1.2　直線的方程1.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程課標(biāo)要求　1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程.2.會(huì)利用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決有關(guān)問題.3.了解直線的斜截式與一次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系.素養(yǎng)要求　通過(guò)推導(dǎo)直線的點(diǎn)斜式及斜截式方程的過(guò)程，提升邏輯推理及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).一、直線的點(diǎn)斜式方程1.思考　(1)給定一個(gè)點(diǎn)P1(x1，y1)和斜率k(或傾斜角)就能確定一條直線.怎樣將直線上不同于P1的所有點(diǎn)的坐標(biāo)P(x，y)滿足的關(guān)系表達(dá)出來(lái)？提示　k＝.(2)對(duì)直線的點(diǎn)斜式方程y－y1＝k(x－x1)也可寫成k＝，對(duì)嗎？提示　不對(duì).前者含點(diǎn)(x1，y1)，后者不含點(diǎn)(x1，y1).2.填空　(1)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)且斜率為k的直線方程y－y1＝k(x－x1)叫作直線的點(diǎn)斜式方程.(2)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)且與x軸垂直的直線方程為x＝x1.溫馨提醒　(1)點(diǎn)斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在.若斜率不存在，則不能應(yīng)用此式.(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫為y＝y1，特別地，x軸的方程是y＝0.3.做一做　已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則(　　)A.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－1)，斜率為－1B.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，斜率為－1C.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－1)，斜率為1D.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1答案　D解析　直線方程y＋2＝－x－1可化為y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以該直線過(guò)定點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1.二、直線的斜截式方程1.思考　(1)直線l上給定一個(gè)點(diǎn)P0(0，b)和斜率k，求直線l的方程.提示　y＝kx＋b.(2)對(duì)于y＝kx＋b，當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b是一次函數(shù)嗎？提示　y＝b不是一次函數(shù)，但一次函數(shù)的圖象必是一條直線.2.填空　已知直線l的斜率為k，與y軸的交點(diǎn)是P(0，b)，則直線l的方程為y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.稱b為直線l在y軸上的截距.方程由直線l的斜率和它在y軸上的截距確定，這個(gè)方程也叫作直線的斜截式方程.溫馨提醒　(1)斜截式方程應(yīng)用的前提是直線的斜率存在.(2)縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.3.做一做　已知直線l的方程為y＋＝(x－1)，則l在y軸上的截距為(　　)A.9  B.－9  C.  D.－答案　B解析　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9.∴l在y軸上的截距為－9.題型一　求直線的點(diǎn)斜式方程例1 根據(jù)條件寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：(1)過(guò)點(diǎn)A(－4，3)，斜率k＝3；(2)過(guò)點(diǎn)B(－1，4)，傾斜角為135°；(3)過(guò)點(diǎn)C(－1，2)，且與y軸平行；(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(1，1)，且與x軸垂直.解　(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為y－3＝3[x－(－4)].(2)由題意知，直線的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直線的點(diǎn)斜式方程為y－4＝－[x－(－1)].(3)∵直線與y軸平行，∴斜率不存在.由于直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是－1，故這條直線的方程為x＝－1，該直線沒有點(diǎn)斜式方程.(4)由題意可知直線的斜率不存在，所以直線的方程為x＝1，該直線沒有點(diǎn)斜式方程.思維升華　求直線的點(diǎn)斜式方程的思路特別提醒　只有在斜率存在的情況下才可以使用點(diǎn)斜式方程.訓(xùn)練1 根據(jù)條件寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，5)，斜率是4；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，3)，傾斜角是45°；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－1，－1)，與x軸平行.解　(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為y－5＝4(x－2)；(2)∵直線的斜率k＝tan 45°＝1，∴直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝x－2；(3)y＋1＝0.題型二　求直線的斜截式方程例2 根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.解　(1)由直線方程的斜截式可知，所求直線方程為y＝2x＋5.(2)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.由斜截式可得方程為y＝－x－2.(3)∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan 60°＝.∵直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.思維升華　直線的斜截式方程的求解策略：(1)求直線的斜截式方程只要分別求出直線的斜率和直線在y軸上的截距，代入斜截式方程即可.(2)當(dāng)斜率和截距未知時(shí)，可結(jié)合已知條件，先求出斜率和直線在y軸上的截距，再寫出直線的斜截式方程.訓(xùn)練2 寫出下列直線的斜截式方程：(1)直線斜率是3，在y軸上的截距是－3；(2)直線傾斜角是60°，在y軸上的截距是5；(3)直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為－2.解　(1)由直線方程的斜截式可知，所求方程為y＝3x－3.(2)∵k＝tan 60°＝，∴所求直線的斜截式方程為y＝x＋5.(3)∵直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為－2，∴直線過(guò)點(diǎn)(4，0)和(0，－2).∴k＝＝，∴所求直線的斜截式方程為y＝x－2.題型三　點(diǎn)斜式、斜截式方程的綜合應(yīng)用例3 已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，1)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點(diǎn)斜式方程.解　由題意設(shè)所求直線的點(diǎn)斜式方程為y－1＝k(x－4)(k<0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1－4k>0；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4－>0.由題意，得×(1－4k)·(4－)＝8，解得k＝－.所以直線l的點(diǎn)斜式方程為y－1＝－(x－4).思維升華　在利用直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程表示縱、橫截距，從而進(jìn)一步表示直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積時(shí)，要注意截距并非一定是三角形的邊長(zhǎng)，要根據(jù)斜率進(jìn)行判斷，當(dāng)正負(fù)不確定時(shí)，要進(jìn)行分類討論.訓(xùn)練3 已知直線l的斜率為，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求直線l的方程.解　設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，則x＝0時(shí)，y＝b；y＝0時(shí)，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直線l的方程為y＝x＋1或y＝x－1.[課堂小結(jié)]1.牢記2個(gè)直線方程(1)點(diǎn)斜式方程.(2)斜截式方程.2.掌握3種規(guī)律方法(1)求點(diǎn)斜式方程的方法步驟.(2)斜截式方程的求解策略.(3)含參數(shù)方程問題的求解.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)本節(jié)的易錯(cuò)點(diǎn)是利用斜截式方程求參數(shù)時(shí)易漏掉斜率不存在的情況.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，2)且斜率為2的直線方程為(　　)A.y＝－2x－2  B.y＝2x－2C.y＝2x＋2  D.y＝－2x＋2答案　C解析　由點(diǎn)斜式可得：y－2＝2(x－0)，化為y＝2x＋2.故選C.2.直線l的傾斜角為45°，且過(guò)點(diǎn)(0，－1)，則直線l的方程是(　　)A.y＝x＋1  B.y＝x－1C.y＝－x＋1  D.y＝－x－1答案　B解析　∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為1，又∵直線過(guò)點(diǎn)(0，－1)，∴直線l的方程為y＋1＝x，整理可得y＝x－1，故選B.3.(多選)給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是(　　)A.方程k＝與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線B.直線l過(guò)點(diǎn)P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1C.直線l過(guò)點(diǎn)P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y1D.所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程答案　BC解析　A不正確，方程k＝不含點(diǎn)(－1，2)；B正確，C正確，D只有斜率k存在時(shí)成立.4.(多選)在同一直角坐標(biāo)系中，下列選項(xiàng)能正確表示直線y＝ax與y＝x＋a的是(　　)答案　BC解析　①當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax的傾斜角為銳角，直線y＝x＋a在y軸上的截距a>0，B成立；②當(dāng)a＝0時(shí)，直線y＝ax的傾斜角為0°，A，B，C，D都不成立；③當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax的傾斜角為鈍角，直線y＝x＋a的傾斜角為銳角且在y軸上的截距a<0，C成立.5.已知直線y＝kx＋1－3k，當(dāng)k變化時(shí)，所有的直線恒過(guò)定點(diǎn)(　　)A.(1，3)  B.(－1，－3)C.(3，1)  D.(－3，－1)答案　C解析　直線y＝kx＋1－3k變形為y－1＝k(x－3)，由直線的點(diǎn)斜式可得直線恒過(guò)定點(diǎn)(3，1).6.直線y＝2x－5在y軸上的截距是________.答案　－5解析　令x＝0，則y＝－5，∴直線y＝2x－5在y軸上的截距是－5.7.在y軸上的截距為－6，且與y軸相交成30°角的直線方程是________.答案　y＝x－6或y＝－x－6解析　與y軸相交成30°角的直線的斜率為k＝tan 60°＝，或k＝tan 120°＝－，∴在y軸上的截距為－6，且與y軸相交成30°角的直線方程是y＝x－6或y＝－x－6.8.直線y＝kx＋2(k∈R)不過(guò)第三象限，則斜率k的取值范圍是________.答案　(－∞，0]解析　當(dāng)k＝0時(shí)，直線y＝2不過(guò)第三象限；當(dāng)k>0時(shí)，直線過(guò)第三象限；當(dāng)k<0時(shí)，直線不過(guò)第三象限.綜上，k≤0.9.寫出下列直線的斜截式方程：(1)直線的傾斜角為45°且在y軸上的截距是2；(2)直線過(guò)點(diǎn)A(3，1)且在y軸上的截距是－1.解　(1)斜率k＝tan 45°＝1，可得斜截式方程為y＝x＋2.(2)由題意知直線過(guò)點(diǎn)(3，1)，(0，－1)，∴斜率k＝＝，可得斜截式方程為y＝x－1.10.直線l1過(guò)點(diǎn)P(－1，2)，斜率為－，把l1繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°角得直線l2，求直線l1和l2的點(diǎn)斜式方程.解　直線l1的方程是y－2＝－(x＋1).∵k1＝－＝tan α1，又0°≤α1<180°，∴α1＝150°.如圖，l1繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到直線l2的傾斜角為α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴直線l2的方程為y－2＝－(x＋1).二、能力提升11.(多選)直線(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y軸上的截距為1，則m的值可以是(　　)A.－2  B.－C.  D.2答案　CD解析　令x＝0，得y＝.由已知得＝1，解得m＝2或，符合題意.12.斜率為，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的周長(zhǎng)是12的直線方程是________.答案　y＝x±3解析　設(shè)所求直線方程為y＝x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.由題意得：|b|＋＋＝12，即|b|＋|b|＋|b|＝12，即4|b|＝12，∴b＝±3，∴所求直線方程為y＝x±3.13.已知直線l：y＝kx＋2k＋1.(1)求證：直線l恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；(2)當(dāng)－3<x<3時(shí)，直線上的點(diǎn)都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)證明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)(－2，1).(2)解　設(shè)函數(shù)f(x)＝kx＋2k＋1，顯然其圖象是一條直線(如圖所示)，若使當(dāng)－3<x<3時(shí)，直線上的點(diǎn)都在x軸上方，需滿足即解得－≤k≤1.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.三、創(chuàng)新拓展14.已知直線l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R).(1)若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程.解　(1)直線l的方程可化為y＝kx＋2＋4k，則直線在y軸上的截距為4k＋2，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，需滿足解得k≥0，故k的取值范圍是[0，＋∞).(2)依題意，直線l在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為4k＋2，且k>0，所以A，B(0，4k＋2)，故S＝|OA|·|OB|＝＝2≥2×(4＋4)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時(shí)取等號(hào)，故S的最小值為16，此時(shí)直線l的方程為y＝x＋4. 

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.3 兩條直線的平行與垂直

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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