間．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
由題意求得，再由周期公式求得，最后由求得值．【解答】解：由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，則，即．
，
由，得．
，．
，取，得．
，．
故選：．  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查了正弦型三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于中等題．
根據(jù)函數(shù)的最大值以及單調(diào)性和對稱性可得的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像變換可得的解析式，利用三角函數(shù)的圖像性質(zhì)解不等式即可求解．【解答】解：函數(shù)的最大值為，，
在區(qū)間上單調(diào)，所以，即， 
，即，
，是函數(shù)的對稱軸，，是函數(shù)的對稱中心，
 和是函數(shù)相鄰的對稱軸和對稱中心，，得，當(dāng)時，取到最大值，，，當(dāng)時，，，
根據(jù)題意可知，，，解得：，．
的解集是．
故選：．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的識別和判斷，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)條件先判斷函數(shù)的奇偶性，和對稱性，利用的值的符號是否對應(yīng)進(jìn)行排除即可．【解答】解：，
則，
則是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，排除，，
當(dāng)時，，排除，
故選C．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查基本不等式及不等式性質(zhì)，屬于中檔題．
利用基本不等式及不等式的性質(zhì)對各命題逐一判斷即可．【解答】解：對于， ，則，由為增函數(shù)，可得，故正確；
對于，，，，當(dāng)時，，故錯誤；
對于，，故恒成立，故正確；
對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即 取等號，顯然不成立，故錯誤．
故選：．
   5.【答案】 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的奇偶性，余弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中動態(tài)．
根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及當(dāng)時，的圖象，易得到及時的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)在上函數(shù)值符號的變化情況，即可得到不等式的解集．【解答】解：由圖象可知：
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
再由是奇函數(shù)，知：
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
又余弦函數(shù)，
當(dāng)，或時，；
當(dāng)時，．
不等式即為或
解得．
故選B．  6.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象的判斷，根據(jù)特殊點(diǎn)的三角函數(shù)值運(yùn)用排除法直接判斷即可．【解答】解：當(dāng)時，，排除，
當(dāng)時，，排除．
故選D   7.【答案】 【解析】【分析】本題考查借助對數(shù)函數(shù)性質(zhì)與余弦函數(shù)性質(zhì)比較大小，考查對數(shù)換底公式，屬于中檔題．
利用換底公式化簡，由對數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)值與，的大小關(guān)系即可求解．【解答】解：因為，，
，即．
所以．
故選B  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
利用，先求出，再根據(jù)，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．
【解答】
解：解：設(shè)左焦點(diǎn)為，令，，則，

，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
．
故選B．  9.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)和正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
先利用二倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到一個正弦型函數(shù)，然后研究它的性質(zhì)即可．【解答】解：由已知，，
中，因為，所以正確；
中，當(dāng)，此時，函數(shù)的圖象與軸有個交點(diǎn)，所以錯誤；
中，因為最小正周期 ，所以正確；
中，當(dāng)，所以正確．
故選ACD．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小、指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值、對數(shù)式的化簡求值與證明、利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，屬于中檔題．
將、、、依次代入四個函數(shù)中，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性，驗證是否滿足，即可得到答案．【解答】解：若，則，
，
所以，
所以對任意正數(shù)、、都有，故A正確．
若，令，則，，故B錯誤．
若，則，，
因為，
所以，
所以對任意正數(shù)、、都有，故C正確．
若，則，

，
所以，
所以對任意正數(shù)，，都有，故D正確．
故選：．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題．
對于選項，由兩角和與差的正弦函數(shù)公式將函數(shù)化為形式，再由函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可判定；對于選項，由二倍角公式可得，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判定；對于選項，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，再由正切函數(shù)的性質(zhì)即可判定． 【解答】解：對于選項，，
當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于選項，，
當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于選項，，
當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于選項，當(dāng)時，，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．
故選：．  12.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用三角函數(shù)圖像求解函數(shù)解析式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．
根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)的解析式，
再根據(jù)函數(shù)解析式判斷四個結(jié)論即可得解．【解答】解：由圖知，的最小正周期，則  由，，得，
由，得，則，所以，所以函數(shù)最大值為，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，因為，則不是偶函數(shù)，
故選BC．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，含函數(shù)的值域或最值問題，以及誘導(dǎo)公式，屬中檔題．
令，求出的范圍，再結(jié)合條件得到的取值范圍．【解答】解：令，
則，
所以，又，所以，
因為關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，
所以，
所以的取值范圍為，
故答案為：．  14.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對稱性，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題．
對于第一空：根據(jù)題意，由特殊值法可得，結(jié)合解析式計算可得答案；
對于第二空：分析可得，當(dāng)時，，由此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，且滿足，
令可得：，
當(dāng)時，，則，故；
滿足，則有，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又由，則，
當(dāng)時，，此時有，
當(dāng)時，且的圖象關(guān)于直線對稱，則區(qū)間上，
有，
又由，則，
當(dāng)時，的取值范圍為；
故答案為：，．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了三角不等式的解法，是中檔題．
根據(jù)題意，可知，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：函數(shù)

解得
即
即，；
的定義域是．
故答案為：．  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的最值，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角公式，屬于中檔題．
根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式為，求出，令，，記，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．【解答】解：由圖可得 ，
所以，所以，
當(dāng)時，取得最大值，所以，
因為，所以，
又，得，
所以，
設(shè)


令，，
記，
因為，
所以由二次函數(shù)性質(zhì)得，
即．
故答案為：．  17.【答案】解：



，
由 ，解得 ，
所以  的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
由知 ，
因為 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ，
所以使  成立的的取值集合為 ． 【解析】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
由及題意可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
 18.【答案】解：若點(diǎn)在角的終邊上，則，    ．    由已知得，
，    ，    當(dāng)，即時，有最小值，最小值為． 【解析】本題考查三角函數(shù)的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
由三角函數(shù)的定義求出代入化簡后的所求式即可
把所求式轉(zhuǎn)化到上，把整體看作自變量，根據(jù)二次函數(shù)求最小值．
 19.【答案】解：由題意可得
，故；，故
 ；因為，所以


，因為，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，所以的值域為． 【解析】本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)化簡求值和三角函數(shù)求值域，屬于中檔題．
化簡，再賦值計算即可
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；
求出，利用正弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
 20.【答案】證明：由，
可得：，
即，
，
，
，
由正弦定理：，即，
故得，，成等差數(shù)列；
解：由可知，，則．
是等邊三角形．
由題意，，
則，
余弦定理可得：，
則．
故四邊形面積．
，
，
當(dāng)時，取得最大值為，
故平面四邊形面積的最大值為． 【解析】本題考查等差數(shù)列的判定與證明，兩角和與差的三角函數(shù)公式，輔助角公式，正弦、余弦定理，三角形面積公式，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡，結(jié)合正弦定理和等差數(shù)列的定義，即可證明；
利用任意三角形面積公式，結(jié)合表示平面四邊形面積，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解最大值．
 21.【答案】解：由正弦定理及，得，整理得，即．又，所以．因為，所以，，則因為，則，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
得，于是的取值范圍是． 【解析】本題考查解三角形的問題，正弦定理的應(yīng)用以及三角函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．
由正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式可得解．由正弦定理得，由，得，進(jìn)而可得結(jié)果．
 22.【答案】解：由，
得，
為偶函數(shù)，，
，或，





，
，，
，
函數(shù)的值域為：． 【解析】本題考查了三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換，屬中檔題．
函數(shù)是偶函數(shù)，則，根據(jù)的范圍可得結(jié)果；
化簡函數(shù)得，然后根據(jù)的范圍求值域即可．
 23.【答案】解：由題意，得到
  由可知 的最小正周期為 ，正弦函數(shù)圖像可知其在，
即處取得最大值，
根據(jù)圖像可知，取可得，．根據(jù)正弦函數(shù)圖像可知
當(dāng)，即，此時函數(shù) 單調(diào)遞增，函數(shù)的增區(qū)間是  【解析】本題主要考查正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二倍角公式及其應(yīng)用以及輔助角公式，屬于中檔題．
 由題意，利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡得到；
易得  的最小正周期為 ，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在處取得最大值，取可得，易得；
利用正弦函數(shù)圖像可知在上單調(diào)遞減，于是可得 的單調(diào)遞減區(qū)間．
 

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5.2 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識

版本： 北師大版 (2019)

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