教學(xué)目標(biāo)
1.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義；
2.會(huì)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相關(guān)問(wèn)題；
3.通過(guò)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
難點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)．
教學(xué)過(guò)程
一、新課導(dǎo)入
回顧：前面我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列，你能說(shuō)出等比數(shù)列的概念嗎？
答案：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么稱這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.
由此定義可知，對(duì)等比數(shù)列{an}，若公比為q，有
anan?1=q(n≥2)或 an+1an=q.
追問(wèn)：類比等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程，接下來(lái)我們應(yīng)該研究什么呢？
答案：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
二、新知探究
問(wèn)題1：設(shè)an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則你能寫出第n項(xiàng)an嗎？
答案： a2=2×3，
a3=2×3×3=2×32，
a4=2×32×3=2×33，
…
an= 2×3n?1.
問(wèn)題2：如果數(shù)列an是等比數(shù)列，且已知它的首項(xiàng)a1和公比q，你能嘗試根據(jù)定義推導(dǎo)出它的通項(xiàng)公式嗎？
方法1：由等比數(shù)列的定義，可知：
a2a1=a3a2=a4a3=…=anan?1=…q.
從而，
a2=a1q，
a3=a2q=a1qq=a1q2，
a4=a3q=a1q2q=a1q3，
…
由此得到 an=a1qn?1.
當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1q1?1=a1q0=a1.
所以，這個(gè)公式對(duì)n=1時(shí)也成立.
這就是說(shuō)：若首項(xiàng)是a1，公比是q，則等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為
an=a1qn?1(a1≠0，q≠0).
思考：我們知道等差數(shù)列還可以用累加法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，由類比的思想方法，從運(yùn)算角度出發(fā)，還可以用什么方法推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？
方法2：根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得
a2a1=q，
a3a2=q，
a4a3=q，
……
anan?1=q.
把以上各式依次相乘，得
a2a1·a3a2·a4a3·…·anan?1=q·q·q·…·q=qn?1 .
由此得到 an=a1qn?1.
當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1q1?1=a1q0=a1.
所以，這個(gè)公式對(duì)n=1時(shí)也成立.
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
若首項(xiàng)是a1，公比是q，則等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1qn?1(a1≠0，q≠0).
練一練：你能分別寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？
1，2，4，8，16，32，64，128. ①
12，14，18，116，132，…. ②
答案:數(shù)列①：an=2n?1；數(shù)列②： an=(12)n.
問(wèn)題3：若已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3×2n?3，能否求出首項(xiàng)a1和公比q.
答案：a1=3×21?3=34，
a2=3×22?3=32，
所以 q=a2a1=3234=2.
思考：能否畫出上面的等比數(shù)列an=3×2n?3的圖象？
追問(wèn)1：類比等差數(shù)列的圖象，想一想an=3×2n?3的圖象與哪個(gè)函數(shù)有關(guān)？
答案：an=3×2n?3=38×2n是一個(gè)常數(shù)與指數(shù)式的乘積，與函數(shù)y=38×2x有關(guān).
追問(wèn)2：an=38×2n的圖象有什么特征？
答案：它是函數(shù)y=38×2x的圖象上一些間隔的點(diǎn)(n，an)，自變量取正整數(shù).
問(wèn)題4：對(duì)于等比數(shù)列an=a1qn?1(a1≠0，q≠0)，當(dāng)公比 q 滿足什么條件時(shí)可以與相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)建立聯(lián)系？
答案：an=a1qn?1=a1q·qn，當(dāng)q>0 且 q≠1時(shí)，an與n之間的函數(shù)關(guān)系可表示為
fx= a1q·qx(x∈N*)，圖象為fx上一些間隔的點(diǎn)，且自變量取正整數(shù)，如圖所示：
思考：如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=aqn，其中a，q都是不為0的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？
答案：是等比數(shù)列.證明如下：
由an=aqn得an+1=aqn+1，
所以an+1an=aqn+1aqn=q，
因?yàn)閝是不為0的常數(shù)，
所以數(shù)列an是等比數(shù)列.
問(wèn)題5：類比等差數(shù)列，等比數(shù)列也有下標(biāo)和性質(zhì)嗎？
等比數(shù)列an中，若m，n，r，s∈N*，且m+n=r+s，則am·an=ar·as．
證明：設(shè)公比為q，因?yàn)閍n=a1qn?1，
所以am·an=a1qm?1·a1qn?1=a12qm+n?2，
ar·as=a1qr?1·a1qs?1=a12qr+s?2.
又因?yàn)閙+n=r+s，
所以am·an=ar·as．
特別地，若2p=m+n，則ap2=am·an．
練一練：遞增等比數(shù)列an中，a3+a6=9，a4a5=8，則數(shù)列an的公比q為______．
答案：由等比數(shù)列的性質(zhì)知a4a5=a3a6=8，
又a3+a6=9，且an是遞增數(shù)列，
所以a3=1，a6=8，
所以q3=a6a3=8
所以公比q=2．
小結(jié)：解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，首先要有運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)的意識(shí)，然后仔細(xì)觀察各項(xiàng)下標(biāo)之間的關(guān)系，以尋求滿足數(shù)列性質(zhì)的條件，這樣能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究熟悉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及常用性質(zhì)，并會(huì)靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式及性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.同時(shí)體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,
三、應(yīng)用舉例
在等比數(shù)列an中，
（1）已知a1=3，q=?2，求a6.
（2）已知a3=20，a6=160，求an.
解：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得
a6=3×(?2)6?1=?96.
（2）（方法一）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么
a1q2=20， a1q5=160.
解得 q=2，a1=5.
所以 an=a1qn?1=5×2n?1.
（方法二）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有
q3=a6a3=16020=8，
解得 q=2，
所以 an=a3qn?3=20×2n?3=5×2n?1.
小結(jié)：等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=a1qn?1可以推廣到an=amqn?m.
在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.
解：設(shè)插入3個(gè)數(shù)為a2，a3，a4.由題意得
243，a2，a3，a4，3
成等比數(shù)列.
設(shè)公比為q，則 3=243×q5?1，
解得 q=±13.
因此，所求3個(gè)數(shù)為81，27，9或?81，27，?9.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如何利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解相關(guān)量．
四、課堂練習(xí)
1.已知等比數(shù)列{an}中，a1=?2，a3=?8，則an=___________．
2.在等比數(shù)列an中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11的值為________.
3.在等比數(shù)列an中,已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n.
4.某人買了一輛價(jià)值10萬(wàn)元的新車，專家預(yù)測(cè)這種車每年按10%的速度貶值．
(1)用一個(gè)式子表示第n (n∈N+)年這輛車的價(jià)值；
(2)如果他打算用滿3年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？
參考答案：
1.解：∵a1=?2，a3=?8，
∴a3a1=q2=?8?2=4，∴q=±2，
∴an=?2×2n?1或an=?2×?2n?1，
即an=?2n或an=?2n.
2.解：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，
∴a8a9a10a11=25.
3. 解：（方法一）由已知可得
a2+a5=a1q+a1q4=18， ①a3+a6=a1q2+a1q5=9， ②
由②①得q=12，將q的值代入①得a1=32.
又因?yàn)閍n=1，所以32×(12)n?1=1，
即26?n=20=1，所以n=6.
（方法二）因?yàn)閍3+a6=q(a2+a5)，
所以q=12.
由a1q+a1q4=18，得a1=32.
又因?yàn)閍n=1，所以32×(12)n?1=1，
即26?n=20=1，所以n=6.
4.解：(1)從第一年起，每年車的價(jià)值(萬(wàn)元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，
由題意得a1=10，a2=10×(1?10%)，
a3=10(1?10%)2，….
由等比數(shù)列定義知數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝10，公比q=1?10%=0.9，
所以an=a1qn?1=10×0.9n?1.
所以第n年車的價(jià)值為an=10×0.9n?1萬(wàn)元．
(2)當(dāng)他用滿3年時(shí)，車的價(jià)值為a4=10×0.94?1=7.29 (萬(wàn)元)．
所以用滿3年賣掉時(shí)，他大概能得7.29萬(wàn)元．
五、課堂小結(jié)
方法總結(jié)：
①等比數(shù)列可以通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立條件確定.這兩個(gè)獨(dú)立條件可以是兩個(gè)基本量：首項(xiàng)與公比，也可以是數(shù)列中的任意兩項(xiàng).
②在等比數(shù)列的運(yùn)算中，可根據(jù)兩個(gè)條件列出關(guān)于a1，q的方程組求解；也可利用各項(xiàng)
之間的關(guān)系直接求解．
③對(duì)于等比數(shù)列an=a1qn?1=a1q·qn，當(dāng)q>0 且 q≠1時(shí)，an與n之間的函數(shù)關(guān)系可表示為fx= a1q·qx(x∈N*)，圖象為fx上一些間隔的點(diǎn)，且自變量取正整數(shù).
六、布置作業(yè)
教材第147頁(yè)練習(xí)第3，6題．

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4.3 等比數(shù)列

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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