第1章 直線與方程
1.5.2　點(diǎn)到直線的距離
課標(biāo)要求
1.探索并掌握點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式.2.會(huì)求點(diǎn)到直線的距離與兩平行直線間的距離.
素養(yǎng)要求
通過(guò)研究點(diǎn)到直線及兩平行線間的距離公式，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究
內(nèi)容索引
互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識(shí)探究
1
一、點(diǎn)到直線的距離1.思考　(1)原點(diǎn)O到直線x＋2y－5＝0的距離是多少？
在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax＋
(2)如圖，
By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點(diǎn)P到直線l的距離呢？
提示　根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線l的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長(zhǎng)，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線l′，垂足為Q，
3.做一做　(多選)已知點(diǎn)M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實(shí)數(shù)m的值可以為(　　)
AB
二、兩條平行直線間的距離1.思考　已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？
提示　根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線l1上任
取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)P(x0，y0)到直線l2的距離就是直線l1與直線l2間的距離，這樣求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離.
2.填空　(1)兩平行線間的距離是指夾在兩條平行線間公垂線段的長(zhǎng)，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.
溫馨提醒　(1)兩條平行直線間的距離公式適用于兩條直線的方程都是一般式，并且x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等的情況，否則必須先化為對(duì)應(yīng)相等才能套用公式.(2)兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.
3.做一做　兩平行直線x＋y＋2＝0與x＋y－3＝0間的距離等于(　　)
A
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動(dòng)合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
2
例1 求過(guò)點(diǎn)P(1，2)且與點(diǎn)A(2，3)，B(4，－5)的距離相等的直線l的方程.
題型一　點(diǎn)到直線的距離
解　法一　由題意知kAB＝－4，線段AB的中點(diǎn)為C(3，－1)，所以過(guò)點(diǎn)P(1，2)與直線AB平行的直線方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直線符合題意.
法二　顯然所求直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y＝kx＋b，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式；(2)直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)中A＝0或B＝0時(shí)，公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可采用數(shù)形結(jié)合法求點(diǎn)到直線的距離.
訓(xùn)練1 已知點(diǎn)(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝(　　)
C
例2 (1)求兩平行直線l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0間的距離；
題型二　兩平行線間的距離
(2)求與兩條平行直線l1：2x－3y＋4＝0與l2：2x－3y－2＝0距離相等的直線l的方程.
即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直線l的方程為2x－3y＋1＝0.
訓(xùn)練2 (1)求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程；
解得C＝32或C＝－20，故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)兩平行直線l1，l2分別過(guò)P1(1，0)，P2(0，5)，若l1與l2的距離為5，求兩直線方程.
解　依題意得，兩直線的斜率都存在，設(shè)l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因?yàn)閘1與l2的距離為5，
所以l1和l2的方程分別為y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
題型三　利用距離公式解決最值問(wèn)題
例3 兩條互相平行的直線分別過(guò)A(6，2)和B(－3，－1)兩點(diǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d，求： (1)d的取值范圍；
(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程.
故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決.(2)數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到.當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍.
訓(xùn)練3 已知直線l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是____________.
x＋2y－3＝0
解析　當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大.因?yàn)锳(1，1)，B(0，－1).
課堂小結(jié)
1.牢記2個(gè)公式(1)點(diǎn)到直線的距離公式.(2)兩平行直線間的距離公式.2.重點(diǎn)掌握2種規(guī)律方法(1)點(diǎn)到直線的距離的求解方法.(2)求兩條平行直線間的距離的方法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求兩條平行線間距離時(shí)易用錯(cuò)公式.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達(dá)成
3
1.已知點(diǎn)(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為(　　)
D
2.兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于(　　)
C
3.若點(diǎn)P(a，0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
C
A.(7，＋∞) B.(－∞，－3)C.(－∞，－3)∪(7，＋∞) D.(－3，7)
即|3a－6|>15.故3a－6>15或3a－67或a

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.5 平面上的距離

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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