習題課　與圓有關(guān)的最值問題
第二章　§2.5　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
學習目標
1.能用直線與圓的方程解決一些簡單的最值問題.
2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
導語
海上某基站信號覆蓋范圍達60公里.一艘船由于機械故障在海上遇險，想要求救，卻發(fā)現(xiàn)手機沒有信號.已知基站在海面上的信號覆蓋范圍是以基站為圓心的一個圓及其內(nèi)部區(qū)域，那么船到達信號區(qū)域的最短路程是多少呢？(引出課題：探究與圓有關(guān)的最值問題.)
內(nèi)容索引
與距離有關(guān)的最值問題

一
知識梳理
1.圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝ ，最大值＝ .
d－r
d＋r
2.直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝ ，最大值＝ .
d－r
d＋r
3.過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝__________，最大值＝ .
2r
4.直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝_________.
(1)當直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短時，m的值為_____.
直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
√
由已知得點(x1，y1)在圓(x－2)2＋y2＝5上，點(x2，y2)在直線x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圓(x－2)2＋y2＝5上的點和直線x－2y＋4＝0上點的距離的平方，
(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數(shù)形結(jié)合確定距離的最值.
反思感悟
(1)從點P(1，－2)向圓x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切線，當切線長最短時，m的值為A.－1 B.1 C.2 D.0
x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化為(x－m)2＋(y－1)2＝1，圓心C(m，1)，半徑為1，
√
即當m＝1時，|CP|最小，切線長最短.
(2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為______.
設(shè)點A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2.當弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦，
與面積有關(guān)的最值問題

二
根據(jù)題意，得圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(3，－1)，半徑r＝2，O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直線是y軸，當M到直線AO的距離最小時，△OAM的面積最小，則M到直線AO的距離的最小值d＝3－2＝1，
已知點O(0,0)，A(0,2)，點M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，求△OAM面積的最小值.
求圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
反思感悟
(1)直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為
√
設(shè)圓心到直線的距離為d(00).若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，則m的最小值為_____.
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根據(jù)題意，點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，則AB的中點為(0,0)，|AB|＝2m，
若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，則圓C與圓O有交點，必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
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又由m>0，解得3≤m≤7，即m的最小值為3.
9.已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；
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由圓C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化為標準方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
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設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
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10.已知直線l：3x＋4y＋1＝0，一個圓與x軸正半軸、y軸正半軸都相切，且圓心C到直線l的距離為3.(1)求圓的方程；
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圓與x，y軸正半軸都相切，∴圓的方程可設(shè)為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∵圓心C到直線的距離為3，
解得a＝2，∴半徑為2.∴圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
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(2)P是直線l上的動點，PE，PF是圓的兩條切線，E，F(xiàn)分別為切點，求四邊形PECF的面積的最小值.
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PE，PF是圓的兩條切線，E，F(xiàn)分別為切點，∴△PCE≌△PCF，∴S四邊形PECF＝2S△PCE，PE是圓的切線，且E為切點，∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，∴當斜邊PC取最小值時，PE也最小，即四邊形PECF的面積最小.|PC|min即為C到l的距離，由(1)知|PC|min＝3，
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11.已知AC，BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為M(1， )，則四邊形ABCD面積的最大值為A.5 B.10 C.15 D.20
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如圖，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，則|AC|·|BD|≤10，
12.點A是圓C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一點，圓C2是過點(5,4)且半徑為1的動圓，點B是圓C2上的任一點，則AB長度的最小值為A.1 B.2 C.3 D.4
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由題可知點C2的軌跡方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1，即得點C2是圓C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的動點，又由題知點B是圓C2上的動點，
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13.已知圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5，點B的坐標為(0,2)，設(shè)P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動點，則|PB|＋|PQ|的最小值為______.
由于點B(0,2)關(guān)于直線l：x＋y＋2＝0的對稱點為B′(－4，－2)，則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，
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15.已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓M上運動，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為________.
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又B，D兩點在圓上，并且位于直線l的兩側(cè)，四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，
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當B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線(即為直徑)時，兩三角形的面積之和最大，
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16.已知圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點M .(1)求圓C的標準方程；
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所以a＝－1，
即r＝2，所以圓C的標準方程為(x＋1)2＋y2＝4.
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(2)已知N(2,1)，經(jīng)過原點且斜率為正數(shù)的直線l1與圓C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).
設(shè)直線l1：y＝kx(k>0)，與圓聯(lián)立方程組可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
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②求|PN|2＋|QN|2的最大值.
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|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10
令t＝3＋k(t>3)，則k＝t－3，
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2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

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