學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義.2.掌握向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量，用向量表示點(diǎn)的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意義，并會(huì)判斷向量間共線(平行)、相等的關(guān)系．
導(dǎo)語
向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓．在本章我們將探究如何用數(shù)學(xué)符號(hào)確切地描述向量，進(jìn)一步探究向量的運(yùn)算與應(yīng)用．
一、位移與向量
問題1 如圖，在圖中分別用向量表示A地至B，C兩地的位移．
提示 A地至B，C兩地的位移可以用有向線段eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))表示．
知識(shí)梳理
1．定義
既有大小又有方向的量稱為向量．
2．向量的表示法
(1)向量可以用有向線段來表示，其中有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向．
(2)除了用始點(diǎn)和終點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來表示向量外，還可用一個(gè)小寫字母來表示向量：在印刷時(shí)，通常用加粗的斜體小寫字母如a，b，c等來表示向量；在書寫時(shí)，用帶箭頭的小寫字母如eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))等來表示向量．
3．向量的長(zhǎng)度
向量的大小也稱為向量的模(或長(zhǎng)度)．
4．向量的有關(guān)概念
注意點(diǎn)：
(1)書寫向量時(shí)帶箭頭．
(2)向量強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)度和方向兩個(gè)元素．
(3)有向線段與向量不是同一概念，有向線段有起點(diǎn)、長(zhǎng)度、方向三個(gè)要素．
(4)解決向量問題特別注意零向量和向量的方向問題．
例1 下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
答案 D
解析 一個(gè)量是不是向量，就是看它是否同時(shí)具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．
反思感悟 解決向量概念問題一定要緊扣定義，對(duì)單位向量與零向量要特別注意方向問題．
跟蹤訓(xùn)練1 下列結(jié)論中正確的是( )
A．對(duì)任一向量a，|－a|>0總是成立的
B．模為0的向量的方向是不確定的
C．向量就是有向線段
D．任意兩個(gè)單位向量的方向相同
答案 B
解析 若向量a為零向量，則|－0|＝0，故A錯(cuò)誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個(gè)圖形，而向量是帶方向的量，不是有向線段，C錯(cuò)誤；任意兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，D錯(cuò)誤．
二、向量的應(yīng)用
例2 在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
(1)eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向；
(3)eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
解 (1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量eq \(OA,\s\up6(→))如圖所示．
(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量eq \(AB,\s\up6(→))如圖所示．
(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依據(jù)勾股定理可得在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq \r(3)≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量eq \(BC,\s\up6(→))如圖所示．
反思感悟 準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練2 某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按東北方向走了10eq \r(2)米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up6(→))的模．
解 (1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，如圖所示．
(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5eq \r(5)米．
三、向量的相等與平行
知識(shí)梳理
注意點(diǎn)：
向量平行與直線平行的區(qū)別．
例3 (1)(多選)下列命題為真命題的是( )
A．兩個(gè)向量，當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同時(shí)才相等
B．若平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，則其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上
C．在菱形ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
D．a(chǎn)＝b，b＝c，則a＝c
答案 BCD
解析 兩個(gè)向量相等只要模相等且方向相同即可，而與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān)，故A不正確；單位向量的長(zhǎng)度為1，當(dāng)所有單位向量的起點(diǎn)在同一點(diǎn)O時(shí)，終點(diǎn)都在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，故B正確；C，D顯然正確．
(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.
①與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？
②與a共線的向量有哪些？
③請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．
解 ①與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→)).
②與a共線的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
③與a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；與b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；與c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)).
反思感悟 尋找共線向量或相等的向量的方法
(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
(2)尋找相等的向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)給出下列命題：
①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正數(shù)；
③起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等的向量；
④向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上．
其中正確命題的序號(hào)是________．
答案 ③
解析 ①錯(cuò)誤，由|a|＝|b|僅說明a與b模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系；
②錯(cuò)誤，如|0|＝0；③正確，對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的；
④錯(cuò)誤，共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上．
(2)如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形．
①找出與向量eq \(AB,\s\up6(→))共線的向量；
②找出與向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量．
解 ①依據(jù)圖形可知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，所以與向量eq \(AB,\s\up6(→))共線的向量為eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→)).
②由四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形，知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))與eq \(AB,\s\up6(→))長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量為eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→)).
1．知識(shí)清單：
(1)向量的概念的辨析．
(2)向量的表示方法．
(3)向量的相等與平行．
2．方法歸納：定義法、數(shù)形結(jié)合法．
3．常見誤區(qū)：0的特殊性．共線向量不一定在一條直線上．

1．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；
②向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；
③若|a|

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.1.1 向量的概念

版本： 人教B版 (2019)

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