?專題23銳角三角函數(shù)
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
一、單選題
1．如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達(dá)斜坡的底部點處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測量點處，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，已知斜坡的斜面坡度，且點，，，，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測得古塔的高度是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
過作于，于，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：過作于，于，
，，
斜坡的斜面坡度，
，
設(shè)，，
，
，
，，
，
，
，
，
故選：A．

【點睛】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用坡角坡度問題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2．無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對一塊試驗田進(jìn)行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為的處測得試驗田右側(cè)出界處俯角為，無人機(jī)垂直下降至處，又測得試驗田左側(cè)邊界處俯角為，則，之間的距離為（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．
【詳解】
解：由題意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故選C．
【點睛】
本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．
【詳解】
解：連接AD，如右圖所示，

∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值為，
故選：A．
【點睛】
本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
4．如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，下列結(jié)論錯誤的是（　　）

A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】
根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而解答即可．
【詳解】
解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A錯誤．
故選擇：A．
【點睛】
此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長解答．
5．如圖，在⊙O中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：（1）分別以弦AB的端點A、B為圓心，適當(dāng)?shù)乳L為半徑畫弧，使兩弧相交于點M；（2）作直線OM交AB于點N．若OB＝10，AB＝16，則tan∠B等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)尺規(guī)作圖的作法，可得 垂直平分 ，在 中，利用勾股定理求出ON，即可解答．
【詳解】
解：根據(jù)尺規(guī)作圖的作法，得： 垂直平分 ，
即 ，
∵AB＝16，
∴，
在 中， ，
∴ ，
∴
故選：B
【點睛】
本題主要考查了尺規(guī)作圖—垂直平分線的作法和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的作法和用勾股定理解直角三角形及求銳角三角函數(shù)值．
6．如圖，點C是以點O為圓心，AB為直徑的半圓上一點，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
如圖，過點C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，過點C作CH⊥AB于H．

∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝?AB?CH＝?AC?BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故選：B．
【點睛】
本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求出CH的長，屬于中考常考題型．
7．如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（ ）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【分析】
先求出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換中，坐標(biāo)的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對應(yīng)點A′的坐標(biāo)．
【詳解】
過點A作于點C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴?。?br /> ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴點A的坐標(biāo)是．
根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，如圖，
∴將△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時，點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為；
將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，點A的對應(yīng)點A′′的坐標(biāo)為．

故選：C．
【點睛】
本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)中點的坐標(biāo)變換特征及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（a，b）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（b，-a），繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（－b，a）．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作PM⊥x軸于點M，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．
【詳解】
解：作PM⊥x軸于點M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故選：D

【點睛】
本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，一個角的正弦值等于它所在直角三角形的對邊與斜邊之比．
9．如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD．其中，，，斜坡AB長8m．則斜坡CD的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
過點A作AE⊥BC于點E，過D作DF⊥BC于點F，則四邊形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，從而DF可知，進(jìn)而可求出CD的長．
【詳解】
解：過點A作AE⊥BC于點E，過D作DF⊥BC于點F，

∴
∵AD//BC
∴
∴
∴則四邊形AEFD是矩形，
∴
在中，AB=8，
∴
∴
在中，，
∴
故選：B．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，運用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實際生活中的問題，要求我們要具備數(shù)學(xué)建模能力（即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題）．
10．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點的位置，連接B，過點D作DE⊥，交的延長線于點E，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用已知條件求得,設(shè)，將都表示出含有的代數(shù)式，利用的函數(shù)值求得，繼而求得的值
【詳解】

設(shè)交于點,
由題意：
是等邊三角形

四邊形為正方形

∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥

又

設(shè)
則






解得：

故選A
【點睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的銳角三角函數(shù)值，靈活運用銳角三角函數(shù)的定義及特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在中，是斜邊上的中線，過點作交于點．若的面積為5，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由題意易得，設(shè)，則有，則有，，然后可得，過點C作CH⊥AB于點H，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解問題．
【詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵是斜邊上的中線，
∴，
設(shè)，則有，
∵，
∴由勾股定理可得，
∵的面積為5，
∴，
∵，
∴，即，化簡得：，
解得：或，
當(dāng)時，則AC=2，與題意矛盾，舍去；
∴當(dāng)時，即，過點C作CH⊥AB于點H，如圖所示：

∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故選A．
【點睛】
本題主要考查三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=BC=6，
∴AD=，
過點O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵

∴，即：，解得：OD=3，
∴tan∠OBD=，
故選A．
【點睛】
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出，是解題的關(guān)鍵．

二、填空題
13．計算：（π﹣3）0＋（﹣）﹣2﹣4sin30°＝___．
【答案】3
【分析】
直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．
【詳解】
解：原式＝1＋4﹣4×
＝1＋4﹣2
＝3．
故答案為：3．
【點睛】
此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
14．在直角中，，，的角平分線交于點，且，斜邊的值是______．
【答案】
【分析】
CD平分∠ACB，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到，求出的值即可．
【詳解】
解：如圖，CD平分∠ACB，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，

∴DE＝DF，，
又，
∴四邊形CEDF為正方形，
，，
在中，，
∵，
，
，，，
，
即，
又，
，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，





，
，
，
即（舍負(fù)），
故答案為：．
【點睛】
本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
15．?dāng)?shù)學(xué)活動小組為測量山頂電視塔的高度，在塔的橢圓平臺遙控?zé)o人機(jī)．當(dāng)無人機(jī)飛到點P處時，與平臺中心O點的水平距離為15米，測得塔頂A點的仰角為30°，塔底B點的俯角為60°，則電視塔的高度為_________米．

【答案】
【分析】
根據(jù)題意可知： ， ，， ，然后分別在 中在中，利用銳角三角函數(shù)求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意可知： ， ，， ，
在 中， ，
在中，，
∴ ，
即電視塔的高度為 米．
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了利用特殊角銳角三角函數(shù)值解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值．
16．如圖，甲樓高21m，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°，看乙樓底的俯角是30°，則乙樓高度約為_________ m（結(jié)果精確到1m，）．

【答案】57
【分析】
根據(jù)題意畫出下圖：，，垂足分別為點、點， ，，，，垂足為點，可得四邊形 是矩形，繼而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意畫出下圖：，，垂足分別為點、點， ，，，，垂足為點，

∵，，，
∴ ，
∴四邊形 是矩形，
∴ ，
在中， ，
在中， ，
∴ ，
即乙樓高度約為57 ．
【點睛】
本題主要考查了直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合利用銳角三角函數(shù)解直角三角形．
17．小明用一塊含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺測量校園內(nèi)某棵樹的高度，示意圖如圖所示，若小明的眼睛與地面之間的垂直高度AB為1.62m，小明與樹之間的水平距離BC為4m，則這棵樹的高度約為 ___m．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：1.73）


【答案】8.5
【分析】
先根據(jù)題意得出AD的長，在Rt△AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，由CE＝CD+DE即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
在Rt△AED中，
∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴DE＝AD?tan60°＝4×＝4（m），
∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）
答：這棵樹的高度約為8.5m．
故答案為：8.5．
【點睛】
本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．
18．某市跨江大橋即將竣工，某學(xué)生做了一個平面示意圖（如圖），點A到橋的距離是40米，測得∠A＝83°，則大橋BC的長度是 ___米．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）

【答案】326
【分析】
根據(jù)正切的定義即可求出BC．
【詳解】
解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，
，
∴（米）
故答案為：326
【點睛】
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
19．已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則_________；若，P為的費馬點，則_________．
【答案】5
【分析】
①作出圖形，過分別作,勾股定理解直角三角形即可
②作出圖形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60，P為的費馬點則四點共線，即，再用勾股定理求得即可
【詳解】
①如圖,過作，垂足為,
過分別作, 則, P為的費馬點







5
②如圖：

.





將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60
由旋轉(zhuǎn)可得：

是等邊三角形，

P為的費馬點
即四點共線時候，
=

故答案為：①5，②
【點睛】
本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn)．
20．兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對角線上的動點到三點距離之和的最小值是__________．

【答案】
【分析】
由題意易得四邊形是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，易得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，，進(jìn)而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據(jù)“胡不歸”問題可求解．
【詳解】
解：∵紙條的對邊平行，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵兩張紙條的寬度都為，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，如圖所示：

∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：

∴，
要使的值為最小，則需滿足為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得：，所以當(dāng)B、P、M三點共線時，取最小，即為BM的長，如圖所示：

∴，
∴，
∴的最小值為，即的最小值為；
故答案為．
【點睛】
本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

三、解答題
21．計算：．
【答案】-3
【分析】
根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等運算法則計算即可．
【詳解】
解：原式

．
【點睛】
本題考查了特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等知識點，熟知相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
22．計算：．
【答案】4
【分析】
首先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．
【詳解】
解：


．
【點睛】
本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，絕對值的化簡，掌握特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是解題關(guān)鍵．
23．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準(zhǔn)備測量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡的長是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測得路燈項端處的俯角是．試求大樓的高度．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】96米
【分析】
延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長，即可求解．
【詳解】
延長交于點，
過點作，交于點，
由題意得，，
∴四邊形為矩形，
∴，.
在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：大樓的高度約為96米.

【點睛】
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
24．在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度．如圖所示，測得斜坡的坡度，坡底的長為8米，在處測得樹頂部的仰角為，在處測得樹頂部的仰角為，求樹高．（結(jié)果保留根號）

【答案】米．
【分析】
作BF⊥CD于點F，設(shè)DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長，在直角△DCE中表示出CE的長，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長．
【詳解】
解：作于點，設(shè)米，

在中，，
則（米，
∵，且AE=8
∴
∴
在直角中，米，
在直角中，，
米．
，即．
解得：，
則米．
答：的高度是米．
【點睛】
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
25．避雷針是用來保護(hù)建筑物、高大樹木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長度（，，三點共線），在水平地面點測得，，點與大樓底部點的距離，求避雷針的長度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】
【分析】
根據(jù)，然后根據(jù)即可得出答案．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：m，
∵，
∴，即，
解得：m，
∴m ．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問題是解答此題的關(guān)鍵．
26．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A，軸于點B，延長AB至點C，連接．若，．

（1）求的長和反比例函數(shù)的解析式；
（2）將繞點旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)．
【答案】（1），；（2）或
【分析】
（1）由三角函數(shù)值，即可求出OB=2，然后求出點A的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，可分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，兩種情況進(jìn)行分析，即可得到答案．
【詳解】
解：（1） ∵軸于點B
∴
在中，，
∴，
∴點A的橫坐標(biāo)為2
又∵點A在正比例函數(shù)的圖象上
∴，
∴
把代入，得
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式是 ；
（2）根據(jù)題意，
∵點A為（2，1），
∵將繞點旋轉(zhuǎn)90°，
則分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如圖：

∴或．
【點睛】
本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，以及三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的畫出圖像進(jìn)行分析．
27．如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°．根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，∠α≤39°時，才能避免滑坡危險．學(xué)校為了消除安全隱患，決定對斜坡CD進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學(xué)樓的安全？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

【答案】7
【分析】
假設(shè)點D移到D′的位置時，恰好∠α=39°，過點D作DE⊥AC于點E，作D′E′⊥AC于點E′，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DE、CE、CE′的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】
假設(shè)點D移到D’的位置時，恰好∠α=39°，過D點作DE⊥AC于E點，作D’E⊥AC于E’

∵CD=12，∠DCE=60°
∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6
∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’
∴四邊形DEE’D’是矩形
∴DE=D’E’=6，
∵∠D’CE’=39°
∴CE′=≈13
∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．
即
答：學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動7米才能保證教學(xué)樓的安全．
【點睛】
本題考查了解直角三角的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
28．小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走到達(dá)C處，再沿北偏東方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】
【分析】
作于E，于F，易得四邊形BCFE是矩形，則，，設(shè)，則，在中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，在中，，根據(jù)題意得到，求得x的值，然后根據(jù)勾股定理求得AE和BE，進(jìn)而求得AB．
【詳解】
解：如圖，作于E，于F，

，
四邊形BCFE是矩形，
，，
設(shè)，則，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公園北門A與南門B之間的距離約為．
【點睛】
本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，正確構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O在線段AB上（點O不與點A，B重合），且OB＝kOA，點M是AC延長線上的一點，作射線OM，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點N．
（1）如圖1，當(dāng)k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；
（3）點P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．

【答案】（1）OM＝ON，見解析；（2）ON＝k?OM，見解析；（3）
【分析】
（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；
（3）設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．
【詳解】
解：（1）OM＝ON，如圖1，

作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如圖2，

作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴，
∴ON＝k?OM．
（3）如圖3，

設(shè)AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k?OA，
∴OB＝?a，OA＝?a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝?a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，
∴，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，
設(shè)AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD＋DM＝AC＋CM得，
（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，
∴k＞1
∴，


∴．
【點睛】
本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點是條件得出k＞1．
30．如圖，已知：AB為⊙O的直徑，⊙O交△ABC于點D、E，點F為AC的延長線上一點，且∠CBF∠BOE．

（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的長．
【答案】（1）見解析；（2），
【分析】
（1）連結(jié)，，根據(jù)“圓周角定理”及“直徑所對的圓周角等于”得到，即，即可判定是的切線；
（2）過點作于點，連結(jié)，解直角三角形得出，，，由判定，得出，即可求出，，再根據(jù)勾股定理求出，，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)即可得解．
【詳解】
解：（1）證明：連結(jié)，，

，，
，
為的直徑，
，
，
，
即，
，
是的切線；
（2）解：過點作于點，連結(jié)，

，
，
在中，，
，
，
，，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
為的直徑，
，
又，
，
即，
，
．
【點睛】
此題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理，熟記切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
31．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，且∠AOD＝90°，點C是⊙O外一點，分別連接CA，CB、CD，CA交⊙O于點M，交OD于點N，CB的延長線交⊙O于點E，連接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接DM，若⊙O的半徑為6，tanE＝，求DM的長．

【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)圓周角定理和等量代換可得∠BAC＝∠ACD，進(jìn)而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，從而得出結(jié)論；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由銳角三角函數(shù)可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面積公式求出DF，再根據(jù)圓周角定理可求出∠AMD＝45°，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的邊角關(guān)系求出DM即可．
【詳解】
解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AC于F，

∵⊙O的半徑為6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面積公式可得，
CN?DF＝DN?CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
【點睛】
本題考查切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理，掌握銳角三角函數(shù)以及勾股定理是解決問題的前提．
32．一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點D，在D處安置一高度為1m的測角儀CD，此時測得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）

【答案】（9＋4）m
【分析】
過點C作CH⊥AB于點H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝AH，再證△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【詳解】
解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，
則CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由題意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：AH＝（8＋4）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，
即這棵古樹的高AB為（9＋4）m．

【點睛】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明△EFG∽△ABG是解題的關(guān)鍵．
33．如圖，四邊形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分別以B、D為圓心，大于BD長為半徑畫弧，兩弧交于點M．畫射線AM交BC于E，連接DE．
（1）求證：四邊形ABED為菱形；
（2）連接BD，當(dāng)CE＝5時，求BD的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）連接BD，根據(jù)，AE是BD的垂直平分線，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要證明△OAD≌△OEB，即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）可以證明三角形DEC是等邊三角形，從而可以證明∠BDC=90°，再利用三角函數(shù)求解即可得到答案.
【詳解】
解：（1）如圖所示，連接BD，
由題意可知，AE是BD的垂直平分線，
∴AB=AD，BE=DE，BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，
在△OAD和△OEB中，
，
∴△OAD≌△OEB（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=AB=BE=ED，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）由（1）得AD=AB=BE=ED，
∴∠DBE=∠EDB，
∵，
∴，
∴，
∴三角形DEC是等邊三角形，
∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°，
∵∠BDE+∠EBD=∠DEC，
∴∠BDE=30°，
∴∠BDC=90°
∴

【點睛】
本題主要考查了菱形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，特殊角的三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
34．如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點A測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6米，且，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）

【答案】38米
【分析】
過作于，易證，得，則，再由銳角三角函數(shù)求出，然后在中，由銳角三角函數(shù)定義求出的長即可．
【詳解】
解：過作于，如圖所示：

則，，
，
，
由題意得：，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
即無人機(jī)飛行的距離約是．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明是解題的關(guān)鍵．
35．如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB，坡面上點D處放置高度為1.6m的測傾器CD，測傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN），此時測得樹頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上點B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】約為5.7m
【分析】
先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解．
【詳解】
解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即樹AB的高度約為5.7m．
【點睛】
此題考查解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力；應(yīng)用意識．正確掌握解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題、仰角俯角問題是解題的關(guān)鍵．
36．如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【答案】68.5m
【分析】
過A作AE⊥CD，垂足為E．分別在Rt△AEC和Rt△AED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長，然后相加即可．
【詳解】
解：如圖，過A作AE⊥CD，垂足為E．

則AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：鐵塔CD的高度約為68.5m．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關(guān)鍵．
37．如圖，為了測量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B兩點，使A、B、D三點在同一條直線上，拉姆同學(xué)在點A處測得該建筑物頂部C的仰角為30°，小明同學(xué)在點B處測得該建筑物頂部C的仰角為45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同學(xué)的身高忽略不計．結(jié)果精確到0.1m，≈1.732）

【答案】約為13.7m．
【分析】
連接AC、BC，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CD，AD＝CD，再由AB＝AD﹣BD，即可求解．
【詳解】
解：連接AC、BC，如圖所示：

由題意得：∠A＝30°，∠DBC＝45°，AB＝10m，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝tan45°＝1，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝tan30°＝，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD﹣BD＝CD﹣CD＝10（m），
解得：CD＝5＋5≈13.7（m），
答：建筑物CD的高度約為13.7m．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出BD＝CD，AD＝CD是解答本題的關(guān)鍵．
38．德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．
如圖①，點C把線段分成兩部分，如果，那么稱點C為線段的黃金分割點．


（1）特例感知：在圖①中，若，求的長；
（2）知識探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：
①作兩條相互垂直的直徑、；
②作的中點P，以P為圓心，為半徑畫弧交于點Q；
③以點A為圓心，為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦，連接；
則五邊形為正五邊形．
在該正五邊形作法中，點Q是否為線段的黃金分割點？請說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．
延長題（2）中的正五邊形的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點E是線段的黃金分割點，請利用題中的條件，求的值．
【答案】（1）61.8；（2）是，理由見解析；（3）
【分析】
（1）根據(jù)黃金分割的定義求解即可；
（2）設(shè)⊙O的半徑為a，則OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，繼而求出OQ，MQ，即可作出判斷；
（3）先求出正五邊形的每個內(nèi)角，即可得到∠PEA=∠PAE=，根據(jù)已知條件可知cos72°=，再根據(jù)點E是線段PD的黃金分割點，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵，
∴，
即，
解得：AC≈61.8；
（2）Q是線段OM的黃金分割點，理由如下：
設(shè)⊙O的半徑為a，則OA=ON=OM=a，


∴OP=，
∴，
∴OQ=PQ-OP=，
∴MQ=OM-OQ=，
，
∴Q是線段OM的黃金分割點；
（3）正五邊形的每個內(nèi)角為：，
∴∠PEA=∠PAE=，
∴cos72°=，
∵點E是線段PD的黃金分割點，
∴，
又∵AE=ED，
∴，
∴cos72°=．
【點睛】
本題考查黃金分割、勾股定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意正確解題．
39．如圖，在中，，點E在BC邊上，過A，C，E三點的交AB邊于另一點F，且F是弧AE的中點，AD是的一條直徑，連接DE并延長交AB邊于M點．

（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）當(dāng)時，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）連接，，證明，，即可得到結(jié)論；
（2）證明得，設(shè)，那么，，根據(jù)勾股定理求出，，再根據(jù)正弦的定義求解即可
【詳解】
解：（1）證明：連接，，則，

，，
∵F是的中點，
，
∴，
∵
∴
∵
∴，
，
；
∵，
．
即，
四邊形CDMF是平行四邊形．
（2）由（1）可知：四邊形ACDF是矩形，
，
由
∴，
∵BM//CD

，
設(shè)，那么，，
在中，，

在中，
在中，．
【點睛】
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
40．如圖，正方形中，點E在邊上（不與端點A，D重合），點A關(guān)于直線的對稱點為點F，連接，設(shè)．

（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）過點C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，點E的對應(yīng)點為點H，連接，．當(dāng)為等腰三角形時，求的值．
【答案】(1) ．
(2)DG//CF．理由見解析．
(3) ．
【分析】
(1)作輔助線BF，用垂直平分線的性質(zhì)，推導(dǎo)邊相等、角相等．再用三角形內(nèi)角和為 算出 ．
(2)作輔助線BF、AC，先導(dǎo)角證明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形．再證明 、，最后用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，證得DG//CF．
(3) 為等腰三角形，要分三種情況討論：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根據(jù)題目具體條件，舍掉了②、③種，第①種用正弦函數(shù)定義求出比值即可．
【詳解】
(1)解：連接BF，設(shè)AF和BE相交于點N．

點A關(guān)于直線BE的對稱點為點F
BE是AF的垂直平分線
，AB=BF




四邊形ABCD是正方形
AB=BC，



．
(2) 位置關(guān)系：平行．
理由：連接BF，AC，DG
設(shè)DC和FG的交點為點M，AF和BE相交于點N

由(1)可知，






是等腰直角三角形

四邊形ABCD是正方形

是等腰直角三角形


垂直平分AF


在 和 中，





在 和 中，





CF//DG
(3)為等腰三角形有三種情況：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三種情況討論：
①當(dāng)FH=BH時，作 于點M

由(1)可知：AB=BF，
四邊形ABCD是正方形

設(shè)AB=BF=BC=a
將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到


FH=BH


是等腰三角形，

在 和 中，



BM=AE=


②當(dāng)BF=FH時，
設(shè)FH與BC交點為O

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到

由(1)可知：





此時， 與 重合，與題目不符，故舍去
③當(dāng)BF=BH時，

由(1)可知：AB=BF
設(shè)AB=BF=a
四邊形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而題目中，BC、BH分別為直角三角形BCH的直角邊和斜邊，不能相等，與題目不符，故舍去．
故答案為：
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理(三角形內(nèi)角和為 )、平行線證明(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)、相似三角形證明(兩組對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似)、等腰直角三角形三邊比例關(guān)系()、正弦函數(shù)定義式(對邊：斜邊) ．



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