1.2.3　直線的一般式方程課標(biāo)要求　1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式間的轉(zhuǎn)化.素養(yǎng)要求　通過學(xué)習(xí)直線的一般式方程，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).1.思考　直線y＝2x＋1可以化成二元一次方程嗎？方程2x－y＋3＝0表示一條直線嗎？提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程，2x－y＋3＝0可以化為y＝2x＋3，可以表示直線.2.填空　(1)直線與二元一次方程的關(guān)系①在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)來表示.②在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)都表示一條直線.(2)直線的一般式方程方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)叫作直線的一般式方程.溫馨提醒　直線的一般式方程的結(jié)構(gòu)特征(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程.(2)方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列.(3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).(4)雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程.3.做一做　與x軸平行且過點(diǎn)(0，6)的直線的一般式方程為(　　)A.x－6＝0  B.y－6＝0C.x＋y＝6  D.x－y＝6答案　B解析　直線與x軸平行，則斜率k＝0，又直線過點(diǎn)(0，6)，則直線方程為y－6＝0.題型一　直線的一般式方程例1 根據(jù)下列條件求直線的一般式方程.(1)直線的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)；(2)斜率為，且在y軸上的截距為4；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y軸上的截距分別為2，－4.解　(1)因?yàn)?/span>k＝2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.(2)由直線的斜率k＝，且在y軸上的截距為4，得直線的斜截式方程為y＝x＋4.整理可得直線的一般式方程為x－y＋4＝0.(3)由直線的兩點(diǎn)式方程可得＝，整理得直線的一般式方程為2x－3y－13＝0.(4)由直線的截距式方程可得＋＝1，整理得直線的一般式方程為2x－y－4＝0.思維升華　求直線的一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋y＋＝0，只需求，的值；當(dāng)B≠0時(shí)，方程化可為x＋y＋＝0，只需確定，的值.因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程.(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.訓(xùn)練1 根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)A(5，3)；(2)經(jīng)過A(－1，5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(3)在x軸、y軸上的截距分別為－3，－1；(4)經(jīng)過點(diǎn)B(4，2)，且平行于x軸.解　(1)由點(diǎn)斜式，得直線方程為y－3＝(x－5)，化為一般式方程為x－y－5＋3＝0.(2)由兩點(diǎn)式，得直線方程為＝，化為一般式方程為2x＋y－3＝0.(3)由截距式，得直線方程為＋＝1，化為一般式方程為x＋3y＋3＝0.(4)由題意，得直線方程為y＝2，化為一般式方程為y－2＝0.題型二　直線一般式方程的應(yīng)用例2 設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解　(1)當(dāng)直線在x軸上的截距為－3時(shí)，有＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－.(2)當(dāng)斜率為－1時(shí)，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.思維升華　已知含參數(shù)的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟訓(xùn)練2 直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解　(1)①當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當(dāng)a≠－1時(shí)，令x＝0，則y＝a－2，令y＝0，則x＝.∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴a－2＝，解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.(2)直線l的方程可化為y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不經(jīng)過第二象限，只需解得a≤－1.∴a的取值范圍為(－∞，－1].題型三　直線方程的實(shí)際應(yīng)用例3 一根鐵棒在20 ℃時(shí)，長10.402 5米，在40 ℃時(shí)，長10.405 0米，已知長度l和溫度t的關(guān)系可以用直線方程來表示，試求出這個(gè)方程，并且根據(jù)這個(gè)方程求這根鐵棒在25 ℃時(shí)的長度.解　由題意這條直線經(jīng)過兩點(diǎn)(20，10.402 5)和(40，10.405 0)，根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，得＝，即l＝0.002 5·＋10.400 0，當(dāng)t＝25 ℃時(shí)，l＝0.002 5×＋10.400 0＝0.003 125＋10.400 0＝10.403 125，即當(dāng)t＝25 ℃時(shí)，鐵棒長為10.403 125米.思維升華　在解決實(shí)際問題時(shí)，選擇直線方程的形式不同，導(dǎo)致運(yùn)算的繁簡程度也不一樣，故應(yīng)因題而異，尋找解題的最佳方法.訓(xùn)練3 某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元.一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與應(yīng)付電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差________元. 答案　10解析　設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，由圖知當(dāng)t＝100時(shí)，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，故當(dāng)t＝150時(shí)，150k2－150k1－20＝150×－20＝10，即打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差10元.[課堂小結(jié)]1.重點(diǎn)掌握2種方法(1)求直線一般式方程的策略.(2)一般式方程和其他幾種形式方程之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用.2.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)方程Ax＋By＋C＝0表示一條直線時(shí)，A，B必不能同時(shí)為0.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.過點(diǎn)(－3，0)和(0，4)的直線的一般式方程為(　　)A.4x＋3y＋12＝0  B.4x＋3y－12＝0C.4x－3y＋12＝0  D.4x－3y－12＝0答案　C解析　由截距式得直線方程為＋＝1，整理得4x－3y＋12＝0.2.斜率為－3，且在x軸上的截距為2的直線的一般式方程是(　　)A.3x＋y－6＝0  B.3x－y－6＝0C.3x＋y＋6＝0  D.x＋3y－6＝0答案　A解析　由點(diǎn)斜式得直線方程為y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.3.(多選)若A·C<0，B·C<0，則直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)經(jīng)過(　　)A.第一象限  B.第二象限C.第三象限  D.第四象限答案　ABD解析　由題意知B≠0，所以Ax＋By＋C＝0可化為y＝－x－.因?yàn)?/span>A·C<0，B·C<0，所以－<0，－>0，所以該直線經(jīng)過第一、二、四象限.故選ABD.4.已知直線3x－3y＋10＝0，則此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為(　　)A.  B.C.  D.10答案　C解析　此直線在x軸、y軸上的截距分別為－，，則三角形的周長為＋＋×＝.5.若直線(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的傾斜角為45°，則實(shí)數(shù)a＝(　　)A.－  B.3 C.－3  D.答案　A解析　由題意知，直線的斜率k＝1，∴解得a＝－.6.斜率為3，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，－3)的直線的一般式方程為________.答案　3x－y－6＝0解析　直線的點(diǎn)斜式方程為y－(－3)＝3(x－1)，整理可得直線的一般式方程為3x－y－6＝0.7.直線l的方程為Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，若l經(jīng)過原點(diǎn)和第二、四象限，則A，B，C應(yīng)滿足________.答案　AB>0且C＝0解析　l過原點(diǎn)，則C＝0，又l過第二、四象限，則－<0，即>0，即AB>0.8.設(shè)a＋b＝k(k≠0，k為常數(shù))，則直線ax＋by＝1恒過定點(diǎn)________.答案　解析　ax＋by＝1可變形為ax＋(k－a)y＝1，a(x－y)＋ky－1＝0，上式對(duì)于任何a∈R都成立，則解得故直線ax＋by＝1恒過定點(diǎn).9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線.(1)求實(shí)數(shù)m需滿足的條件；(2)若該直線的斜率k＝1，求實(shí)數(shù)m的值.解　(1)由解得m＝2.又方程表示直線時(shí)，m2－3m＋2與m－2不同時(shí)為0，故m≠2.(2)由題意知，m≠2，且－＝1，解得m＝0.10.已知在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各邊所在直線的方程.解　設(shè)AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，其中D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)B在中線BE：y－1＝0上，∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，1).又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，D為AB的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D點(diǎn)坐標(biāo)為.又∵點(diǎn)D在中線CD：x－2y＋1＝0上，∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(5，1).同理可求出C的坐標(biāo)是(－3，－1).故可求出△ABC三邊AB，BC，AC所在直線的方程分別為x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.二、能力提升11.(多選)下列說法中正確的是(　　)A.平面上任一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)表示B.當(dāng)C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)表示的直線過原點(diǎn)C.當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與x軸平行D.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化答案　ABC解析　A說法正確，因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，每一條直線都有傾斜角α，當(dāng)α≠90°時(shí)，直線的斜率k存在，其方程可寫成y＝kx＋b，它可變形為kx－y＋b＝0，與Ax＋By＋C＝0比較，A＝k，B＝－1，C＝b；當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，其方程可寫成x＝x1，它可變形為x－x1＝0，與Ax＋By＋C＝0比較，A＝1，B＝0，C＝－x1，顯然A，B不全為0，所以此說法是正確的；B說法正確，因?yàn)楫?dāng)C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)即Ax＋By＝0，顯然有A·0＋B·0＝0，即直線過原點(diǎn)O(0，0)；C說法正確，因?yàn)楫?dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0可化為y＝－，它表示的直線與x軸平行；D說法顯然錯(cuò)誤.12.已知兩條直線a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都過點(diǎn)A(2，3)，則過兩點(diǎn)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直線方程為________________.答案　2x＋3y＋4＝0解析　由條件知易知兩點(diǎn)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直線2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0為所求.13.已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.(1)證明　將直線l的方程整理為y－＝a，∴l的斜率為a，且過定點(diǎn)A，而點(diǎn)A在第一象限，故不論a為何值，l恒過第一象限.(2)解　要使l不經(jīng)過第二象限，需a≥0且l在y軸上的截距不大于零，即∴a≥3.綜上，a的取值范圍為[3，＋∞).三、創(chuàng)新拓展14.一河流同側(cè)有兩個(gè)村莊A，B，兩村莊計(jì)劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問：水電站建于何處，送電到兩村的電線用料最?。?/span>解　如圖，以河流所在直線為x軸，y軸通過點(diǎn)A，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(0，300)，B(x，700).設(shè)B點(diǎn)在y軸上的射影為H，連接BH，則x＝BH＝＝300，故點(diǎn)B(300，700).設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，－300)，連接A′B，與x軸交于點(diǎn)P，則直線A′B的斜率k＝，直線A′B的方程為y＝x－300.令y＝0得x＝90，得點(diǎn)P(90，0)，故水電站建在河邊P(90，0)處電線用料最省. 

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.3 兩條直線的平行與垂直

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