【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一 余弦定理
【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】
1．正弦定理和余弦定理
一．選擇題（共8小題）
1．中，角、、所對(duì)的邊為，，，若，，，則
A．B．C．D．
【分析】由已知直接利用余弦定理求解．
【解答】解：中，角、、所對(duì)的邊為，，，由，，，
得，
，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．在中，，，，則
A．1B．2C．D．
【分析】由已知直接利用余弦定理求解．
【解答】解：在中，由，，，
得，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
3．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則
A．B．C．D．
【分析】化簡已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可得的值．
【解答】解：因?yàn)樵谥?，?nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．在中，，則
A．B．C．D．
【分析】直接利用余弦定理求出，然后求出的大小即可．
【解答】解：因?yàn)樵谥校O(shè)、、所對(duì)的邊分別是、、，若，
由余弦定理可知，所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，解三角形的知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．
5．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則
A．B．C．3D．
【分析】根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，
則，
故，解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
6．中內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則
A．B．C．3D．7
【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由于，，，
利用余弦定理：；
故：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若的面積為，則
A．B．C．D．
【分析】直接利用余弦定理和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：的面積為，
所以，
整理得；
由于；
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理和三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理可求的值，可求．
【解答】解：由，可得，
，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
二．多選題（共4小題）
9．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則角可能等于
A．B．C．D．
【分析】由已知利用余弦定理可得，將各個(gè)選項(xiàng)的的值代入，求解的值即可判斷．
【解答】解：因?yàn)椋?br>又由余弦定理，
若，則，化簡可得，故錯(cuò)誤；
若，則，化簡可得，故正確；
若，則，化簡可得，故正確；
若，則，化簡可得，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
10．在中，若，則角的值可以為
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：在中，若，
可得，所以，
解得或．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，下列結(jié)論正確的是
A．若，則為等腰或直角三角形
B．若，則
C．若，則
D．若，，，則符合條件的有兩個(gè)
【分析】選項(xiàng)，利用正弦定理化邊為角，再由二倍角公式，推出或，得解；
選項(xiàng)，由余弦定理，即可得解；
選項(xiàng)，根據(jù)“大邊對(duì)大角”和正弦定理，得解；
選項(xiàng)，利用正弦定理求得，再由“大邊對(duì)大角，知角只有一個(gè)，得解．
【解答】解：選項(xiàng)，由正弦定理及，知，
所以，
所以或，即或，
所以為等腰或直角三角形，即選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)，由余弦定理知，，
因?yàn)?，所以，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>由正弦定理知，，所以，即選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)，由正弦定理知，，所以，解得，
又，所以，所以角只有一解，即符合條件的只有1個(gè)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12．在中角，，的對(duì)邊分別，，，，，．則下列說法正確的是
A．為銳角三角形B．△面積為或
C．長度為6D．外接圓的面積為
【分析】由，得，又，所以，又，，所以，解得或，從而即可對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．
【解答】解：由，得，又，所以，
又，，所以，解得或，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以為鈍角，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)正確；
，所以，所以外接圓的面積為，選項(xiàng)正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
三．填空題（共6小題）
13．已知中，角，，所對(duì)邊分別為，，，且滿足，則 ．
【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：，
直接利用余弦定理，
轉(zhuǎn)換為，
整理得，
由于，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則 ．
【分析】化簡已知得，解方程可求，進(jìn)而求得．
【解答】解：，由余弦定理得，
結(jié)合，得，
，，所以，
，，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
15．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，則 ．
【分析】由題意，利用余弦定理求得，，從而求得的值．
【解答】解：中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，
由余弦定理可得，即，
，．
再把代入，可得．
則，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．已知在四邊形中，，，，且．則 7 ．
【分析】在中，利用余弦定理求得的長，再由正弦定理求出的值，利用，，初步確定的范圍后，即可得；進(jìn)而可得的值，以及，，從而求出，不妨設(shè)，由，可得，根據(jù)兩角差的余弦公式求出的值，再在中，利用余弦定理，即可得解．
【解答】解：中，由余弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理知，，
所以，，
所以或，
因?yàn)椋?，?br>若，則，不符合題意，所以．
可得，且，，
所以，
因?yàn)?，所以不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
在中，由余弦定理知，，
所以．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
17．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，．已知，則 若，，則的面積為 ．
【分析】直接利用余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由于，則，由于；
所以；
故．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．在中，若，，，則 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，，，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
一．選擇題（共3小題）
19．在中，，，的對(duì)邊分別為，，．若，當(dāng)角最大時(shí)，則
A．B．C．D．
【分析】角化邊可得，，關(guān)系，利用余弦定理和基本不等式可求得取最小值時(shí)最大，進(jìn)而得到，求得，即可求得．
【解答】解：由可得，
所以，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以的最小值為，此時(shí)角最大，且有，
故，
又，所以，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．已知銳角外心為，面積為，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，若，則的最大值為
A．B．C．D．
【分析】由已知結(jié)合余弦定理及三角形面積公式先求出，然后結(jié)合向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)進(jìn)行化簡，再由基本不等式可求．
【解答】解：由，得，即，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，
所以，
因?yàn)殇J角外心在三角形內(nèi)部，，
設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，
，
又，
所以①，
同理，得②，
①②聯(lián)立得，
化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
解得或，
由①②得，
所以，
所以，即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)，基本不等式求解最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
21．在平面四邊形中，，，，，則的最小值為
A．B．C．D．
【分析】先設(shè)，在中正弦定理和余弦定理結(jié)合求出，再在中結(jié)合余弦定理以及輔助角公式即可求解
【解答】解：設(shè)，
在中，由正弦定理得
即，
由余弦定理得，且，
中，由余弦定理得，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
二．填空題（共1小題）
22．已知在四邊形中，，，，且．則 7 ．
【分析】在中，利用余弦定理求得的長，再由正弦定理求出的值，利用，，初步確定的范圍后，即可得；進(jìn)而可得的值，以及，，從而求出，不妨設(shè)，由，可得，根據(jù)兩角差的余弦公式求出的值，再在中，利用余弦定理，即可得解．
【解答】解：中，由余弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理知，，
所以，，
所以或，
因?yàn)椋?，?br>若，則，不符合題意，所以．
可得，且，，
所以，
因?yàn)?，所以不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
在中，由余弦定理知，，
所以．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
三．解答題（共1小題）
23．如圖，在平面四邊形中，．
（1）證明：；
（2）記與的面積分別為和，求的最大值．
【分析】（1）在，中，由余弦定理可得，即可得證．
（2）由題意利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最大值．
【解答】解：（1）證明：因?yàn)樵谄矫嫠倪呅沃校?br>所以在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，即．
（2）因?yàn)榕c的面積分別為和，
所以，，
則
由（1）知：，
代入上式得，
所以當(dāng)時(shí)，取到最大值14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換，余弦函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
一．選擇題（共2小題）
24．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求出的取值范圍．
【解答】解：中，由余弦定理得，，
且的面積為，
由，得，
化簡得，
又，，
所以，
化簡得，
解得，或（不合題意，舍去），
所以，
由，且，，，解得，，，，
所以，所以，
所以，，
設(shè)，其中，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最小值，
由于，且函數(shù)在，上單調(diào)遞減，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
又，，
所以，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
25．在非等腰中，內(nèi)角，，滿足，若關(guān)于的不等式對(duì)任意，恒成立，則角的取值范圍為
A．，，B．，，
C．，D．，，
【分析】首先整理式子，可得，由非等腰，可得，則：在，恒成立，整理移項(xiàng)，再利用基本不等式得：，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得解．
【解答】解：在中，由，代入可得：，
所以：，
整理可得：，即：，
因?yàn)榉堑妊?，所以?br>，代入，
兩邊同除，可得：，在，恒成立，
可得，即，
又因?yàn)?，則，
所以，即，
又因?yàn)榉堑妊?br>所以，
所以，，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形，考查了三角形的性質(zhì)及恒等變換公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和基本不等式，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)原式的處理，使之能使用基本不等式，而不能走進(jìn)一元二次不等式的誤區(qū)，進(jìn)行討論，屬于較難題．
二．填空題（共1小題）
26．已知在中角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，若，則 ；設(shè)為邊的中點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，的面積是 ．
【分析】利用正弦定理把轉(zhuǎn)化為，可求值；利用，兩邊平方，再結(jié)合余弦定理可求得的面積．
【解答】解：（1）由正弦定理可把轉(zhuǎn)化為，
得：，，故在中，；
（2）是中點(diǎn)，，，由余弦定理得：，，
，當(dāng)且僅當(dāng) “時(shí)取“”．
此時(shí)底邊上的高，
故的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理的應(yīng)用、三角形面積公式、基本不等式、向量加法幾何意義及向量數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．
三．解答題（共2小題）
27．隨著節(jié)假日外出旅游人數(shù)增多，倡導(dǎo)文明旅游的同時(shí)，生活垃圾處理也面臨新的挑戰(zhàn)，某海濱城市沿海有，，三個(gè)旅游景點(diǎn)，在岸邊兩地的中點(diǎn)處設(shè)有一個(gè)垃圾回收站點(diǎn)（如圖），，兩地相距，從回收站觀望地和地所成的視角為，且，設(shè)；
（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；
（2）某一時(shí)刻太陽與，三點(diǎn)在同一直線，此時(shí)地到直線的距離為，求的最大值．
【分析】（1）根據(jù)，分別在與中利用余弦定理，可得且．兩式聯(lián)解即可得出用表示、的式子，再根據(jù)基本不等式與實(shí)際問題有意義建立關(guān)于的不等式組，解之即可得到的取值范圍；
（2）根據(jù)是的中線，利用三角形的面積公式算出，解出，設(shè)，由于在區(qū)間，上是增函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，有最大值，由此可得當(dāng)時(shí)的最大值為10．
【解答】解：（1）在中，，，
由余弦定理得，，
又，
所以①
在中，，
由余弦定理得，②
①②得，可得：，
①②得，
又因?yàn)椋海?br>所以，即，
又，即，
所以．
（2）是的中點(diǎn)，可得，
故，
又，
，得．
設(shè)，
所以，，
又，，在上都是增函數(shù)；
所以，在上是增函數(shù)，
所以的最大值為，即的最大值為10．
（利用單調(diào)性定義證明在上是增函數(shù)，同樣給滿分；如果直接說出在上是增函數(shù)，但未給出證明或討論，扣1分）
【點(diǎn)評(píng)】本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求的最大值，著重考查了余弦定理、三角形的面積公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，考查了解三角形知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．
28．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．
（1）求角的大小；
（2）若，的面積為，求的值．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式化簡即可得出．
（2）利用余弦定理、三角形面積計(jì)算公式即可得出．
【解答】解：（1），
，化為，
，，，
，．
（2）由余弦定理可得：，可得．
由，可得．
，
解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

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