1.理解兩條直線平行與垂直的判定條件.2.能應(yīng)用兩條直線平行或垂直解決有關(guān)問(wèn)題.
通過(guò)學(xué)習(xí)兩條直線平行與垂直的判定，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究
互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識(shí)探究
一、兩條直線平行1.思考　(1)在平面幾何中，兩條平行直線被第三條直線所截形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角有什么關(guān)系？提示　兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).(2)平面中的兩條平行直線被x軸所截形成的同位角相等，而傾斜角是一對(duì)同位角，因此可以得出什么結(jié)論？提示　兩直線平行，傾斜角相等.
2.填空　(1)若直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2，則l1∥l2?________________________ (k1，k2均存在).(2)設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則l1∥l2?_______________________________________________.
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
溫馨提醒　在判斷兩條不重合的直線是否平行時(shí)，首先判斷兩條直線的斜率是否存在，若存在且相等，則兩者平行；若斜率都不存在，兩者仍然平行.
3.做一做　已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，則直線AB與直線CD(　　)A.平行 B.垂直C.重合 D.以上都不正確
二、兩條直線垂直1.思考　(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的條件是什么？提示　兩條直線的斜率都存在.(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為－1嗎？提示　不一定，當(dāng)一條直線斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩直線也垂直.
溫馨提醒　(1)當(dāng)直線l1⊥l2時(shí)，有k1k2＝－1或其中一條直線垂直于x軸，另一條直線垂直于y軸；而若k1k2＝－1，則一定有l(wèi)1⊥l2.(2)當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，若兩條直線有垂直關(guān)系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜率.
2.填空　(1)如圖①，若兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于______，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?________________ (k1，k2均存在).(2)如圖②，若l1與l2中的一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是______.
(3)設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則l1⊥l2?________________________.
A1A2＋B1B2＝0
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動(dòng)合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
例1 判斷下列各題中直線l1與l2是否平行.(1)l1的斜率為1，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，1)，Q(3，3)；(2)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，2)，B(－3，10)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(5，－2)，D(5，5)；
題型一　兩直線平行的判定
(3)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，B(1，0)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－1，3)，D(2，0)；(4)l1：x－3y＋2＝0，l2：4x－12y＋1＝0.
判斷兩條直線平行的方法
(2)利用l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
訓(xùn)練1 根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2的位置關(guān)系.(1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(－3，5)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)；
(3)l1的方程可變形為y＝x＋2，l2的方程可變形為y＝x＋2，所以直線l1與l2重合.
例2 判斷下列各題中直線l1與l2是否垂直.(1)直線l1：2x－4y＋7＝0，直線l2：2x＋y－5＝0；
題型二　兩直線垂直的判定
法二　∵2×2＋(－4)×1＝0，∴l(xiāng)1⊥l2.
(2)直線l1：y－2＝0，直線l2：x－ay＋1＝0；
∵k1·k2≠－1，∴兩條直線不垂直.
(1)判斷兩直線是否垂直的依據(jù)是：當(dāng)這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行(或重合)時(shí)，兩直線也垂直.(2)直接使用A1A2＋B1B2＝0判斷兩條直線垂直.
訓(xùn)練2 判斷下列各組中的直線l1與l2是否垂直.(1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－2)，B(1，2)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10，2)，B(20，3)；(3)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，4)，B(3，100)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－10，40)，N(10，40).
題型三　已知平行和垂直求直線方程或參數(shù)
例3 (1)求與直線3x＋4y＋1＝0平行，且過(guò)點(diǎn)(1，2)的直線l的方程.
解　法一　設(shè)直線l的斜率為k，∵直線l與直線3x＋4y＋1＝0平行，
法二　設(shè)與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠1).∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，∴所求直線l的方程為3x＋4y－11＝0.
(2)若直線3x＋2y＋4＝0與直線(a＋2)x＋3y＋1＝0垂直，求a的值.解　由題意知：3·(a＋2)＋2×3＝0，解得a＝－4.
(1)已知兩直線的位置關(guān)系(平行或垂直)求直線方程或參數(shù)，是一個(gè)重點(diǎn)題型，解題時(shí)要充分利用已知條件判斷斜率是否存在，若存在，再結(jié)合其他條件求解，若不存在，再討論求解.(2)與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)平行的直線可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)垂直的直線可設(shè)為Bx－Ay＋D＝0.
訓(xùn)練3 (1)求過(guò)點(diǎn)(2，3)，且與直線2x＋y＋2＝0垂直的直線的方程；
法二　由題意，設(shè)所求直線方程為x－2y＋D＝0.∵所求直線過(guò)點(diǎn)(2，3)，∴2－2×3＋D＝0，∴D＝4，∴所求直線方程為x－2y＋4＝0.
(2)若直線mx－2y＋1＝0與直線x－(m－1)y－1＝0平行，求m的值.
題型四　平行與垂直的綜合應(yīng)用
例4 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定四邊形ABCD的形狀.
解　A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如圖：
∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD與BC不平行.
利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟
訓(xùn)練4 已知點(diǎn)A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?.
解　設(shè)所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，如圖所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角腰.(1)若CD是直角梯形的直角腰，則BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，從而有x＝3.
(2)若AD是直角梯形的直角腰，則AD⊥AB，AD⊥CD，
1.牢記兩條直線平行或垂直的判定條件.2.掌握3種解決問(wèn)題的方法(1)判斷兩條直線平行或垂直的步驟.(2)已知平行或垂直求直線方程或參數(shù).(3)在兩條直線平行或垂直關(guān)系的判斷中體會(huì)分類討論的思想.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)利用斜率判斷含字母參數(shù)的兩條直線平行或垂直時(shí)，要對(duì)字母分類討論.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達(dá)成
1.已知A(2，0)，B(3，3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于(　　)
解析　因?yàn)橹本€l∥AB，
2.若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)m等于(　　)
解析　由兩直線垂直，得1×2＋(－2)·m＝0，解得m＝1.
3.下列說(shuō)法正確的有(　　)①若兩直線斜率相等，則兩直線平行；②若l1∥l2，則k1＝k2；③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交；④若兩條直線的斜率都不存在，則兩直線平行.A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)
解析　當(dāng)兩直線斜率相等或都不存在時(shí)，兩直線平行或者重合，故①④不成立；l1∥l2時(shí)，斜率可能不存在，故②不成立；③正確.
4.(多選)若直線kx＋(1－k)y－3＝0和直線(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0垂直，則k的值可以是(　　)A.－3 B.3C.1 D.－1
解析　因?yàn)橹本€kx＋(1－k)y－3＝0和直線(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0垂直，所以k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，解得k＝1或k＝－3.
5.(多選)已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值可以為(　　)A.0 B.1C.2 D.3
解析　當(dāng)AB與CD斜率均不存在時(shí)，m＝0，此時(shí)AB∥CD；當(dāng)kAB＝kCD時(shí)，m＝1，此時(shí)AB∥CD.綜上，m的值為0或1.
6.若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點(diǎn)A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.
9.已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點(diǎn)，求點(diǎn)D，使直線CD⊥AB，且CB∥AD.
因?yàn)镃D⊥AB，且CB∥AD，所以kCD·kAB＝－1，且kCB＝kAD，
10.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)，求△ABC的邊BC上的高AD的斜率和垂足D的坐標(biāo).
11.已知點(diǎn)A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，點(diǎn)D在x軸上，則當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為________時(shí)，AB⊥CD.
所以直線CD的斜率存在.則由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
12.已知直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根，若l1⊥l2，則b＝________；若l1∥l2，則b＝________.
14.已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形.
∵四邊形ABCD是直角梯形，∴有以下兩種情形：①AB∥CD，AB⊥AD，
由圖可知A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1.
②AD∥BC，AD⊥AB，

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.3 兩條直線的平行與垂直

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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