9.1.1 簡單隨機抽樣  本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《9.1.1 簡單隨機抽樣》，本節(jié)的主要內(nèi)容包括：統(tǒng)計問題的特征、統(tǒng)計中的抽樣思想、科學(xué)抽樣的三個必備條件以及簡單隨機抽樣的概念及兩種抽樣方法，（1）抽簽法，（2）隨機數(shù)法，這兩種種方法的操作步驟和注意事項。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 正確理解隨機抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機數(shù)表法的一般步驟；2.在解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本。 3.通過對現(xiàn)實生活和其他學(xué)科中統(tǒng)計問題的提出，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界及各學(xué)科知識之間的聯(lián)系，認識數(shù)學(xué)的重要性。1.數(shù)學(xué)抽象：簡單隨機抽樣的概念2.邏輯推理：抽簽法與隨機法的聯(lián)系與區(qū)別3.數(shù)學(xué)運算：抽簽法與隨機法的步驟4.數(shù)學(xué)建模：抽簽法與隨機法的靈活運用1.教學(xué)重點：理解隨機抽樣的必要性和重要性，用抽簽法和隨機數(shù)法抽取樣本．2.教學(xué)難點：抽簽法和隨機數(shù)法的實施步驟．多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境與問題  在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會接觸到各種統(tǒng)計數(shù)據(jù)，例如，人口總量、經(jīng)濟增長率、就業(yè)狀況、物價指數(shù)、產(chǎn)品的合格率、商品的銷售額、農(nóng)作物的產(chǎn)量、人均水資源、居民人均年收入、電視臺節(jié)目的收視率、學(xué)生的平均身高等.要正確閱讀并理解這些數(shù)據(jù)，需要具備一些統(tǒng)計學(xué)的知識.    統(tǒng)計學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象的一門科學(xué).面對一個統(tǒng)計問題,首先要根據(jù)實際需求,通過適當(dāng)?shù)姆椒ǐ@取數(shù)據(jù)，并選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理和描述,在此基礎(chǔ)上用各種統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行分析，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應(yīng)的實際問題. 名稱定義總體所要　　　　　的全體叫作總體 樣本從總體中抽取出的　　　　　　組成的集合叫作總體的一個樣本 個體總體中的每一個考察對象叫作個體樣本容量樣本中個體的　　　　叫作樣本容量  考察對象;統(tǒng)計的相關(guān)概念;若干個個體;數(shù)目[討論] 樣本與樣本容量有什么區(qū)別?解:樣本與樣本容量是兩個不同的概念.樣本是從總體中抽取的個體組成的集合,是對象;樣本容量是樣本中個體的數(shù)目,是一個數(shù).    人口普查需要花費巨大的財力、物力,因而不宜經(jīng)常進行,為了及時掌握全國人口變動狀況,我國每年還會進行一次人口變動情況的調(diào)查.這種調(diào)查是抽取一部分居民進行調(diào)查，根據(jù)抽取的居民情況來推斷總體的人口變動情況.    像這樣，根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查,并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.我們把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本，樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量.調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù).    抽樣調(diào)查的目的是為了了解總體的情況.例如，抽樣調(diào)查一批待售袋裝牛奶的細菌數(shù)是否超標(biāo),其目的是要了解整批牛奶的細菌含量超標(biāo)情況,而不只是局限在抽查到的那幾袋牛奶的情況.因此，通過抽樣調(diào)查了解總體的情況,自然希望抽取的樣本數(shù)據(jù)能很好地反映總體的情況，即樣本含有和總體基本相同的信息.    假設(shè)口袋中有紅色和白色共1000個小球，除顏色外，小球的大小、質(zhì)地完全相同，你能通過抽樣調(diào)查的方法估計帶中紅球所占的比例嗎？這里袋中所有小球是調(diào)查的總體，每一個小球是個體,小球的顏色是所關(guān)心的變量.我們可以從袋中隨機地摸出一個球，記錄顏色后放回，搖勻后再摸出一個球,如此重復(fù)n次.根據(jù)初中的概率知識可知，隨著摸球次數(shù)的增加,摸到紅球的頻率會逐漸穩(wěn)定于摸到紅球的概率，即口袋中紅球所占的比例，因此,我們可以通過放回摸球，用頻率估計出紅球的比例.在有放回地摸球中,同一個小球有可能被摸中多次，極端情況是每次摸到同一個小球,而被重復(fù)摸中的小球只能提供同一個小球的顏色信息，如果我們采用不放回摸球,即從袋中摸出一個球后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中隨機摸取,這樣就可以避免同一個小球被重復(fù)摸中.特別地，當(dāng)樣本量n=1000時，不放回摸球已經(jīng)把袋中的所有球取出，這就完全了解了袋中紅球的比例，而有放回摸球一般還不能對袋中紅球的比例作出準確的判斷.1.概念：一般地,設(shè)一個總體含有N個個體,從中　　　　　　地抽取n個個體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會　　　　,就把這種抽樣方法叫作簡單隨機抽樣,這樣抽取的樣本,叫作簡單隨機樣本.；簡單隨機抽樣；逐個不放回;都相等2.最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種:　　　　、抽簽法；隨機數(shù)法3.簡單隨機抽樣的特點特點說明(1)個體數(shù)有限簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體中含有個體的個數(shù)N是　　　　 (2)樣本中個體數(shù)與總體中個體數(shù)關(guān)系簡單隨機樣本含個體數(shù)n　　　　　 總體中的個體數(shù)N (3)逐個抽取簡單隨機樣本是從總體中　　　　的 (4)不放回抽樣簡單隨機抽樣是一種　　　的抽樣 (5)等可能抽樣簡單隨機抽樣中的每個個體進入樣本的可能性均為　　　 有限的;小于或等于;逐個抽取;不放回;問題1 一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級制作課桌椅,他們事先想了解全體高一年級學(xué)生的平均身高,以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標(biāo)準高度.已知樹人中學(xué)高一年級有712名學(xué)生,如果要通過簡單隨機抽樣的方法調(diào)查高一年級學(xué)生的平均身高,應(yīng)該怎么抽取樣本?    在這個問題中，樹人中學(xué)全部高一年級的學(xué)生構(gòu)成調(diào)查的總體，每一位學(xué)生是個體,學(xué)生的身高是調(diào)查的變量.與“探究”欄目中估計紅球的比例類似，我們可以對高一年級進行簡單隨機抽樣，用抽出的樣本的平均身高估計高一年級學(xué)生的平均身高.實現(xiàn)簡單隨機抽樣的方法有很多，抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種方法.下面分別介紹這兩種方法.1.抽簽法：    先給712名學(xué)生編號，例如按1～712進行編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球) 上作為號簽,并將這些小紙片放在一個不透明的盒里,充分攪拌.最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的學(xué)生進入樣本，直到抽足樣本所需要的人數(shù).為什么要給學(xué)生編號?編號用學(xué)號可以嗎?(1)抽簽法的定義: 一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號,把號碼寫在號簽上,將號簽放在一個容器中攪拌均勻,每次不放回地從中抽取一個號簽,連續(xù)抽取n次,就得到一個容量為n的樣本.     抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當(dāng)總體較大時，操作起來比較麻煩，費時、費力，又不方便.因此,抽簽法一般適用于總體中個體數(shù)不多的情形.你認為抽簽法有什么優(yōu)點和缺點?當(dāng)總體中的個體數(shù)很多時，用抽簽法方便嗎？ (2)抽簽法的優(yōu)缺點:2.隨機數(shù)法     先給712名學(xué)生編號,例如按1～712進行編號.用隨機數(shù)工具產(chǎn)生1～712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù)，把產(chǎn)生隨機數(shù)作為抽中編號，使與編號對應(yīng)學(xué)生進入樣本.重復(fù)上述過程,直到抽足所需要人數(shù).比較隨機數(shù)法與抽簽法，它們各有什么優(yōu)點和缺點?(2)隨機數(shù)法的步驟:①將總體的個體編號；②在產(chǎn)生的隨機數(shù)選擇數(shù)字；③讀數(shù)獲取樣本號碼.(1)隨機數(shù)法的概念:  利用隨機數(shù)工具產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣方法，叫做隨機數(shù)法.如果生成的隨機數(shù)有重復(fù)，即同與編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并重新產(chǎn)生隨機數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要的人數(shù).一般說來，在計算器或計算機軟件沒有特殊設(shè)定的情況下，它們生成的隨機數(shù)，都是可重復(fù)的.為了確認你使用的計算器或計算機軟件的情況，可以查閱它的說明書，也可以通過測試它能否生成3個整數(shù)隨機數(shù)1或2來進行判斷.(1)用隨機試驗生成隨機數(shù)(2)用信息技術(shù)生成隨機數(shù)準備10個大小、質(zhì)地一樣的小球,小球上分別寫上數(shù)字0，1,2,…,9，把它們放入一個不透明的袋中,從袋中有放回摸取3次，每次摸取前充分攪拌,并把第一、二、三次摸到的數(shù)字分別作為百、十、個位數(shù),這樣就生成了一個三位隨機數(shù).如果這個三位數(shù)在1～712范圍內(nèi),就代表對應(yīng)編號的學(xué)生被抽中,否則舍棄編號. 這樣產(chǎn)生的隨機數(shù)可能會有重復(fù).進入計算器的計算模式(不同的計算器型號可能會有不同)，調(diào)出生成隨機數(shù)的函數(shù)并設(shè)置參數(shù)，例如RandInt# (1, 712)， 按“=”鍵即可生成1~712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù).重復(fù)按“=”鍵，可以生成多個隨機數(shù).這樣產(chǎn)生的隨機數(shù)可能會有重復(fù).①用計算器生成隨機數(shù)在電子表格軟件的任一單元格中,輸入“=RANDBETWEEN (1,712)”,即可生成一個1～712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù).再利用電子表格軟件的自動填充功能,可以快速生成大量的隨機數(shù)(如下圖1).這樣產(chǎn)生的隨機數(shù)可能會有重復(fù).②用電子表格軟件生成隨機數(shù)在R軟件的控制臺中，輸入“sample (1: 712， 50， replace=F) ”，按回車鍵，就可以得到50個1～712范圍內(nèi)的不重復(fù)的整數(shù)隨機數(shù)(如下圖).③用R統(tǒng)計軟件生成隨機數(shù)R軟件是免費的統(tǒng)計軟件,該軟件具有比較強大數(shù)據(jù)處理、繪圖和分析等統(tǒng)計功能，在統(tǒng)計學(xué)研究和學(xué)習(xí)中被廣泛使用.   抽簽法隨機數(shù)表法步驟①將總體中的個體編號為1~N;②將所有編號1~N寫在形狀、大小相同的號簽上;③將號簽放在一個不透明的容器中,攪拌均勻;④從容器中每次抽取一個號簽,并記錄其編號,連續(xù)抽取n次;⑤從總體中將與抽取到的簽的編號相一致的個體取出①將總體中的個體　　　; ②在隨機數(shù)表中　　　　　數(shù)作為開始; ③規(guī)定一個方向作為從選定的數(shù)讀取數(shù)字的　　　　; ④開始讀數(shù)字,若不在編號中,則　　　　,若在編號中,則　　　　,依次取下去,直到取滿為止(相同的號只計一次) ⑤根據(jù)選定的號碼抽取樣本要點編號、制簽、攪勻、抽取、確定樣本編號、選起始數(shù)、讀數(shù)、獲取樣本編號;任選一個;方向;跳過;取出    隨著信息技術(shù)發(fā)展,人們更多利用計算器、數(shù)學(xué)軟件、統(tǒng)計軟件等來生成隨機數(shù).尤其是統(tǒng)計軟件，可以非常方便地按要求生成各種隨機數(shù).用信息技術(shù)工具產(chǎn)生隨機數(shù)最大的優(yōu)點是方便、快捷.    我們知道，在重復(fù)試驗中，試驗次數(shù)越多，頻率接近概率的可能性越大.與此類似，用簡單隨機抽樣的方法抽取學(xué)生，樣本量越大,樣本中不同身高的比例接近總體中相應(yīng)身高的比例的可能性也越大，樣本的平均身高接近總體的平均身高的可能性也越大.即對于樣本的代表性,一般說來，樣本量大的會好于樣本量小的.尤其是樣本量不大時，增加樣本量可以較好地提高估計的效果.但是，在實際抽樣中，樣本量的增大會導(dǎo)致調(diào)查的人力、費用、時間等成本的增加.因此，抽樣調(diào)查中樣本量的選擇要根據(jù)實際問題的需要，并不一定是越大越好.用簡單隨機抽樣方法抽取樣本，樣本量是否越大越好?在簡單隨機抽樣調(diào)查中，當(dāng)樣本量和總體一樣大時，就是全面調(diào)查了.  由生活中的問題出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到統(tǒng)計在生活中的廣泛應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。                               通過人口普查問題，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)抽樣方法的必要性，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。                                        通過實例分析，讓學(xué)生掌握簡單隨機抽樣的兩種基本方法，并熟悉的應(yīng)用能力，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。             三、達標(biāo)檢測1.對于簡單隨機抽樣,每個個體被抽到的機會(　)A.相等         B.不相等      C.不確定         D.與抽取的次數(shù)有關(guān)A[解析] (1)由簡單隨機抽樣的概念可知,每個個體被抽到的機會相等,與抽取的次數(shù)無關(guān).2.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生升學(xué)考試中數(shù)學(xué)成績的情況,抽取了50本密封試卷,每本有30份試卷,則樣本容量是(　　)A.30           B.50        C.1500         D.150C[解析] 樣本容量為50×30=1500.3.抽簽法中確保樣本具有代表性的關(guān)鍵是 (　)A.制簽       B.攪拌均勻       C.逐一抽取     D.抽取不放回B[解析] (3)攪拌均勻是為了使每個個體進入樣本的可能性相等,可以保證樣本真實,反映總體特征.4.下列5個抽樣中,簡單隨機抽樣的個數(shù)是(　　)①從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本;②倉庫中有1萬支奧運火炬,從中一次性抽取100支火炬進行質(zhì)量檢查;③某連隊從200名黨員官兵中,挑選出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴青海參加抗震救災(zāi)工作;④一彩民選號,從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽;⑤箱子里共有100個零件,從中選出10個零件進行質(zhì)量檢驗,在抽樣操作中,從中任意取出1個零件進行質(zhì)量檢驗后,再把它放回箱子里.A.0      B.1       C.2           D.3B[解析] 根據(jù)簡單隨機抽樣的特點逐個判斷.①不是簡單隨機抽樣,因為簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本總體的個數(shù)是有限的.②不是簡單隨機抽樣,雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性,但簡單隨機抽樣要求的是“逐個抽取”.③不是簡單隨機抽樣,因為50名官兵是從中挑出來的,是最優(yōu)秀的,每個個體被抽到的可能性不同,不符合簡單隨機抽樣中“等可能抽樣”的要求.④是簡單隨機抽樣,因為總體中的個體數(shù)是有限的,并且是從總體中逐個進行抽取的,是不放回、等可能的抽樣.⑤不是簡單隨機抽樣,因為它是有放回的抽樣.綜上,只有④是簡單隨機抽樣.5.用簡單隨機抽樣方法從含有10個個體的總體中,抽取一個容量為3的樣本,其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分別是(　　)A.,       B.,C.,           D.,A[解析] 在抽樣過程中,個體a每一次被抽到的概率是相等的,都為.6. 2022年第24屆冬季奧林匹克運動會將在北京市和張家口市聯(lián)合舉行,這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會.組委會計劃從某高校報名的20名志愿者中選取5人組成奧運志愿小組,請用抽簽法設(shè)計抽樣方案.解:(1)將20名志愿者編號,號碼分別是01,02,…,20;(2)將號碼分別寫在20張大小、形狀都相同的紙條上,揉成團,制成號簽;(3)將所得號簽放在一個不透明的袋子中,并攪拌均勻;(4)從袋子中依次不放回地抽取5個號簽,并記錄下上面的號碼;(5)所得號碼對應(yīng)的志愿者就是奧運志愿小組的成員.7.有一批機器編號為1,2,3,…,112,請用隨機數(shù)表法抽取10臺入樣,寫出抽樣過程(見課本本章隨機數(shù)表).解:第一步,將原來的編號調(diào)整為001,002,…,112.第二步,在隨機數(shù)表中任選一數(shù)作為開始,任選一方向作為讀數(shù)方向.比如,選第9行第7個數(shù)“3”向右讀(見課本本章隨機數(shù)表).第三步,從“3”開始向右讀,每次取三位,凡不在001~112中的數(shù)跳過去不讀,前面已經(jīng)讀過的數(shù)不讀,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.第四步,對應(yīng)原來編號為74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的機器便是要抽取的對象.  通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)知識方法易錯1.簡單隨機抽樣的概念與特點;2.抽簽法的概念與特點;3.隨機數(shù)法的概念與特點1.抽簽法的使用;2.隨機數(shù)法的使用在設(shè)計方案時,沒有按照抽簽法或隨機數(shù)法的一般步驟進行方案設(shè)計,不符合簡單隨機抽樣的特點,造成抽樣方法的不公平性 五、課時練 通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 本節(jié)從生活中的實際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認識統(tǒng)計知識的重要性，理解統(tǒng)計問題的特征、統(tǒng)計中的抽樣思想、科學(xué)抽樣的三個必備條件以及簡單隨機抽樣的概念及兩種抽樣方法，（1）抽簽法，（2）隨機數(shù)法，這兩種種方法的操作步驟和注意事項。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。  

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