1.學(xué)會解決點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線對稱問題.
2.會應(yīng)用對稱問題解決最值問題和反射問題.
已知直線l：y＝3x＋3，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點(diǎn)在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7).
(2)直線y＝x－2關(guān)于l的對稱直線的方程；
在直線y＝x－2上任取一點(diǎn)M(2,0)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為M′(x0，y0)，
化簡得7x＋y＋22＝0，即為所求直線方程.
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱直線的方程.
在直線l上取兩點(diǎn)E(0,3)，F(xiàn)(－1,0)，則E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對稱點(diǎn)分別為E′(6,1)，F(xiàn)′(7,4).因?yàn)辄c(diǎn)E′，F(xiàn)′在所求直線上，
即3x－y－17＝0.
對稱問題的解決方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點(diǎn)為P′(2a－x,2b－y).(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點(diǎn)來求.設(shè)l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和點(diǎn)P(x0，y0)，則l關(guān)于P點(diǎn)的對稱直線方程為A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，要抓住“垂直”和“平分”.設(shè)P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P關(guān)于l的對稱點(diǎn)Q可以通過條件：①PQ⊥l；②PQ的中點(diǎn)在l上來求得.(4)求直線關(guān)于直線的對稱直線的問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題.
已知P(－1,2)，M(1,3)，直線l：y＝2x＋1.(1)求點(diǎn)P關(guān)于直線l對稱點(diǎn)R的坐標(biāo)；
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x，y)，
(2)求直線PM關(guān)于直線l對稱的直線方程.
因?yàn)镸(1,3)的坐標(biāo)滿足直線l的方程，
則直線MR即為所求的直線，由兩點(diǎn)式得所求直線方程為11x＋2y－17＝0.
一束光線從原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點(diǎn)P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所走過的路程.
如圖，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在l上得
∴A的坐標(biāo)為(4,3).∵反射光線的反向延長線過A(4,3)，
又由反射光線過P(－4,3)，A，P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，故反射光線所在直線的方程為y＝3.
由光的性質(zhì)可知，光線從O到P的路程即為AP的長度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，即光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所走過的路程為8.
根據(jù)平面幾何知識和光學(xué)知識，入射光線、反射光線上對應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于法線對稱的.利用點(diǎn)的對稱關(guān)系可以求解.
如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是
由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|＝ .
利用對稱解決有關(guān)最值問題
在直線l：x－y－1＝0上求兩點(diǎn)P，Q.使得：(1)P到A(4,1)與B(0,4)的距離之差最大；
∴a＋b－4＝0， ①
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(5，－1).
即2x＋y－9＝0.易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，當(dāng)且僅當(dāng)P，B′，A三點(diǎn)共線時，||PB′|－|PA||最大.
(2)Q到A(4,1)與C(3,0)的距離之和最小.
如圖，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′，可求得C′的坐標(biāo)為(1,2)，∴AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0.易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，當(dāng)且僅當(dāng)Q，A，C′三點(diǎn)共線時，|QA|＋|QC′|最小.
利用對稱性求距離的最值問題由平面幾何知識(三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn)A，B的距離之差最大的問題，若這兩點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若A，B兩點(diǎn)位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點(diǎn)中某一點(diǎn)，如A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點(diǎn)即可.對于在直線l上求一點(diǎn)P，使P到平面上兩點(diǎn)A，B的距離之和最小的問題可用類似方法求解.
已知兩點(diǎn)A(1,3)，B(4,5)，動點(diǎn)M在直線y＝x上運(yùn)動，則|MA|＋|MB|的最小值為_____.
根據(jù)題意畫出圖象，如圖，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)為A′(x，y)，
1.知識清單： (1)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線的對稱問題. (2)反射問題. (3)利用對稱解決有關(guān)最值問題.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：兩條直線關(guān)于直線外一點(diǎn)對稱，則這兩條直線一定平行，千萬不要與兩條相交直線關(guān)于角平分線所在直線對稱混淆.
1.點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(－1，－3) B.(17，－9)C.(－1,3) D.(－17,9)
設(shè)點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，
所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－3).
2.直線x－2y＋1＝0 關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
3.若點(diǎn)P(3,4)和點(diǎn)Q(a，b)關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2
4.已知A(3,0)，B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為
由題易知直線AB的方程為x＋y＝3，點(diǎn)P(0,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P1(0，－2)，設(shè)點(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為P2(a，b)，如圖，
1.已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對稱點(diǎn)為(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是
2.點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A.(6，－3) B.(3，－6)C.(－6，－3) D.(－6,3)
設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，
故點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－6，－3).
3.直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線方程是A.2x＋3y＋7＝0B.3x－2y＋2＝0C.2x＋3y＋8＝0D.3x－2y－12＝0
∵直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線斜率不變，∴設(shè)對稱后的直線方程l′為2x＋3y＋c＝0，又點(diǎn)(1，－1)到兩直線的距離相等，
化簡得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，∴l(xiāng)′的方程為2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，即直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱的直線方程是2x＋3y＋8＝0.
4.已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關(guān)于直線x＋y＝0對稱，則l′的方程為A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0
5.點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)仍在l上，則a＋b等于A.－1 B.1 C.2 D.0
∵點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0對稱的點(diǎn)仍在l上，∴點(diǎn)P(a，b)在直線l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
6.光線從點(diǎn)A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的路程為
點(diǎn)A(－3,5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(－3，－5)，則光線從A到B的路程即|A′B|的長，
7.臺球運(yùn)動中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡單的技法，主球撞擊目標(biāo)球后，目標(biāo)球撞擊臺邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標(biāo)球沿著理想的方向反彈，就要事先根據(jù)需要確認(rèn)臺邊的撞擊點(diǎn)，同時做到用力適當(dāng)，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標(biāo)球成功擊入袋中.如圖，現(xiàn)有一目標(biāo)球從點(diǎn)A(－2,3)無旋轉(zhuǎn)射入，經(jīng)過x軸(桌邊)上的點(diǎn)P反彈后，經(jīng)過點(diǎn)B(5,7)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
設(shè)P(x,0)，A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為A′(－2，－3)，
由題意知A′，B，P三點(diǎn)共線，
8.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為____________.
設(shè)點(diǎn)M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，
又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2,6)，
9.已知點(diǎn)M(3,5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使△MPQ周長最小.
由點(diǎn)M(3,5)及直線l，可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)為M1(5,1).同樣可求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為M2(－3,5).由M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x＋2y－7＝0.
10.已知直線l：x－y＋3＝0，一束光線從點(diǎn)A(1,2)處射向x軸上一點(diǎn)B，又從點(diǎn)B反射到l上的一點(diǎn)C，最后從點(diǎn)C反射回點(diǎn)A.(1)試判斷由此得到的△ABC的個數(shù)；
如圖，設(shè)B(m,0)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(1，－2)，點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)為B′(－3，m＋3).
當(dāng)m＝－3時，點(diǎn)B在直線x－y＋3＝0上，不能構(gòu)成三角形.綜上，符合題意的△ABC只有1個.
(2)求直線BC的方程.
則直線A′B的方程為3x＋y－1＝0，即直線BC的方程為3x＋y－1＝0.
11.已知點(diǎn)(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝x的對稱點(diǎn)為A，設(shè)直線l2經(jīng)過點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程為A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
設(shè)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離為d，當(dāng)d＝|AB|時取得最大值，此時直線l2垂直于直線AB，
12.若x，y滿足x＋y＋1＝0，則x2＋y2－2x－2y＋2的最小值為A.2 B. C.3 D.4
∴f(x)的幾何意義為點(diǎn)M(x,0)到兩定點(diǎn)A(－2,4)與B(－1,3)的距離之和，設(shè)點(diǎn)A(－2,4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，則A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為求|MA|＋|MB|的最小值，
14.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為B(－1，－4)，若將軍從點(diǎn)A(－1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3.則“將軍飲馬“的最短總路程為
如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x＋y＝3的對稱點(diǎn)為C(a，b)，由題意可得
在直線x＋y＝3上取點(diǎn)P，由對稱性可得|PB|＝|PC|，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時，等號成立，
15.若函數(shù)y＝ 的圖象上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，則直線PQ的方程是____________.
又線段PQ的中點(diǎn)是(1,0)，
所以p，q為方程x2－2x－1＝0的根，
由兩點(diǎn)式得直線PQ的方程為x－4y－1＝0.
16.已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最?。?br/>設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A′(m，n)，
故A′(－2,8).因?yàn)镻為直線l上的一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)，
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3).
(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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