導(dǎo)語
某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天多售出2件，于是商場經(jīng)理決定每件襯衫降價15元，那么經(jīng)理的決定正確嗎？
要解決這個問題需要用數(shù)學(xué)模型來刻畫，那么我們學(xué)過哪些常見的數(shù)學(xué)模型呢？如何建立函數(shù)模型呢？
知識梳理
幾種常見的函數(shù)模型
應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程
(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．
(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
(3)求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．
(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題．
一、一次函數(shù)模型的應(yīng)用
例1 某報刊亭從報社買進(jìn)報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出
400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進(jìn)的報紙份數(shù)必須相同，則報刊亭攤主應(yīng)該每天從報社買進(jìn)________份報紙，才能使每月所獲利潤最大．
答案 400
解析 設(shè)每天從報社買進(jìn)x份(250≤x≤400)報紙，
每月所獲利潤是y元，則每月售出報紙共(20x＋10×250)份，
每月退回報社報紙共10×(x－250)份．
依題意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化簡得y＝1.6x＋800，
其中250≤x≤400，
因為此一次函數(shù)(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以該函數(shù)為增函數(shù)，再由250≤x≤400知，
當(dāng)x＝400時，y取得最大值，
此時y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以每天買進(jìn)400份可使每月所獲利潤最大，獲利1 440元．
反思感悟 一次函數(shù)模型的特點(diǎn)和求解方法
(1)一次函數(shù)模型的突出特點(diǎn)是其圖像是一條直線．
(2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解．
跟蹤訓(xùn)練1 某長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李．若超過規(guī)定的質(zhì)量，則需購買行李票，行李費(fèi)用y(元)是行李質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù)，其圖像如圖所示．
(1)根據(jù)圖像數(shù)據(jù)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)問旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量是多少？
解 (1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)．
由圖像可知，當(dāng)x＝60時，y＝6；
當(dāng)x＝80時，y＝10.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60k＋b＝6，,80k＋b＝10.))解得k＝eq \f(1,5)，b＝－6.
所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－6，x>30，,0，x≤30.))
(2)根據(jù)題意，當(dāng)y＝0時，x≤30.
所以旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量為30 kg.
二、二次函數(shù)模型的應(yīng)用
例2 某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果，假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．
(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
解 (1)根據(jù)題意，得y＝90－3(x－50)，
化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱的銷售利潤．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因為w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以當(dāng)x0，則0

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.3 函數(shù)的應(yīng)用(一)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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